книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел
.pdf
|
|
|
|
|
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
|
|
81 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Доказать, что если |
A,lt |
. . . , Я П линейно |
независимы, |
||||||||||
то функции cos X^t, |
. . . , cos Xnt статистически независимы, т. е. |
||||||||||||
для всех действительных a lt |
ап |
П |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рн {cos V |
< a lt |
. . . , cos knt < |
a „ }= |
[ | |
pR {cos Xkt < |
cck}. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h=l |
|
|
|
|
[Это, конечно, то свойство, которое |
лежит в основе доказа |
||||||||||||
тельства утверждения (5.7).] |
1. Рассмотрим ({-функцию Римана |
||||||||||||
2. |
Пусть s = |
a-\-it, a > |
|||||||||||
|
|
|
|
№ > = 2 4 |
|
|
|
Jt_ |
' |
|
|
||
Доказать, |
что при |
О |
|
|
|
|
Р5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
{ |
^ |
4 |
^ |
} |
t '-чад . |
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М а р к о в |
А., Исчисление вероятностей, |
М., 1924. |
книга |
||||||||||
Л о э в |
М., |
|
Теория |
вероятностей, |
ИЛ, |
М., |
1962. |
Эта |
|||||
|
содержит в полном объеме теорию функций распреде |
||||||||||||
|
ления |
и, |
в |
частности, |
указанные |
выше |
результаты |
||||||
К а с |
П. Леви. |
|
|
|
les |
fonctions |
independantes IV, |
||||||
М., |
S t е i n h а u s Н., Sur |
||||||||||||
|
Studia |
Math., |
7 (1938), |
1 — 15. |
|
|
|
|
|
|
|||
6 M. К ац
Глава 4
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»
1. Теоретико-числовые функции, плотность, неза висимость. Теоретико-числовая функция f(n) — это функция, заданная на множестве чисел натурального
ряда 1, |
2, 3, . .. . Среднее |
значение М {f (п)} |
функ |
|
ции / (п) |
определяется как |
предел |
(если он |
сущест |
вует) |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
М {/(n)} = lim |
~ 2 |
/ И - |
( 1.1) |
Пусть А — некоторое множество положительных целых чисел. Обозначим А (N ) количество тех его элементов, которые содержатся среди первых N чисел натураль ного ряда. Если существует предел
( 1. 2)
то он называется плотностью А. Плотность анало гична относительной мере (см. п. 5 гл. 3) и, подобно ей, не является вполне аддитивной. Рассмотрим целые числа, делящиеся на простое число р. Плотность множества таких чисел, очевидно, равна 1 /р. Возьмем
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
83 |
теперь множество целых чисел, которые делятся одно
временно |
на р |
и q(q — другое простое число). |
Дели |
мость на |
р и |
q эквивалентна делимости на pq, н, |
|
следовательно, |
плотность нового множества |
равна |
|
1 /pq.. Так |
как |
|
|
то мы можем истолковать это так: «события», заклю чающиеся в делимости на р и q, независимы. Это, конечно, выполняется для любого количества простых чисел, и мы можем сказать, употребляя образное, по не очень точное выражение, что простые числа играют в азартную игру! Это простое, почти тривиаль ное наблюдение является источником нового направ ления, которое существенным образом связывает тео
рию чисел, с одной стороны, |
it теорию вероятностей — |
|||
с другой. |
|
|
|
|
Мы проиллюстрируем в деталях некоторые эле |
||||
ментарные аспекты |
этого направления и кратко |
обсу |
||
дим более сложные.2 |
|
|
|
|
2. Статистика |
значений |
ф-функций Эйлера. |
Обо |
|
значим через ф (п) |
количество целых чисел, не |
пре |
||
восходящих п п взаимно простых |
с ним. Эта теоре |
|||
тико-числовая функция, впервые |
введенная Эйлером, |
|||
имеет много применений и представляет значительный интерес сама по себе.
Сразу же проверяется, что если
(т, п) = 1
G*
84 |
|
ГЛА ВА |
4 |
|
(т. е. т и 11 взаимно |
просты), |
то |
|
|
|
ср (тп) = ф (т) ф (п) |
(2.1) |
||
и |
|
|
|
|
|
ф (Р“) = Ра — Ра~1- |
(2.2) |
||
Таким |
образом, |
|
|
|
|
Ф Н = |
П (ра - р а- ‘) |
(2.3) |
|
ра |п
ра Г 1 ( П
или так как
П= Г1 |
Ра |
(2.4) |
ра|™ |
|
|
P a + 1 |
| n |
|
(единственность разложения на простые множители !), то
^ - П О - т ) - |
(2-5) |
|||
р .п |
|
|
|
|
Введем теперь функции |
Qp (n) |
следующим образом: |
||
|
( |
1, |
р \п , |
|
“» <"> = |
| |
0, |
р \ п . |
(2-6) |
В терминах этих функций мы можем записать
<2-7>
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
85 |
Заметим теперь, что если е; равны или 0, или 1, то
D {qPj (п) = Ej, Qp2 (п) = e2i • ■• i Qpjt (n) = е(Л =
= D{QPi(n) = e1}D{QP2(n) = e2} . .. D {qP(j (n) = eh}.
( 2. 8)
Это —просто другой способ записи того факта, что «события», заключающиеся в делимости на ри р 2,
.. . , p k, независимы (или что функции рр (?г) неза висимы).
