книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

(последний шаг—изменение порядка интегрирования— обыкновенно оправдывается обращением к теореме Фубинн. В нашем случае обоснование этого шага три­ виально, так как сумма г, ( < ) + • • • + ru (t) представляет собой ступенчатую функцию).

Вспомним теперь равенство (3.1); с его помощью

при с1 = с2 = . .. = c)t = х получим

М М 0 + . . . -\- rn (t) = 21 - п} =

(5.5)

о

Наконец, мы оставим в качестве упражнения доказа­ тельство того, что

V{r1( t ) + . . . + r n (t) = 2 l - n } = ± ( nl ') . (5.6)

6. Независимость и «независимость». Понятие неза­ висимости, хотя и является центральным по важности в теории вероятностей, не есть чисто математическое понятие. Правило умножения вероятностей независи­ мых событий представляет собой попытку формализовать это понятие и на этой основе построить некоторое исчисление. При этом возникает склонность рассматри­ вать события, которые кажутся не связанными, как независимые друг от друга. Так, физик, рассматривая события, происходящие в двух удаленных друг от дру­ га пробах газа, будет считать их независимыми (как даожет быть иначе, если одна проба взята, скажем

ОТ В И Е Т Л К П О Н Я Т И Ю СТА ТИ СТИ ЧЕС КО Й Н Е ЗА В И С И М О С Т И 25

в Бисмарке, Северная Дакота, а другая—в Вашингто­ не, округ Колумбия?) и радостно обратится к правилу умножения вероятностей.

К сожалению, действуятаким образом, он может (непреднамеренно и непроизвольно) создать впечатле­

В действительности то, о чем говорилось, является определением независимости, объединяемым с убежде­ нием (основанным, несомненно, на наблюдениях н опы­ те), что это определение применимо в некоторых слу­ чаях.

■ Существует, таким образом, независимость в рас­ плывчатом интуитивном понимании, и «независимость» в том узком, но точно определенном смысле, что при­ менимо правило умножения вероятностей.

Длительное время основным мотивом н движущей си­ лой развития теории вероятностей были неопределен­ ные интуитивные представления.

И в то время, как создавался впечатляющий фор­ мализм, математики (за очень немногим исключением) оставались в стороне, так как не очень ясно понимали, к каким объектам формализм применим1).

!) Предположим, что книга по дифференциальным уравне­ ниям написана исключительно в терминах масс, сил, ускорений и попадает в руки кого-нибудь, кто никогда не слышал о ме­ ханике. Богатое чисто математическое содержание такой кни­ ги могло бы быть в значительной степени потеряно для этого гипотетического читателя.

Глава 2

БОРЕЛЬ и ПОСЛЕ НЕГО

1.«Законы больших чисел». Все вы имеете пред­

разумно подсказывается в этой и подобпых ситуациях. Что же это за «закон средних»? Является ли он чем-то вроде физического закона или это есть чисто математическое утверждение? Большей частью все же верно последнее, хотя этот закон и хорошо согласует­ ся с экспериментальными данными. Давайте забудем об экспериментальной стороне проблемы и сконцен­ трируем внимание на математических вопросах. Пред­

Очевиден интерес игрока к следующему вопросу: каковы его шансы на то, что после п бросаний мо­

неты его выигрыш превзойдет заданное число Ап. Согласно нашему словарю, это эквивалентно задаче определения меры множества точек t, для которых

(По тем же соображениям будет неправдоподобен проигрыш больший, чем Ап.) Мы придадим всем этим выводам необходимую точность, доказав следующую теорему:

Очевидный подход может быть основан на формуле (5.6) гл. 1. Действительно, мы имеем

Ц { | М 0 + - - . + г п ( 01>вп} =

= 2 И о ( 0 + . . . + > - „ ( < ) = 2/-гс} =