Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шляпоберский В.И. Основы техники передачи дискретных сообщений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

19.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

индекс указывает па номер строки, а второй — на но мер столбца. Нетрудно показать, что вес итеративного кода, построенного на базе двух простейших избыточ ных кодов с проверкой на четность, равен 4.

В общем случае для формируемого итеративного ко да справедливо следующее положение: минимальный вес. итерации или произведения двух кодов равен произве дению минимальных весов этих кодов [66]. Если учесть, что корректирующая способность кода тем выше, чем больше его минимальный вес, то итеративный код, об разованный итерацией двух пли более кодов, будет об ладать большей корректирующей способностью, чем каждый из образующих его кодов. Практическое приме нение нашли итеративные коды с двухмерной и трех мерной итерацией. В качестве исходных кодов чаще все

го используются коды с проверкой	на' четность и коды
„сщроверкои по модулю 3 или 7.
" Ц и к л и ч е с к и е к о д ы . Из	всех разновидностей

систематических кодов циклические коды получили наи большее распространение. Это обусловлено их высокими корректирующими свойствами и сравнительно простой реализацией кодирующих и декодирующих устройств, в которых они используются.

При описании свойств циклических кодов пользуют ся представлением кодовых комбинаций в виде много

членов от фиктивной	переменной х, в которых цифры
О и 1, составляющие	кодовые комбинации, являются ко

эффициентами переменной. Если число элементов кодо вой комбинации равно п, то соответствующий ей много

член		имеет вид
F	(х)	= c„_i хп~х	+ с „ _ 2 хп~2	+ ... + с2		х2 - f	Ci х -f- с 0 х°,
где	Со,	Си .. ., сП-1	— коэффициенты,			принимающие			зна
чения 0		или 1. Например, кодовой комбинации						10110001!
соответствует многочлен F(x)				=х8	+ х6-\-хъ		+ х+	1, а	ком
бинации		110001010	— многочлен		F(x)	=хе	+ х7-\-х3+		1.

С данными многочленами можно производить все основные ал гебраические операции (сложение, умножение, деление и др.). Од нако сложение (приведение подобных членов) производится, как обычно, только коэффицинты подобных членов складываются по мо дулю 2:

\х1 +	1х1 =	Од-'',	0х1	+	Ox1	=	OJC',
1 х г +	0х'' =	1 х',	0х'	+	1 х1	=	W.

Как следствие, —1 л: = 1 А:.

330

Поясним	сказанное на			примере сложения			трех	многочленов:
	х 8	-\|-	хв	+ х 6 +			ж-f-I
+		х1	-\- ха	+ х* + д:4 + х 3 +				1
		Л:7 4; х в		+	х3	+ х2 4-		1
	л - 3	+	Xе	+	х*+	х2	+х	+ 1
Аналогичным	образом		осуществляется			умножение		многочленов:
			хъ	+	л-3 + х2	-\|-	А- + 1
		л 8	+		х 1 + л-3 + х" +		А"
			А* +		X3 + X2 +		X -\|- 1
		хо+л-6		+	х4 -\|-		1
Основным свойством циклических кодов, определив
шим их наименование,					является	то,	что	циклический

сдвиг элементов разрешенной комбинации на один эле мент влево также образует разрешенную комбинацию. Если разрешенную кодовую комбинацию циклического

кода представить в виде v(fn-\,

In-z,

•

• ••

fi,

fo), то

ком

бинация v'=($n-b

fn-з,

.. •, fi,

/о, fn-i)

также

является

разрешенной

комбинацией

этого

кода.

Циклический

сдвиг разрешенной кодовой комбинации на один элемент

алгебраически

эквивалентен

умножению

ее

многочлена

на х:

Хр(х) = Сп^Хп

+ Сп-2Хп-1-\-

. . . +CiX2 + C0X.

Так как

степень многочлена

«-элементной

кодовой

комбинации

не

может

превышать

( я — 1 ) ,

то

хп

есть

х°.

