Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

ДОБАВЛЕНИЕ

141

функциями, т. е. чтобы в качестве Q выступало множе ство всех непрерывных функций аргумента t. Дополни тельное исследование показывает, что замена множе ства произвольных действительных функций множеством непрерывных функций возможна. При этом почти все реализации оказываются недифференцируемыми ни в од ной точке (типа известной функции Вейергатрасса). См. Дж. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.

К п. 5. С последовательностями независимых случай ных величин связан один замечательный результат (так называемый закон нуля или единицы, он упо минается в тексте, в начале и. 6). Допустим, что некоторое событие таково, что его наступление опре деляется по значениям случайных величин X k с к ^ п , каково бы ни было п. Примером может служить событие: ряд из случайных величин сходится. Тогда вероятность такого события равна нулю или

единице.		В	частности,		как	показано в пп. 5 и 6,
	СО								СО	cl < с°
РЯД 2 ckrh W сходится при почти [всех t,									если 2	cl < с°
	1								1
								со
и	расходится		при	почти	всех	t, если		^	СЪ= 00• Необ-
								1
ходимые		и	достаточные		условия		сходимости рядов
из	независимых			случайных		величин		были		найдены
Л. Я. Хинчиным и А. Н.					Колмогоровым в 1925 г. Дока
зательство можно найти,					например,		в книге М.			Л о э в а

«Теория вероятностей», ИЛ, М., 1962. Типичными сред ствами доказательства в общем случае являются леммы,

ЮМ, Кац

142	ДОБАВЛЕНИЕ

подобные следующей: положим s0 = 0, sn = 2 chrk(t)< i

тогда при любом е > 0

p{s /v>e }<p { max

е}< 2р

> е}.

(4)

Грубо говоря, это означает, что колебания максималь ной из нарастающих сумм независимых случайных величин имеют тот же порядок, что и колебания последней суммы. Левая часть неравенства (4) оче видна. Правая доказывается следующим образом. Обо значим рассматриваемые события буквами А и В, так что неравенство примет вид р ( Л ) < 2p(Z?). Пусть А: = 1, 2, . . . , ге и

Eft = {$] (t) 8, . . . ,

(t) <С 6, Sk (t) s}.

Очевидно,

H(£) = | r ( 5 f W >

> Y lli{ E hn(sn ( t ) - s k (t)> 0)} = i

n		n
= 2	V(Eh)-p(sn (o — Sfc( 0 > ° ) > y	2
i	.	i

что и требовалось доказать.

ДОБАВЛЕНИЕ

143

со

Допустим теперь, что 2 С&<°° - Применяя дока

занное неравенство к rm(t), rm+1 (t), ... и используя неравенство Чебышева, получим

rn-f-n со

ц {sup		2	chrh (t) > е} < 2 2	с*	0
		т	т
при т —>со.	Из		этого неравенства	и	аналогичного,
с заменой > е	на		< — е, вытекает утверждение о схо-
	СО
димости ряда 2		ckrk (О с вероятностью			единица.
	1

Как отмечает автор, ряды по некоторым системам ортогональных функций аналогичны рядам из незави симых случайных величин. Для произвольных орто-

нормальных систем
		§ Х4(сй)-ХДю)ф, = 64я p ( Q ) = l ,
		и
с	^	(м) dp = О верно		следующее утверждение: из
СО
2	с%log2 к <		оо вытекает	сходимость с вероятностью 1
1		СО
		СО
ряда		2 ckXk (со) (см. М.		Лоэв, § 33).
	В связи		с некоторыми вопросами, возникающими,
в частности,			в теории случайных процессов, изучались

10*

144 ДОБАВЛЕНИЕ

аналитические		свойства сумм		функциональных рядов
со случайными		коэффициентами. Например, функция
			СО
			2 й М г.
			1
будет	с вероятностью		единица	непрерывна	в замкну
том круге [ср.		Г. А.	Х а н т ,	Случайные	преобразо
вания	Фурье, Математика, 2 :6 (1958), 87 — 114].
К	главе 3.	Теоремы о сходимости распределений

