книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел
.pdfПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
91 |
такая, что
со
^ da (со) = с (|) =
” = n ( ' - y + i « p : iE,“< i - y ) ) ) |
<2-25> |
р |
|
и в каждой точке непрерывности о (со) |
|
lim а^ (и) = а (со). |
(2.26) |
N-*оо |
|
Теперь легко доказать, что о (со) непрерывна при каж дом со. Для этого мы используем результат задачи 3
(стр. 71, гл. 3).
Имеем
I с (Е) I2 =
= п [(* - f A K 14 ) Ч Е108 |
< |
< П K1-;D,+f(14 ) c4 E4 1-7))+?]'
p^ph
(2.27)
Можно показать (см. следующую за этим пунктом задачу 1), что числа
log ( ‘ - А )
линейно независимы.
92 |
ГЛАВА 4 |
Согласно рассуждениям п. 5 гл. 3, имеем
П[(‘ —17)'+
оP^Pk
|- y ( 1 ^ y > 0S( E 1» g ( f - | ) ) + ^ ] 4 =
=п \L'-j;y+
4 - ( i - 1 lcoS- ( E l o g ( l - i ) ) + y r ] di =
- n [C‘ - t )’+>Jv
P^Ph
а из элементарных сведении о простых числах мы знаем, что
lz nro-Kj’+^j-nro-уУ+у Н-
p < p ft р
Таким образом, получаем |
|
||
|
|
т |
|
lim |
~ |
[ | с {I) |2 <Щ—0, |
(2.28) |
т-соо |
1 |
а |
|
и, следовательно, а (со) непрерывна при всех со. Сум мируем все сказанное.
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
93 |
Плотность
D jlo g - З ^ < со} = а (со)
существует при каждом со, ст (со) непрерывна и
I |
da (со) = JJ [ ( l - у ) + у exp (i£ log ( l - у ) ) ] • |
—ОО |
р |
Этот результат (впервые полученный Шёнбергом) мог быть выведен более элементарным путем и был в зна чительной степени обобщен Эрдёшем1). Мы выбрали более длинный путь, чтобы выявить своеобразие веро ятностного оттенка результата и продемонстрировать взаимодействие ряда идей и методов исследования.
Формула (2.21) является очевидным аналогом фор мулы
sin £ |
II |
I |
|
|
h=l |
с которой мы начинали. Это, так сказать, вариации одной и той же темы, и то, что тема допускает столь разнообразные вариации, есть очевидное подтвержде ние богатства ее «мелодического» содержания.
Э Эрдёш доказал также замечательную теорему о том, что наша а (со) сингулярна, т. о. о'(ш) = 0 почти всюду.
94 |
|
|
ГЛАВА 4 |
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Доказать, |
что |
величины |
log (1 — (1ip)), а |
также |
||
и log (1+ (!//;)) линейно |
независимы. |
(суммы делителей |
|||||
2. |
Статистика |
значений функции о (п) |
|||||
числа п). |
|
|
|
|
|
|
|
(а) Пусть <Хр (п) обозначает показатель степени, в которой |
|||||||
простое число р появляется (в единственном) |
представлении п |
||||||
в виде произведения степеней |
его простых делителей, |
т. е. |
|||||
|
|
|
IT |
%<"> |
• |
|
|
|
|
|
" = 1J Р р |
|
|
||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Доказать, что функции ар (п) статистически независимы. |
|||||||
(б) |
Показать, что если сг (гс) обозначает |
сумму всех дели |
|||||
телей |
гс, то |
|
|
|
|
|
|
^ - = П ( 1+-7+ ---+ Т^))' |
||
р |
|
Р |
(в) Используя то, что |
|
|
а(п) |
^ |
1 |
п |
2л |
к ’ |
|
к\п |
|
доказать равенство
(г) Показать, что
м{ п (l+ |
1_ |
1 |
р |
% ( п ) )}-п |
|
P^vk |
|
v^vh |
(д) Положим |
|
|
1 1
|
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
95 |
||||||
Исходя из того, что |
п |
|
|
|
|
|||
|
/ft (”) _ |
|
1 |
|
|
|||
|
а (га) |
|
|
|
|
|||
|
га |
|
P>Pft1 + ^ + |
“ ' |
«г, (") |
|
|
|
вывести неравенство |
|
|
|
п |
|
|
||
|
п С* |
Q p |
( " ) |
/й(«) |
< |
|
|
|
|
|
|
)<-£ (га) |
Qp(n) |
|
|||
|
|
|
|
|
p>pk 1- |
|
|
|
|
v>pk |
|
|
|
|
|
|
|
(е) Показать, что |
|
|
|
|
|
|
||
iS io g ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
М{е |
п }=ЦМ{еХр [^l0gC1+7+"-+ ^ j ) l } = |
|||||||
|
р |
|
|
|
|
|
Р |
|
СО
=П [ ‘- 7 + 3 ( Л - - ^ г ) - .