Отсюда хР(х)=\сп-2хп-<

+ ... + С1Л2

+ СоХ +

сп-2,

т. е. xF

(х)

является циклическим

сдвигом

комбинации

F(x).

Способы

построения

и основные

свойства

цикличе

ских кодов легко пояснить, если воспользоваться опре

делением циклических

кодов,

даваемым

алгебраической

теорией кодирования: циклическим (п, /г)-кодом назы


вается код, множество кодовых					комбинаций		которого
представляется			совокупностью		многочленов		степени
(п—1)	и	менее,	делящихся на		некоторый		многочлен
Р(х)	степени (п—к),			который является		одним	из	сомно
жителей		разложения		бинома	,v" + l .	Многочлен		Р(х)
принято называть			образующим.

Обозначим через G(x) многочлен, соответствующий кодовой комбинации /г-элементного простого кода, а че рез F(x) многочлен, соответствующий кодовой комбина ции образованного «-элементного циклического кода.

331

'Тогда согласно данному выше определению кодовый многочлен F(x) может быть образован умножением мно гочлена сообщения G(x) на образующий многочленР(х):

F (х) ~ G(x) Р (х).

(6.28)

Такой метод построения приводит к образованию нераз делимого кода, т. е. не обеспечивается четкое разделение информационных и проверочных элементов в комбина циях, что усложняет процесс декодирования.

Для формирования кодового многочлена F(x) вос пользуемся методом [66], при котором коэффициенты при членах высших порядков будут соответствовать инфор мационным элементам, а коэффициенты при членах низ

ших	порядков—проверочным элементам.				Умножим
G(x)	на хг.	Деление	полученного выражения		xrG(x)	на
Р(х)1)	дает	частное	Q(x) п остаток	R(x) степени,		мень
шей г. Отсюда
		xr G (х) = Q (х) Р (х) +		R (х).		(6.29)

Так как вычитание по модулю 2 полностью совпадает со сложением, то

хг G (х) +	R {х) = Q (х) Р (х).	(6.30)
Поскольку частное Q(x)	и.меет ту же степень, что	G(x),

то оно также является комбинацией простого /г-элемент-

ного	кода	и,	следовательно,			левая	часть	выражения
(6.30)	есть	кодовый многочлен:
			F(x)	=	xrG(x)	+ R(x).			(6.31)
Анализируя			выражение		(6.31), видим, что первое сла
гаемое xrG(x)			имеет	нулевые		коэффициенты		в г	членах
низшего порядка, а степень второго							слагаемого		меньше

г. Следовательно, коэффициенты г членов низшего по


рядка кодового многочлена	F(x)	являются		такими же,
что и коэффициенты остатка R(x),		а	коэффициенты k
членов высшего порядка функции F(x)			имеют те же ко
эффициенты, что и многочлен G(x).		Таким		образом, ко
эффициенты остатка R(x)	соответствуют			проверочным

элементам, а коэффициенты членов степени г и выше — информационным элементам.

Поясним сказанное на примере. Пусть для помехо устойчивого кодирования |12-эле,ментно>го первичного -ко-

') В двоичной форме записи операция умножения на х' экви

валентна приписыванию справа г нулей.

332

Да (k=<\2) .используется образующий многочлен пятой степени Р(х) = х 5 + х4 + х2+\, т. е. число проверочных эле ментов будет равно пяти (/" = 5). Определим значения проверочных элементов для 'Комбинации 010001011001

	G (х) = х 1 0	+ х е + х* + Xs		+	1.
Помножим многочлен сообщения				G(x)		на Xs и полу
ченное произведение разделим на Р(х).					Путем последо
вательного деления найдем частное Q(x)=xi0						+ x9 + x&-\-\
и остаток R(x) = х 4 + х 2		+ 1.
Кодовый	многочлен	F(x)	получают сложением остат
ка R(x) с	x5G(x)
F(x)	= х 1 5 - I - х11	-\|- х 9	+ хв + х 5	+	х 4	+ x 2 - j - 1,