сумм случайных величин к нормальному закону объ единяются в теории вероятностей под общим назва нием «центральной предельной теоремы». Название достаточно полно характеризует место, занимаемое этими теоремами. Возникновение нормального закона связывают обычно со схемой сложения большого числа «равномерно малых» случайных величин. В этой связи уместно упомянуть одну теорему А. Я. Хинчииа. Рассмотрим последовательность серий

А*1,1,

А2. 1, Хг,27

Хп . 1, . • . , Х п , tij

независимых внутри каждой серии случайных вели

чин f в п. 1 и 2 можно принять	Х п	у п J
V		у п J

подчиненных условию «предельной пренебрегаемое™»:

ДОБАВЛЕНИЕ

145

при любом е > 0 и п —> оо

max р ( | Х п, и(со) | > е) —> 0.

(5)

Пусть распределения сумм Sn = Х п. i + . .. + X n>n схо дятся к предельному. Тогда этот предельный закон будет нормальным в том и только том случае, когда при п —> со

	р ( max	\| Х„, и(ю) \| > е) — 0.
Последнее	условие	сильное	(5) и,	как легко пока
зать, равносильно следующему:
П			О при	п —> со
2 р ( \| Х „ , ft (со) \| > е )->			О при	п —> со
1
(см. Б. В.	Г н е д е н к о и А. Н.			К о л м о г о р о в ,

Предельные теоремы для сумм независимых случай ных величин, М., 1949, п. 26).

К п. 4. Преобразования	Фурье — Стильтьеса, упо
минаемые в этом пункте,	используются в теории

вероятностей под названием характеристических функ ций. Детальное изложение свойств характеристиче ских функций имеется, например, в книге М. Лоэва. Заметим, что теорема непрерывности в несколько

более узкой, чем приводимая автором	формулировке,
может быть доказана методом Маркова	(именно, если
предположить, что
+ С О
lim ^ eitx don (x) = с (t),

71~> С О J

— СО

146	ДОБАВЛЕНИЕ
где	-1-00
	-1-00
	c(t)= ^ eitxda(x).

Ниже приводится вариант доказательства для этого случая, изложенный в вероятностных терминах. Пусть Ох (ж) — функция распределения, рх (ж) — плотность вероятности, сх (t) — характеристическая функция слу чайной величины X. Заметим, что

+ С О

cx(t)= J eiixpx(x) dx

и, если сх (t) абсолютно интегрируема, то

+°°

Рх (х) = 2 ^ I e~itxcx (t)dt

			1	4-оо
ох (ж2) - ох (хг) =		J		f e~ lix2_e~ ltxi		cx (t)dt.
			рх (ж) dx = ~	^	— it
		*i

Буквой Y	с теми		или иными	индексами будут обо
значаться	случайные; величины			с ру{х) = - ^ (^1 —
при \| ж \| < 2 й и		p y (x ) = 0 в других			случаях. Тогда
\| Y \| = 2h и	су (t) =		• Пусть теперь при тг —> оо

ДОБАВЛЕНИЕ		147
и каждом t функции cXn(t) —* cXo(t) и Y n		не зависит
от Хп(ге>0).
Мы имеем
схп+гп (0 = схп (0 • суп (0	сХо (0 • с> 0 (<) =	сХо+у0 (О

и по теореме об ограниченной сходимости

а*п+Гп (*2) — ° X n + Y n (*i) —> tfXo+Уо ( X z ) — a X o + Y 0 i X l ) -

Выберем теперь		в	качестве х г и		х 2(х1<.х„) точки
непрерывности сгх0. Из неравенства
<Ухп (х2) -	axn(®)i < Oxn+Yn (*g + 2А) -				0хп+уп (*х -		Щ
видим, что
lim sup [сгхп (х2) -		стхп (*i)l <
п ~ *со
<	ffXo+Уо( х 2 + щ -			стх0+у0 (*1 - 2А) <
< Стх0 (*а + 4А) -			0ХО(я?1 -	4А) —►Ох0 (®2) -		(*i)
при /г—> 0.	Отсюда		и из	обратного	неравенства		для
lim inf вытекает,		что
Охп(*2) -		сгхп (хг) —> Ох0 (*2) -			стх0 Ю -

Использованный здесь прием «сглаживания» распре делений путем добавления к случайным величинам малых независимых «поправок» впервые был исполь зован Ляпуновым при оценке остаточного члена

вцентральной предельной теореме.