а=1
X exp |
|^ j |l o g ^ l 4 - - y |
+ . - - + - ^ - ^ ) ] ] |
- c (D- |
|
(ж) Используя то, что |
|
|
||
СО |
V Р а |
|
|
|
‘-4+Р ‘ 2" |
P a + l |
ехр г| log ^ 1 + |
у + • • •+ |
|
|
|
^ |
||
а=1 |
F |
у |
|
|
+■ jr)] |< |* -7 + 4 (1^ 4 / “ р ['е1о8( ,+ 7 )]
Т , 1
+7^=(1~ 7 ) V^1+7 C0S [ |log( 1+y ) J + -F+ ^ ’
96 |
ГЛАВА 4 |
а также факт линейной независимости величин log (1-|-(!//>)), доказать, что плотность
< “ Н < » >
существует и непрерывна по со. |
|
Давенпортом, |
||||
Этот |
результат, |
полученный впервые Г. |
||||
содержится в более общей теореме Эрдёша. |
так как пока |
|||||
Случай (в = 2 представляет собой интерес, |
||||||
зывает, |
что |
«избыточные |
числа» (т. |
е. числа, для которых |
||
а (п) >■ 2га), а |
также |
и |
«дефектные |
числа» |
(т. е. те, для |
|
которых а (п) < 2п) имеют плотность. |
Из этого также следует, |
|||||
что «совершенные числа» |
(для которых а(п )= 2 п ) имеют плот |
|||||
ность, равную 0. Предполагают, что |
существует лишь конеч |
|||||
ное число «совершенных чисел». |
|
|
||||
3. Формула обращения. Пусть |
|
|
||||
ОО
\e16“ dff(<B)= C©,
—ОО
где о (со)— функция распределения. Доказать, что если сщ и со2 —точки непрерывности функции о, то
_1_ |
еги2| _ |
Дон! |
2я |
« |
Г |
|
|
■C©d£=0(CD2)— 0(<В,). |
Если же или (Щ, или со2 (или и та, и другая) являются точ ками разрыва, то величины а (сщ) или о (со3) (или обе) сле дует заменить на
0 (Wj— 0)4-0 ({щ-1-0) |
или |
0(<о2—0)-f о (ш2-(-0) |
2 |
|
2 |
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
97 |
соответственно. В частности, показать, что |
|
1 |
5 |
_gicoiS |
П O - 7 + 7 ехр [*log О- } ) ] ) ^ |
|
~ 2 я |
*1 |
|||
Точная, но почти бесполезная формула! |
|
|||
3. |
Другое применение. Пусть со (п) обозначает ко |
|||
личество простых делителей п с |
учетом их крат |
|||
ности, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
со(н) = 2 <**(")' |
С3-1) |
|
|
|
V |
|
где величины ар (п) определяются, |
как в задаче 2 п. 2 |
|||
этой |
главы. |
|
|
|
Пусть v (п) обозначает количество простых дели |
||||
телей п без |
учета кратности, т. е. |
|
||
|
|
|
v(n) = SQp(»)- |
(3.2) |
|
|
|
v |
|
Назовем разность со (п) — v (п) эксцессом и найдем плотность целых чисел, для которых эксцесс равен к (/с> 0, целое), т. е. найдем
dk = D {со (п) — v (п) = к}. |
(3.3) |
Излишне говорить, что существование плотности не очевидно и должно быть доказано.