Из свойства (2.8) следует, что
p$pft |
p^pft |
“ П С 1—? ) • <2-9)
P^Pk
Поэтому мы можем предполагать, что
р |
р |
( 2. 10)
К сожалению, (2.10) невозможно вывести прямо из (2.9), так как плотность D не является вполне аддитивной,
86 |
ГЛА ВА 4 |
Но, с другой стороны, (2.10) легко получается следующим образом.
Из (2.5) вытекает, что
^ = 2 ^ . |
(2.Н) |
din
где (X(d) — функция Мёбиуса, определяемая свойствами:
1)ц (1) = 1;
2)[г (т) = 0, если т делится на квадрат простого
числа;
3) |
ц (т ) = ( — l)v, если т |
является |
произведением |
|||||||
v различных простых чисел. |
|
|
|
|||||||
После |
|
этого |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
ф(я) |
|
1 |
N |
|
|
|
|
|
i |
s |
|
S “r[i-J. |
(2-12) |
||||
|
|
п |
|
N |
||||||
|
|
|
п = 1 |
|
|
|
d=l |
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
СО |
ц (в) |
|
|
|
|
|
|
м |
1 |
п J |
^ |
|
11V |
Р* J |
с (2) |
я* • |
||
d2 |
|
|||||||||
/ |
ф (и) \ |
_ у |
|
- |
тт |
( i |
1 v |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d=l |
|
|
р |
|
|
|
|
Обозначим
/.<»>“ п 0-^)
(2.13)
(2.14)
v^vh
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
87 |
и рассмотрим
Мы, очевидно, имеем
(2.15)
и, кроме того, согласно (2.13) и (2.9),
=п (*-£)-пОр --?)' |
(2.16) |
|
|
|
|
Далее, при I > 1 |
|
|
|
|
(2.17) |
и потому |
|
|
N |
|
|
п=1 |
n=t |
|
п — 1 |
П=1 |
88 |
|
|
ГЛАВА 4 |
|
|
|
|
Полагая N —>оо, получаем |
|
|
|
||||
М {Ц {п )}> |
|
|
|
|
|
|
|
> lim slip ~ |
^ |
V « У |
> l i m inf |
~ |
\ |
п J |
|
iV->00 |
iV |
“ |
iV->oo |
N |
|||
|
|
71=1 |
|
|
|
77=1 |
|
|
|
|
|
{ /* (« ) - |
|
• |
(2.18) |
В то же время |
|
|
|
|
|
||
Af (/■»<»)} = |
|
|
|
|
|
|
|
= " { п 0 - ^ ) ' } = |
п " { ( 1 - ^ ) ' } - |
||||||
p^Pk |
|
|
|
p^Ph |
|
|
|
|
|
- П [ ‘ - т +т ( ‘ Ч ) ' ] - |
|||||
|
|
|
p^pft |
|
|
|
|
Объединяя |
последний результат |
с (2.16) |
и (2.18), |
||||
мы получим при А:—>со формулу |
|
|
|
||||
^ { ( ^ ) ' } = п [ 1 - ^ + ф О - ф ) ' ] . |
|||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
предложенную И. |
Шуромт |
|
|
|
(2.19) |
||
|
|
|
|
||||
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
89 |
Формально (2.19) следует из цепочки равенств
|
|
|
“ П ^ { ( ‘ - Йт 4) ‘} = |
|||
|
|
|
- П ^ - т + т О - т ) 1]- |
|||
|
|
|
|
v |
|
|
но так как D не является вполне |
аддитивной, то |
|||||
необходимо |
обоснование, данное выше. |
|
||||
|
Из равенства |
(2.7) мы имеем |
|
|
||
|
|
1«8 |
2 |
1о8 ( ! - - “ |
) = |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
ep ( « ) 1 « g ( 1 - 7 - ) ’ |
(2 .2 0 ) |
|
|
|
|
V |
|
|
|
и опять-таки, формально, |
|
|
||||
М j e x p ( j £ l o g ^ - ) } = |
|
|
||||
= |
Г1М{ exp ( igQp (n) l o g ( i - - £ ) ) } |
= |
|
|||
|
V |
|
|
|
|
|
- |
п 0 - 7 |
+ у |
“ р 0 |
Е1о6 ( ‘ - у ) |
) ) “ |
' № ) ( 2 '21) |
|
V |
|
|
|
|
|
для каждого действительного
90 |
ГЛАВА 4 |
Строгое обоснование (2.21) почти совпадает с тем, что дано для (2.19) и предоставляется читателю.
Пусть теперь K N (со) — количество целых п, не пре восходящих N, для которых
|
|
|
|
io g 1 — |
< ®- |
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
aN (со) = Kn (<о) |
( 2. 22) |
||
|
|
|
|
|
|
N |
|
Заметим, |
что |
а^ (со) |
есть |
функция |
распределения |
||
и что |
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
e x p f iglog^ji-,') + . . . + e x p ^ g l o g ^ L )') |
|||
J |
|
daN (со) = |
-------------- ^ |
^ |
• |
||
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
Из |
равенства (2.21) следует, |
что |
|
||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
lim |
^ |
e^a daN (a) = М jexp ^c'51og-5 ^ -^ j = с(|). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
Кроме |
того, легко показать, |
что с (5) |
непрерывна при |
||||
5 = |
0. |
Тогда по теореме, сформулированной в конце |
|||||
ц. |
4 гл. |
3, существует |
функция распределения а (со), |
||||