книги из ГПНТБ / Шляпоберский В.И. Основы техники передачи дискретных сообщений

информационного элемента (столбцы а я б). Если иска­ женный элемент расположен во второй половине кодовой комбинации, то при сложении по модулю два (столбец в) только одна пара элементов не совпадает, что указы­ вает на искажение проверочного элемента.

Основным недостатком инверсных кодов является их высокая избыточность.

§ 6 . 4 . СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ (ГРУППОВЫЕ) КОДЫ

Систематическими (или линейными) называются та­ кие блочные разделимые (п, 1г)-коды, в которых k разря­ дов (обычно первые) представляют собой комбинации

[66]. Основным свойством двоичных систематических ко­

мационные и проверочные элементы соответственно). Со­ гласно определению каждый проверочный элемент об­ разуется посредством линейных операций над информа­ ционным, т. е. путем сложения по модулю 2 определен­ ных информационных разрядов:

320

ство очень важно, так как оно значительно упрощает определение корректирующих возможностей кода. Ис­ пользуя это свойство, можно попытаться задать весь си­ стематический (п, /ej-код, приводя не все его кодовые комбинации, а только лишь их часть, указав при этом способ, посредством которого однозначно определяются все остальные комбинации.

Покажем, что для формирования систематического (п, &)-кода, содержащего 2к разрешенных кодовых ком­ бинаций, достаточно иметь К линейно независимых ком­

Таким образом, любой набор из К линейно независи­ мых кодовых комбинаций порождает (п, ^-систематиче­ ский код. Обычно такой набор кодовых комбинаций принято записывать друг под другом в виде матрицы, содержащей /г строк и п столбцов. Такая матрица назы­ вается порождающей матрицей (п, /cj-кода и обозна­ чается символом С-( П | ;,). Так как информационные раз­ ряды занимают обычно первые К позиций в кодовых ком­ бинациях, то порождающую матрицу, содержащую К линейно независимых комбинаций, целесообразно пред­ ставить состоящей из единичной матрицы kXk, полно­ стью характеризующей комбинации простого кода:

• 100 . . . о 010 . . . о 001 . . . о

000. . . 1

иприписанной к ней справа матрицы проверочных эле­ ментов, содержащей К строк и г столбцов:

"10 . . . 0 ЬЦЬЦ . . , Ь 1 Г

322

Порождающая матрица вида (6.22) называется ка­ нонической и сокращенно записывается в форме

ная из п—k проверочных элементов базисных кодовых комбинации.

При определении значений проверочных элементов приписанной части матрицы следует исходить из основ­ ных свойств систематических кодов.

Поскольку каждая строка единичной матрицы kXk содержит одну единицу, то вес каждой строки припи­

d—2 единиц. iB общам случае комби-нации приписанной части матрицы находят, перебирая различные комбина­ ции, содержащие не менее d—1 единиц. Построенные та­ ким образом К исходных я-элементных комбинаций (п, /г)-кода должны быть линейнонезависимыми.

Процесс кодирования в систематическом коде сводит­ ся к определению проверочных разрядов посредством линейных операций над К информационными разряда­ ми. Для этого необходимо составить г независимых сумм по модулю 2.

Выбор позиций 1 к 0 в приписанной части матрицы (6.22) однозначно определяет позиции тех информаци­ онных элементов, которые должны участвовать в обра­ зовании проверочных разрядов. Ответ на этот вопрос

рядов порождающей матрицы (6.22):

При декодировании с исправлением ошибок необхо­ димо учитывать, какие из уравнений не удовлетворены. Так, если не удовлетворяется одно из трех ур-ний (6.25), то ошибочно принятым является один из проверочных элементов. Когда не удовлетворяются первые два урав­ нения, то следует исправлять (заменять 0 на 1 или 1 на

.элемента. При ошибочном приеме двух и более элемен­ тов правильное декодирование невозможно, так как ко-

.довое расстояние кода d—3.

