книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

что в специальных терминах называется «слабым за­ коном больших чисел» х). Прилагательное «слабый» не имеет намерением умалить значение, но употребляется для различения с другим законом больших чисел, на­ зываемым обыкновенно «усиленным закопом». Харак­

Оба закона были довольно сильно обобщены, и в своей окончательной форме ни один нз них не влечет за собой другого. Это, однако, технические вопросы, которые нас в данном случае не интересуют. Математическое содержание слабого закона больших чисел относитель­ но бедно. В форме (1.4) он превращается в занима­ тельную теорему о биномиальных коэффициентах. Может ли тогда он быть выражением таинственного «закона средних», упоминавшегося выше? Боюсь, что так. Это по существу все, что мы можем надеяться получить от чисто математической теории.

2. Борель и «нормальные числа». Другой закон больших чисел был найден Борелем. Борель доказал, что для почти всех t (т. е. для всех точек t, исклю-

В «the weak law of large numbers». В русской терминологии прилагательное «слабый» обычно опускают. — Прим, перев.

Доказательство несложно и основано па хорошо извест­ ной теореме из теории меры и интеграла Лебега. Теорема, о которой идет речь, такова:

Если {/п (<)} —последовательность неотрицательных интегрируемых по Лебегу функций, то из сходимости

оо1

3 М. кап

и, следовательно,

со 1

2\ f n ( t) d t < c°-

п= 1 о

Из этого следует, что ряд

П=1

сходится почти всюду и тем более

то (2.1) эквивалентно тому, что для почти всех t

Другими словами, почти каждое число t имеет (асим­ птотически) одинаковое число нулей и единиц в соот­ ветствующем ему двоичном разложении! Это арифме­ тическое содержание теоремы Бореля. Что дает теоре­ ма в вероятностном плане? Пользуясь нашим словарем, мы придем к следующему заключению. Если симмет­ ричная монета бросается неограниченно долго и если бросания независимы, то частота появления гербов

(решеток) равна х/2 с вероятностью 1 (в пределе, ко­ нечно). Это утверждение удовлетворяет нашим интуи­ тивным представлениям о том, что должен говорить «закон средних», и вновь убеждает в хорошем выборе нашего словаря.

Читатель, несомненно, сознает, что основание 2 в знаменателях разложения не является чем-то «не­ прикосновенным».

допустимая цифра появляется с определенной (и ожи­ даемой!) частотой. Другими словами, почти все числа «нормальны»!

3*

Как это часто бывает, доказать, что преобладаю­ щее большинство объектов обладает определенным свойством, много легче, чем указать хотя бы один такой объект. Данный случай не исключение. «Нор­ мальные» числа строить довольно трудно! Простейшим примером служит число (записанное в десятичной системе)

0,123456789101112131415161718192021...,

мальности этого числа никоим образом не является тривиальным.

ЗАДАЧИ

1. Доказать (2.7), показав сначала, что величины w неза­ висимы, а затем обобщив результат задачи 3 гл. 1.

У казание: сначала показать, подражая чсбышевскому методу доказательства (1.4), что n-мериый объем множества, определенного неравенством

мэиьше 1/ 1ге2п.

и показать, что они независимы. Заметьте, что при р = -

получаются двоичные цифры.

4.Доказать, что мера множества, на котором

5. Объяснить, как функции е(Р) (<) могут быть использо­

ваны при построении модели для независимых бросаний не­

симметричной монеты, где вероятность II равна р и вероят­ ность Т равна <7= 1 — р.

6.Показать, что если / (г) непрерывна, то

Л^ е( Р )( г )+ ... + е ( Р )(0 ^ д

о

п

к=0

1Вп (р) — это известпые полиномы Бернштейна.]

7. Используя чебышевский прием, оценить меру множе ства, па котором

е(р) (0 + ...+ e < p ) (t )

10.Доказать, что для почти всех t

Е( Р ) ( 0 + . . . + е Ы ( г )

множество положительной меры Е содержит подмножество Е,,