книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

п р о с т ы е ч и с л а «и г р а ю т в а з а р т н у ю и г р у » ш

Ввиду того, что величина log logп изменяется медленно (см. задачу 1 в конце п. 4), результат (5.3) эквива­ лентен утверждению

D (log log п + CDj Y log log n < V (n) < log log n +

Теперь известно несколько различных доказательств этого результата (наилучшим, по моему мнению, яв­ ляется недавнее доказательство, принадлежащее Реньи и Турану), но ни одно из них, к сожалению, из-за недостаточной краткости и элементарности не может быть воспроизведено здесь. Поэтому мы будем доволь­ ствоваться эвристическими аргументами, основанными на следующей классической теореме Ландау.

Если Я/г (п) обозначает количество целых чисел, не превосходящих числа п, которое имеет ровно к простых делителей, то

(loglogrc)''"1. (5.5)

чисел с помощью совершенно элементарных соображе­ ний.

Имеем

или (5.3).

К несчастью, трудно сделать строгими эти весьма привлекательные доводы, так как необходимы равно­ мерные оценки остаточного члена в теореме Ландау (5.5), а их нелегко получить. Интересно то, что пер-

на со (п) (число простых делителей с учетом кратности). (Ука­ зание: из того, что М {ы(п) — v («)}<; оо, вывести сначала, что плотность множества целых чисел, для которых со (п) —

— v (ri) > gn, gn ->■со, равна 0.)

2. Пусть d (п) обозначает число делителей п. (а) Показать, что

й (и) =П (“р (ге)+ !)-

Р

(Определение ар (п) см. в задаче 2 и. 3 этой главы.) (б) Показать, что

М 1 Ш = п (* + 2 7 о Ь ц )< “ -

V

(в) Используя (5.4) и указание к задаче 1, помещенное выше, доказать, что

1__ / 2 я

ЛИТЕРАТУРА

Ссылки на работы Давенпорта, Эрдёша, Эрдёша и Каца, Халберстама, Шёнберга и Турана см. в обзорных статьях:

К а с М., Probability methods in some problems of analysis and number theory, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 641 — 665.

где F^ns\t) обозначает число появлений указанной цепочки в последовательности e1(i), . . en+s_1(^).

Многие математики, начиная с Бореля, занимались построением и исследованием числовых последователь­ ностей, в том или ином смысле напоминающих «типич­ ную реализацию» последовательности (1). В каком именно смысле — должно определяться используемыми методами и кругом возможных применений. Свой­ ство (2) характеризует так называемые «нормальные» последовательности двоичных знаков. Примером может служить последовательность

О 1 00 01 10 И 000 001 010 011 100.

в которой подряд выписываются все комбинации двоич­ ных знаков в порядке возрастания их длины. Заметим, что проверка свойства (2) в этом и аналогичных при­ мерах облегчается при использовании следующего кри­ терия: если существует такая константа С, что при всех s и As

то имеет место (2).

«Нормальные» последовательности знаков могут, однако, не обладать более тонкими свойствами последо­ вательностей независимых случайных величин. Напри-

влениях, и литературные ссылки можно найти в работе

К п. 3. Уместно заметить, что значительная часть теории вероятностей, касающаяся распределений в про­ странствах конечного числа измерений и используемая, например, в классических вопросах математической статистики, может быть изложена без обращения к общей теории меры. Привлечение методов общей теории меры и интеграла Лебега становится неизбеж­ ным, когда рассматриваются распределения в бесконеч­ ных произведениях пространств.

К п. 4. Формулировки многих предельных теорем теории вероятностей начинаются обычно словами: рас­ смотрим последовательность независимых случайных величин Х к, имеющих функции распределения Fk .

Как отмечает автор, естественно возникает вопрос о существовании такой последовательности, т. е. требуется указать такую пару: пространство £2 и опре­ деленную на нем меру р и такую последовательность функций X k (со), со g Q, что п р {Хп (со) < %п] при любом

= p { X i( f t) ) < л.а} , . . . jx { X n (a>) < Я,п).

Вопрос о существовании подобных последовательностей решается положительно теоремой Колмогорова, упомя­ нутой в тексте (Основные понятия теории вероятностей, § 4, гл. 3). При этом в качестве Q берется пространство всех последовательностей о)=(ж1, ж2, . . . , жп, . . . ) дей­ ствительных чисел. Любопытно отметить, что в каче­ стве (Q, р) можно взять и отрезок 0 < < < 1 с обычной лебеговой мерой. При этом функции X h(t) будут непре­ менно разрывны (как и rh (t)). Несколько сложнее обстоит дело с континуальными системами независи­ мых случайных величин. Возьмем следующий пример: для описания процесса изменения координаты малой частицы, движущейся под влиянием молекулярных толчков (броуновское движение), теория вероятностей предлагает следующую модель: приращения коорди­ наты за непересекающиеся промежутки времени пред­ ставляют собой независимые случайные величины с нормальным законом распределения. Математическое ожидание смещения за время At равно 0, а диспер­ сия b-At. Предположим дополнительно, что £ > 0 и что в начальный момент времени координата была равна 0. Из упомянутой теоремы Колмогорова вытекает суще­ ствование соответствующих Q и ц. При этом в качестве Q берется множество всех действительных функций аргу­ мента t > 0. Однако из физических соображений жела­ тельно, чтобы реализации процесса были непрерывными