7 M. Кац
98 ГЛАВА 4
Мы начнем с формулы (5.3) гл. 1
|
|
|
2л |
|
1, |
т = О, |
|
|
|
|
|
J |
|
|
(3.4) |
||
|
|
2л |
eimxdx = |
|
||||
|
|
о |
|
О, т Ф О, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
где т целое, и рассмотрим |
|
|
|
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ 2 ^ |
J |
ei(co(n)-v(n)-k)x |
|
= |
|
|
||
n=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 л |
|
N |
|
|
|
|
|
= _4 |
|
S |
|
e W n>-W)*dx. |
(3.5) |
|
|
|
|
|
О |
|
п=1 |
|
|
Левая |
часть равенства |
|
(3.5) |
представляет |
собой |
|||
[ввиду (3.4)] долю целых чисел |
n ^ N , для |
которых |
||||||
эксцесс |
равен к. Таким образом, |
|
|
|||||
|
|
|
|
N |
2 я |
|
|
|
dk = |
Hm -i- |
У |
{ ei(0)(n)-v(n)-h)xdx, |
(3.6) |
||||
|
|
N-юо ■'v |
|
, Z:rt |
J |
' |
|
|
|
|
|
n=l |
0 |
|
|
|
|
если предел существует.
Обращаясь еще раз к принципу ограниченной схо димости, мы видим из равенства (3.5), что достаточно будет доказать следующее: предел
N
l i m |
J L |
V ei(co(n)-v(n))x _ Щ | ег(ш(п)—v(n))xj. |
(3 .7 ) |
N-* оо |
^ |
~ |
|
|
|
71— 1 |
|
существует для каждого действительного х.
п р о с т ы е ч и с л а « И г р а ю т ё а з а р т н у ю и г р у » |
99 |
Далее
® (п) - v (п) = 2 (ар (п) - Qp (п)),
р
и легко заметить, что функции ap (n) — Qp (n) незави симы. Это позволяет предположить, что предел (3.7) не только существует, но также что
М { е х (<о ( и ) — v (п)) |
_ |
= М I exp [ ix 2 (аР(и) - |
QP(п)) ] } = |
Р
= Д Л /{ е “ (аР(п)“ °р(,г))} =
Р
= П [ 1 - ф + Ё
= П ( ‘ - ф ) 6 + ^ > |
м |
V
Строгое обоснование этого вывода несложно и подобно приведенному в п. 2. Возьмем сначала
N
2 (“р (и) “ 5р ("» n=i
и рассмотрим целые /г, 1< «< 7V , для которых
«*р (ге) = Р-
7*
l o o |
ГЛАВА |
4 |
Эти целые числа делятся |
на рР, но не делятся на |
|
рР+*, следовательно, их количество равно |
||
Отсюда, |
таким образом, следует, что |
|
* |
|
|
f м |
К ( « ) - е Р (»))= |
2 |
1 |
Э=?2 |
|
Пусть теперь |
|
|
|
£ *(«)= |
2 |
( Р - 1) {[
1 1
(3-9)
(ар(п) ““ вр(л))- |
(ЗЛ0) |
v > P k
Заметим, что из (3.9) вытекает следующее:
^{ы*)}= 2 2 (Р-1) |
1 |
1 |
|
< |
|
||||
/ |
/ + |
1 |
|
||||||
p>pk Р>2 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
< |
2 2 |
^ |
^ |
р&~ |
2 |
|
|
||
(р—1)2 |
|
||||||||
Р >Р к 3^2 |
|
|
p > p k |
|
|
(3.11) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т 2 - г х (со ( п )— ■v (п )) _ _ |
|
|
|
|
|||||
N |
п = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(п ) |
(3.12) |
||
= у 2 ехр [ ix |
2 |
(“ р и |
- вр Н ) ] e“ ?fe |
||||||
|
|||||||||
П=1 |
р^рь |
|
|
|
|
|
|
|
|