книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел
.pdf10 |
П РЕД И СЛО ВИ Е АВТОРА |
Наконец, не в меньшей степени, я хочу выразить благодарность м-сс Аксельсон из Хаверфордского кол леджа и м-с Мартин из Математического отделения Корнелльского университета за решение часто нераз решимой задачи перепечатки рукописи по моим почти неразборчивым записям.
Марк Кац
Итака, Нью-Йорк, сентябрь 1959 г.
Моему учит елю
профессору Гуго Ш т ей и гаузу
Глава 1
ОТ ВИЕТА к ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОМ НЕЗАВИСИМОСТИ
1. Формула Виета. Мы начнем с простой тригоно метрии. Запишем
sin х = 2 sin у cos у = £ sin у cos у cos у =
= 2ЛSinу COSу COSу cosу =
= 2"sin -J- П c o s ^ - . |
(1.1) |
h=l |
|
Из элементарного анализа мы знаем, что при хфО)
sin^ - |
= |
1 |
2 * sin ^ - |
|
l = l i m — |
|
|
||
n - > CO |
^ |
|
П -+ 0 О |
" |
|
2n |
|
|
|
и, следовательно,
14 |
|
|
ГЛ А В А 1 |
|
|
Сопоставляя (1.2) |
с (1.1), |
получаем |
|
||
|
|
sin х |
п cos 2k |
(1.3) |
|
|
|
|
х |
||
|
|
|
|
ft=l |
|
Особенно интересен один частный случай соотноше |
|||||
ния (1.3). Полагая |
х — я/2, находим |
|
|||
2 _ п |
я |
Y 2 V 2 + Y I V 2 + V 2 + Y 2 |
|||
я “ “ |
11 |
2n+1 |
2 |
2 |
2 |
|
П=1 |
|
|
|
(1.4) |
|
|
|
|
|
|
что является |
классической формулой, |
принадлежащей |
|||
Виету. |
Другой |
взгляд на |
формулу Виета. До сих пор |
||
2. |
|||||
все было легким и хорошо знакомым.
Рассмотрим теперь (1.3) с другой точки зрения.
Известно, что любое |
действительное число |
£, 0 < |
|
< £ < ;!, может быть |
однозначно представлено |
в виде |
|
t |
I |
с2 1 |
( 2. 1) |
2 ' |
2а |
||
где каждая из величин е есть или 0, или 1.
Это известное двоичное разложение t, и чтобы обес печить единственность, условимся записывать обрываю щиеся разложения в форме, в которой все двоичные цифры, начиная с некоторого места, равны 0. Так, на пример, запишем
A - I - J - J - J - A a- A a-
4 2 ' 22 ' 23 ' 2i ' ' ' ' ’
ОТ ВИ Е Т А К П О Н Я Т И Ю СТА ТИ СТИ ЧЕС КО Й НЕЗАВИСИМОСТИ 15
а не
4 2 ~ 22 ~ 23 ~ 24 ~ ‘ ‘'
Двоичные цифры г1 являются, конечно, функциями от t, поэтому представление (2.1) более точно должно выглядеть как
+ |
+ |
. .. . |
(2.2) |
При нашем соглашении относительно записи обры вающихся разложений графики функций e1(t), s2(t), e3(t), . . . выглядят следующим образом:
о { ........7 о f j г ' J/ ff~ iT iT iT 0
Удобнее ввести функции rh(t), определяемые равен
ствами |
|
■ rk(0 = l - 2 e fc(f), к = 1 , 2 , 3 , : . . , |
(2.3) |
и имеющие следующее графическое изображение:
Эти функции, впервые введенные и изученные Г . Радемахером, называются функциями Радемахера. В тер-
16 |
ГЛА ВА 1 |
минах функций rh (t) мы можем переписать представ ление (2.2) в виде
00
/1=1
Заметим теперь, что
[ ei x ( l - 2 l ) dt = lB ?L
О
И
J e x p ( t e - ^ ) * = cos
О
При этом формула (1.3) |
превратится |
в |
|
1 |
1 |
ОО |
|
^ eixa -2ndt= |
^ ехр^гж |
2 |
!^ г ' ) dt = |
О |
О |
|
1 |
|
со |
оо 1 |
ехР |
|
= II С08^Г = II I |
||
|
h—1 |
h=10 |
|
и, в частности, |
будет иметь |
место равенство |
|
1 |
оо |
оо |
1 |
I |
П ехР |
dt= П 5ехр(ixDi^r')dt-(2-5) |
|
Оfe=l |
h=l О |
||
Интеграл от произведения равен произведению инте гралов!
ОТ В И Е Т Л К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И СТ И ЧЕС КО Й Н Е ЗА ВИ С И М О С ТИ 17
V3. Случайность или начало чего-либо более глубо кого? Можем ли мы рассматривать равенство (2.5) как случайное совпадение? Конечно нет, до тех пор, пока мы не исследуем вопрос более тщательно.