Предположим, что передаче подлежит информацион­ ная последовательность 1011. Тогда согласно (6.25) на выходе кодирующего устройства она примет вид 1011000. Пусть под действием помех эта комбинация будет при­ нята как 1111000. При декодировании в соответствии с (6.25) получим следующие результаты:

лучается из канонической формы М( „, ^ вычеркиванием i первых столбцов. Поскольку при этом число линейнозависимых столбцов матрицы проверок не может умень­ шиться, то и d M m i нового код а будет то же, что у исход­ ного. Коды, построенные таким образом, принято назы­

325

левые г-разрядные двоичные 'последовательности, назы­ вается кодом Хэмминга. Минимальное расстояние та­ кого кода d = 3 , т. е. кодом исправляются все одиночные ошибки. Таким образом, код Хэмминга полностью за­ дается количеством проверочных элементов г в кодовой комбинации. Порядок формирования г проверочных эле­ ментов определяется задаваемым алгоритмом обнаруже­ ния и исправления искаженного элемента, т. е. требо­

то согласно изложенному должно соблюдаться неравен­ ство

Единица в правой части учитывает случай отсутствия искажений. Сопоставляя выражение (6.26) с аналогич­ ным выражением табл. 6.3 для случая r—Ъ, видим, что они совпадают. Подставляя в (6.26) г—п—k, получим

где п и k могут принимать только целые значения. Не­ равенство (6.27) является исходным при определении длины кодовой комбинации по заданному числу инфор­ мационных элементов.

Теперь, исходя из изложенного требования к форми­ рованию проверочных элементов, определим, какие из разрядов, кодовых комбинаций должны охватываться каждой из г проверок. Обозначим результат каждой проверки через П.

Пусть /7, = 1. Это значит, что один из элементов ко­ довой комбинации, охватываемых первой проверкой, ис­

326 . , -

ряд синдрома. Из табл. 1.1 находим все числа, имеющие

Теперь определим, какие позиции кодовых комбина­ ций занимают проверочные разряды, а какие—информа­ ционные. При этом необходимо помнить, что в каждую последовательность элементов, охватываемых провер­ кой, должен входить только одни проверочный элемент.

каждый первый элемент является проверочным, так как он входит только в соответствующую проверку. Эти эле­ менты формируются на передаче.

В качестве примера рассмотрим преобразование семиэлементного простого кода (К—7) в код Хэмминга, исправляющий одиночную ошибку. Согласно. (6.27) по­ лучим п— 11; г = 4 . Для такого кода четыре проверочных

327

b% = а 2 = а3 © а 6 © а, © а 1 о © а 1 1 ( 63 = 04 = ай © а в © а7 ,

К = а 8 = а 9 © а 1 0 © an.

Пусть передаваемая информационная последователь­ ность имеет вид 1011010. Тогда согласно изложенному принципу кодирования в канал связибудет передана кодовая комбинация 00100111010.

Теперь предположим, что в принятой комбинации ис­ кажен 9-й разряд — 00100111110. В результате четырех проверок на четность при декодировании получим:

есть двоичная запись цифры 9, то, следовательно, в при­ нятой комбинации искажен 9-й элемент, который необ­ ходимо исправить.

Если к передаваемым в канал связи «-элементным ко­

равна единице, а первые г проверок указывают номер искаженного разряда;

328

Следовательно, двойная ошибка, не исправляемая ко­ дом, обнаруживается только тогда, когда хотя бы одна из первых r-проверок не равна нулю, а результат послед­ ней проверки равен нулю.

И т е р а т и в н ы е к о д ы . Комбинационные коды, построенные посредством произведения двух или более исходных систематических (групповых) кодов, называ­

рядов правого столбца. В обоих случаях будет получен одинаковый результат.

личения информационных комбинаций в блоке можно уменьшить избыточность кода. Такой код позволяет ис­ править одиночные ошибки, так как при одиночной ошиб­ ке в результате декодирования не совпадут одна про­ верка на четность по строке и одна по столбцу, что ука­ зывает на искажение общего для данной строки и столб­ ца информационного элемента. Кроме того, код обнару­ живает все двойные и тройные ошибки. Не обнаружива­ ются четверные ошибки при условии искажения двух элементов в одной строке и двух элементов© другой, рас­

329