Отсюда передаваемая в канал связи комбинация цик лического 17-элементного кода будет иметь вид

010001011001	10101
информационные	проверочные
элементы	элементы

Под влиянием помех в канале принятая последова тельность элементов может отличаться от переданной, т. е. кодовый многочлен F(x) преобразуется в многочлен Н(х). Так как многочлены складываются по модулю 2, то Н(х) можно представить как сумму двух многочле нов:

			H(x)	= F(x)	+ E{x),					(6.32)
где Е(х)	—	многочлен		ошибок,		содержащий			столько
членов, сколько элементов в					принимаемой			комбинации
не совпадает с переданной.
Пусть	в	переданной			кодовой			комбинации
01000101100110101			F(x)=xis		+ xu+x* + x*+x5			+ xl	+	x2+]
искажен	седьмой		элемент		и	она	принята,			как
01000111100110101			Н(х)=\х15		+ хг* + х * ° + х 9 + х8 + х 5					+ х 4 +
+ х 2 + 1 .	Нетрудно		видеть, что комбинацию					Н(х)		мож
но рассматривать			как сумму		по модулю		2	комбинаций:

^01000101100110101

^00000010000000000

01000111100110101

F{x)=x1&+xn+		x9+xs+x5+x4+x2	+ l
®£(*) =	х10
Н{х)=х1Ь+х11-fx1"+х°+х8+х5		-4-х4	+ х 2 + 1

333

Основным критерием наличия в принимаемом сооб

щении	Н(х)	ошибки является его неделимость без		ос
татка	на образующий многочлен Р(х).		Если Н(х)	де
лится	на Р(х),	то принятое сообщение	рассматривается

как правильное, даже если и произошла ошибка (случай

необнаруженной ошибки). Так как					H(x)=f(x)+E(x),
то	неделимость	И(х)	на Р(х)	определяется . тем,		что
Е(х)	не делится	на	Р(х).
	Корректирующая		способность		циклического	кода

полностью определяется видом образующего многочлена Р(х). Поэтому правильный выбор образующего много члена является основной задачей, решаемой при пост

роении циклического			кода.
Рассмотрим некоторые основные свойства цикличе
ских кодов.
Свойство		1. Циклический код, образующий				многочлен
которого	Р(х)	содержит больше		одного члена, обнару
живает все одиночные ошибки.
При	одиночной		ошибке в !-м разряде			многочлен
ошибки	будет иметь вид Е(х)—х1			и для	обнаружения
ошибки	не должен		делиться без	остатка	на	Р(х). Оче

видно, что А"' не делится без остатка на многочлен, со держащий более одного члена. Простейшим таким мно гочленом является (х+\).

Свойство 2. Циклический код, образованный много членом Р(х)=х+1, обнаруживает не только одиночные ошибки, но и любое нечетное число ошибок.

Для обнаружения ошибок при образующем много члене Р(х) = х+\ кодовый многочлен F(x) должен де литься на Р(х) без остатка, т. е.

	F(x)	= (x+l)Q(x)	=	xQ{x)+Q(x).
Если	Q(x)	содержит	пг членов,	то	xQ(x)	также		со
держит m членов. Из общего числа				Ъп	членов	в	Q(x)	и
xQ(x) nil	пара	членов, имеющих		одинаковые			степени,

при суммировании по модулю 2 дадут нули. Тогда в

функции F(x)	останется	2(m—т,)	членов, т. е.	четное
число. Отсюда	следует,	что кодовый многочлен		любой

комбинации циклического кода, образованного много членом Р(х)=х+1 содержит четное число членов.

При нечетном числе ошибок многочлен ошибок Е(х) будет содержать нечетное число членов и, следователь но, не будет делиться на Р(х).

334

Свойство 3. Циклический код, образованный много членом Р(х), обнаруживает все одиночные и двойные ошибки, если значность «ода л меньше или равна сте

пени / двучлена

х1+1,

где

/ — наименьшее

число,

при

котором х'+

\ делится

на

Р(х)

без

остатка.