Взглянем на функцию
2 <Vk(0- /<=1
Это ступенчатая функция, которая постоянна на ин тервалах
( ±_ |
»+1 |
s = 0, i , . . . , 2” — 1, |
V 2П ’ |
2П |
|
и значениями которой являются числа
± С1 ± С2 ± • • • ± Сп'
Каждая последовательность (длины п), состоящая из -[-1 и — 1, соответствует одному и только одному ин тервалу (s/2n, ( s + 1)/2п). Таким образом,
I |
n |
п |
|
$ |
exp [ i 2 |
ГЛ(*)] ^ = 4 ^ 2 ехР 0 2 ± О |
’ |
0 |
1 |
1 |
у |
где внешняя сумма справа берется по всем возможным последовательностям (длины п) из -f 1 и — 1.
Теперь
П |
71 |
71 |
S « р О 2 ± » . )= п с +/ |
) - П с» |
|
/ |
л=1 |
ft=t |
2 М. Кац
I ГОС. ПУБЛИЧНАЯ к
1 г*ЛУЧ< ■т г х и и ч . |
АЯ I |
18 ГЛА ВА 1
и, следовательно,
i |
n |
С/Л (i)J |
|
п |
„ 1 |
exp [ i 2 |
dt = П cos Ch= |
П f e*Ckrft(t) df. |
|||
0 |
1 |
|
|
fe=1 |
fc=i 0 |
Полагая |
|
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
1 - С * 2 ^ ) * - П с - - § , |
||||
|
0 |
1 |
|
fc=l |
z |
и так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
Hm V |
= 1 _ 2t, |
|
|
|
|
n->co |
, |
2fe |
|
причем сходимость в левой части равномерна на (0, 1), то мы имеем
1 i n
eix (1_2i>di = lim exp ^ix 2 — ^ dt — |
|
.r |
|
Um J ] cos ^ |
i i - - , : |
ft=i ft=i
ОТ В И Е Т А К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И СТ И ЧЕС КО Й Н Е ЗА В И С И М О С ТИ 19
Таким образом, мы установили другое доказатель ство формулы (1.3). Лучше ли оно, чем доказательство, данное в п. 1?
Данное доказательство более сложно, но в то же
время |
более поучительно, так |
как оно как-то связы |
||
вает формулу Виета с двоичными цифрами. |
|
|||
Какое же свойство двоичных цифр приводит к успеху? |
||||
4. |
1 |
1 (п раз). |
Рассмотрим |
множество |
тех t, |
2 |
2 |
|
|
для которых |
|
|
|
|
|
ri (0 — + 11 |
г2(0 — |
11 гз (0 — |
1• |
Одного взгляда на графики rlt г2 и г3 достаточно, чтобы установить, что это множество (за исключе нием, быть может, концевых точек) — просто интервал
( 4 - т ) -
Очевидно, что длина (или мера) этого интервала
1
равна -g и
J__JL JL J.
|
|
|
8 — 2 ' 2 ' 2 ' |
|
|
|
Это тривиальное |
наблюдение |
может быть |
записано |
|||
в следующей форме: |
|
|
|
|
||
H-{ri(*) = |
+ |
1, |
r2(t)= - |
1, |
ra(t)= - 1} = |
|
= И М 9 = |
-+ |
Ч |
И- {'‘а (0 = |
- |
1) Р{',з ( 0 = |
- Ч . |
где р обозначает меру (длину) множества, определяемо го выражением внутри скобок.
2*
20 ГЛ А В А 1
Читатель без труда сможет распространить это наблюдение на случай произвольного числа функций г.
Он получит следующий результат: |
если |
8г, . . . , 6 |
— |
||
последовательность, |
состоящая |
из |
1 |
и —1, |
то |
|
•••> гп (*) = *„} = |
|
|
|
|
= (АК (0 = М |
И {>-2 (0 = б2} |
. . . Р {/•„ (t) = 6 J . |
|
||
Мо?кет показаться, что мы всего лишь усложненным
способом записали |
равенство |
|
||||
( |
1 N П |
|
1 |
1 |
^ |
|
т ) |
= |
2 х т х — |
Х У (п Раз)’ |
|||
|
||||||
но в действительности это значительно больше. Полу ченный результат выражает глубокое свойство функций rh (t) (и, следовательно, двоичных цифр) и служит отправной точкой обширных и плодотворных исследо ваний. Именно это свойство лежит в основе доказа тельства п. 3. Формула (3.1) может быть теперь дока зана следующим образом:
1 71
j) ехр [г ^ |
= |
о1
= |
2 |
ех р ( г '2 cf46/i) p { r 1(0 = 61, .... rn (*) = 6„} = |
|
61, ..., йп |
- ! |
ПП
= 2l IIе1С,А П^{ги (0 = }=
61......... |
бп 1 |
1 |