Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

		ДОБАВЛЕНИЕ		151
Допустим	теперь, что		функция f(ri) такова,	что
при любом	е > 0	можно	подобрать периодическую
функцию /е (и), для		которой

Iim w 2 1/Н-/<=И|<г.

71=1

Тогда при любом со, кроме, быть может, счетного чис ла, существует

D{f (п) < со).

Доказательство можно провести методом моментов, применяя его к

Т(п) = arctg/(n).

Для функций f(n), удовлетворяющих условиям

/( " ) = 2 'К Ф . d/n

в качестве аппроксимирующих функций можно брать

h ( n ) =	2	ф и .
	d = р "1 ... p“ k

где ръ ..., — первые к простых чисел, а к и sk вы бираются в зависимости от е.

152				ДОБАВЛЕНИЕ
	К	главе 5,	п. 4 и 5. О редукции задач					кинетиче
ской		теории	к	задачам		теории	вероятностей		см.
А. Я.		Х и н ч и н ,		«Математические			основания статис
тической механики»,					ГИТТЛ, М. — Л., 1943, см. также
М.	К а с, Probability				and	related	topics	in physical
sciences. N. Y.				1959.
	Для метрически транзитивных T мы имеем сходи
мость средних			вдоль		траекторий к		среднему по		про
странству					П

				lim 4" 2
где	l h(P0) = f( T h(P0)), а =					^ / (Р0) ф	(формула		4.12).

В ряде случаев удается доказать, что отклонение средних «по времени» от а подчиняется в пределе нормальному закону: если / не равна p-почти всюду постоянной, то найдется а = а ( / ) > 0, такая, что

£i (P q) ~4~ ■■■ £« ( Р о ) па

а У п

log	1	2 [log(1'7 ) +y] +
	I (*)

ДОБАВЛЕНИЕ

153

В частности, это справедливо для следующих динами ческих систем, встречающихся в теории чисел. В обоих случаях Q —отрезок (0, 1].

Т1(х)= {2х}

(фигурные скобки —знак «дробной части»)

(последнее преобразование как раз и рассматривается в п. 5 гл. 5).

Результаты М. Каца (Bull. Amer. math. Soc., 55 (1949), №7 и Ann. Math., 47 (1946), №1, 33—>49), относящиеся к этому случаю, были обобщены И. А. Ибра гимовым. [Теория вероятностей и ее применения, т. V,

вып. 2 (1960), 256 -257		и ДАН СССР, 125:4	(1959),
711 — 714.]	Согласно И. А. Ибрагимову от		/(X ),
0 < Х < 1 ,	достаточно	требовать выполнения	двух
свойств

a) f ( x ) £ L 2[0, 1]

Некоторые вопросы метрической теории цепных дробей хорошо изложены в книге А. Я. Х и н ч и н а «Цепные дроби», Физматгиз М., 1961.

ОГ Л А В Л Е Н И Е

Гл а в а 1. ОТ ВИЕТА К ПОНЯТИЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ

	НЕЗАВИСИМ ОСТИ ......................................................................			13
1.	Формула В и е т а		..............................................................	13
2.	Другой взгляд на формулу В и е т а .........................			14
3. Случайность или			начало чего-либо более глубо
	кого? ..................................................................................			17
	f 1	1	1
4 ‘	\ 2 j =	Т • •	• ~2 (П Р Я З ) .......................................................................	1 9
5. Герб или решетка?..........................................................				21
6.	Независимость и «независимость» . .....................			24
	З а д а ч и .....................................................................			26
Г л а в а	2. Б О РЕ Л Ь И ПОСЛЕ Н Е Г О ...........................................			29
1.	«Законы больших ч и с е л » .........................................			29
2.	Борель и «нормальные ч и сл а » .................................			32
	З а д а ч и ..........................................................................			36
3.	«Герб или решетка» — более абстрактное изло
	жение ..................................................................................			40
4.	В чем ценность абстракции? .................................			43
5.	Пример 1. Сходимость ряда со случайными зна			45
	ками ..................................................................................			45

ОГЛАВЛЕНИЕ

155

6.Пример 2. Расходимость ряда со случайными

	зн а к а м и ..............................................................................	53
	З а д а ч и ..........................................................................	57
	Л и т е р а т у р а ..........................................................	58
Г л а в а	3. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН..............................................	60
1.	М уавр ..................................................................................	60
2.	Основная идея м ет о д а .................................................	61
3.	Метод Маркова становится ст р о ги м .....................	63
	З а д а ч и ..........................................................................	66
4.	Более внимательный взглядна м е т о д ...................	67
	З а д а ч и ...........................	70
5.	Закон природы или математическая теорема? . .	73
	З а д а ч и ..........................................................................	81
	Л и т е р а т у р а ..............................................................	81
Г л а в а	4. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ»	82
1.	Теоретико-числовые функции, плотность, неза
	висимость ..........................................................................	82
2.	Статистика значений ф-фупкций Эйлера . . . .	83
	З а д а ч и ..........................................................................	94
3.	Другое п ри м ен ен и е.....................................................	97
4.	Почти каждое целое то имеет приближенно
	log log то простых делителей .............................	106
	З а д а ч и ..........................................................................	НО
5. Нормальный закон в теории чисел .....................		110
	З а д а ч и ..........................................................................	116
	Л и т е р а т у р а .........................................................	116

156	О Г Л А В Л Е Н И Е
Г л а в а	5. ОТ КИ Н ЕТИ ЧЕС КО Й ТЕОРИИ К	НЕПРЕРЫ ВН Ы М	118
	Д Р О Б Я М .........................................................................................		118
1.	Парадоксы кинетическойтеории	...........................	118
2.	Предварительные сведения .................................	.	119
3.	Ответ Б о л ь ц м а н а .........................................................		123
4.	Абстрактное и зл о ж ен и е .............................................		125
5.	Эргодическая теорема инепрерывные дроби . .		130
	З а д а ч и ..........................................................................		134
	Л и т е р а т у р а ..............................................................		135
ДО БА ВЛ ЕН И Е Ю. В. Прохоров . . ............................................................			136

М. К А Ц

СТАТИ СТИ ЧЕСКА Я НЕЗАВИСИМОСТЬ В ТЕО РИ И ВЕРОЯТНОСТЕЙ, А Н А Л И ЗЕ И ТЕО РИ И ЧИ СЕЛ


	Редактор А. А. БРЯНДИНСКАЯ
Переплет худож ника		Л . Г . Ларского		Техн. редактор				Л . А.	Повлева.
		Корректор Е. С. Терентьева
Сдано в	производство	12/X II 1962 г.		Подписано к печати				2 5 /II	1963 г.
Бумага	70 х 1 0 8 1 /зг= 2 ,4		бум. л .	6,7	печ.	л.	У ч.-изд. л. 4,8.
	И зд. №		1/1712. Цена	3 4	коп.	Зак.	531
	ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ Л И Т Е РА Т У РЫ
		Москва, 1-й Риж ский пер.,				2
	М осковская типография №			5 М осгорсовнархоза
	Москва, Трехпрудный				пер.,	9.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