Кзадаче 1 в п. 4. Утверждение является частным случаем следующей более общей теоремы (Фреше

148	ДОБАВЛЕНИЕ

и Шохат): пусть при каждом А = 0, 1, 2, .. . и п —» оо

4-00

jjxk dan{x)->mh.

—СО

Тогда	существует		такая	функция	о(х),	что тк =
+ о о
= ^ xhdo(x). Если такая функция					единственна, то
—00			<*п( х ) - > 0 (х)
			<*п( х ) - > 0 (х)
в каждой		точке	непрерывности а(х). Достаточное
				СО
				1	имеет	ненулевой
				1
радиус сходимости (см. М. Лоэв).						читателю
К	главе	4, п.	1. а).	Интересующемуся		читателю

можно рекомендовать решение задач о распределении

значений функций натурального		аргумента	из книги
Г. П о л н а	и Г. Сегё, Задачи	и теоремы	из ана
лиза, ч. I,	изд. 2, Гостехиздат, 1956 г.		вопросов
б). Одно	из наиболее полных	изложений	вопросов

так называемой «вероятностной теории чисел» имеется в монографии И. II. К у б п л ю с а «Вероятностные методы в теории чисел», 2 изд., Вильнюс, 1962. В част ности, там приведены и замечательные результаты самого И. 11. Кубилюса.

К п. 2. а). Для счетно-аддитивных мер имеется ряд теорем о переходе к пределу под знаком инте грала.

ДОБАВЛЕНИЕ

149

Например,			если	ц-почти всюду f n (<o)l					и / п> 0, то
		lim	\ f n( a )d n =			\	П т /п (ю) dco.
			Я			Q	П -У О О
		П ~ > С О j				X	П -У О О
Эти теоремы, вообще				говоря, неприменимы в случае
конечно-аддитивных				мер (lim/„			может даже не быть
измеримым!).			Этим и объясняется,					как подчеркивает
автор,	невозможность сразу получить равенства,									подоб
ные (2.10).
б). Непрерывность функции а (со)—D ^log										< со^
^как	и	функции		т (со) = D					вытекает
из одной общей теоремы Леви.							—	последовательность
Пусть		Хх,	Х 2,	Х п, . ..			—	последовательность
независимых			дискретно		распределенных				случайных
величин со сходящейся с вероятностью 1									суммой
				00
				'Zxk = x.
Пусть				1
Пусть			dk = s u ^ P { X h = x}.
			dk = s u ^ P { X h = x}.
				X
Функция		распределения			X	будет		непрерывна		в том
						СО
и только		том случае,		когда		] [ dh — 0. В случае				функ-
						к

ции ф(п). можно принять

О с вероятностью 1 —

Х к -

log ^ 1 — —^ с вероятностью -i-.

150 ДОБАВЛЕНИЕ

Остается принять во внимание хорошо известное соот ношение

ОО

П ( 1 — у ) = 0 -

Можно добавить, что распределение X может быть только или чисто абсолютно непрерывным, или чисто дискретным, или чисто сингулярным (Иессен и Винтнер);

этот результат и теоремы	Леви приведены	в обшир
ном мемуаре Эссеена: С. G.	E s s e e n . Fourier	analysis

of distribution functions. A mathematicae study of the Laplace — Gaussian law. Acta. Math., 77 (1945), 1 — 125).

Существование распределения функций, подобных

и а t может быть установлено единообразным

методом, в основу которого может быть	положено
следующее вспомогательное замечание*).
Назовем функцию f(n) периодической,	если при
некотором N и всех п
f ( n \ - N) = f(n).

Легко установить наличие у всякой периодической функции распределения D (/ (п) < со).

В	Нижеследующие замечания обязаны моим беседам
с А. Г.	Постниковым по поводу работ Новоселова, в которых

задачи о распределении значений определенного класса функ ций натурального аргумента изучаются с помощью топологизации множества натуральных чисел и пополнения его до топо логически полного кольца. При этом плотность продолжается в (счетно-аддитивную) меру в указанном кольце.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