Для обнаружения двойных ошибок необходимо, что

бы

многочлен

ошибок

Е(х)

=x{

+ xj

не делился

на

Р(х)

при

любом

j<n.

'Полагая

i<j,

преобразуем

Е(х):

Е{х) =

х1(\+х^).

Так

как

— i ) <n^Zl,

то

xi_i+\

не

делится

на

Р(х)

и,

следовательно,

код

обнаруживает

все

двойные

ошибки.

•Все одиночные ошибки обнаруживаются согласно до

казанному

выше, так

как

Р(х)

имеет больше,

чем один

член.

Согласно табл. 6.2 число проверочных разрядов си

стематического (п, /?)-кода,

обнаруживающего

двойные

ошибки

(d = 3),

определяется

из

выражения

2т^п+1.

Очевидно, что наибольшая экономичность кода

обеспечи

вается при п = 2г—1.

Поэтому при построении циклических

кодов

значительный

интерес

представляют

значения

/=*2Г —1. В этом случае существует, по крайней мере,

один многочлен		Р(х)	степени		г,	на	который	двучлен
\+х'-~~'	делится	без	остатка.
Таким образом, можно утверждать, что для любого г
существует циклический код					длиной		п=2г—1,	образо
ванный многочленом			Р(х)	степени г, который обнаружи
вает все	одиночные и двойные				ошибки.
В общем случае двучлен вида						х 2 _ 1	+ 1 является наи
меньшим	общим	кратным		для		всех	неприводимых')
многочленов степени			г.

В табл. 6.11 приведены все неприводимые многочле ны до шестой степени включительно и некоторые много


члены от седьмой до десятой степени.
Свойство	4. Циклический		код,	образованный			много
членом вида Р(х)=$х+,$Р,(х),				позволяет		обнаружить
все одиночные, двойные и тройные ошибки, если							степень
г' неприводимого		многочлена Р'(х)		такова,		что	двучлен
2Г —1 будет	больше или 'равен числу				элеметов		кода п.
') Неприводимым		называется	многочлен,		делящийся без остат
ка только на единицу		и на себя.

335

Т А Б Л И Ц А 6.11

Вид неприводимого многочлена

Х+1

х*+х+\

х3+хг+ 1 х*+х+\

xi	+ x+ 1
.v''+.v3 +l
х^+хл+х-+х+\
х5+х2+1
х*+х3+\
х5+х3+х2			+ х+\
х5	+ х'' +		х-+х+\
х5	+	х'' + х3	+ х+ 1
Х 5 + А - 4 + Х 3			+ А - 2 + 1
А - 6 + Х 3 + 1
xe	+	xs+\
xe + xi+xz			+ x+ 1
х 6 + . с 1 + д:3 + х + I
хв+х5		+ хг	+ х+ 1
А - 6 + А 5 + А - 3			+ А-2 + 1

А 6	+ А - 5 + А 4 + Х - Н
А"6	+ А - 5 + А - 4 + А 2 + 1
А 7	+ А - ° + 1
ха	+ х*+х3 + х°-+\

А-8 +А-° + А 5 + А''+ 1

А-9 + А 4 + 1 А-° + А - 5 + 1

А-1 0 + А 3 + 1

А^ + А " 1 - ! - !

П=1=2Г— I

127

255

511

1023

Справедливость данного следствия вытекает из пре дыдущего. Сомножитель (х+\) обнаруживает одиноч ные и тройные ошибки, а Р (х) — двойные.

336

Рассматриваемый циклический код позволяет также обнаружить ,все кодовые комбинации, в которых имеются две пары двойных смежных ошибок. Многочлен ошибок такого .вида равен:

	Е (х) = х1 + x i + l + х1 + x i + l .			(6.33)
После преобразований получим Е(х) =-(x+\)i(xi				+	xi).
Этот многочлен		не делится на Р(х) — (х+	1)Р'(х)		без
остатка, так	как х^ + х1 ие делится на Р'(х),		что	было
показано при рассмотрении свойства 3.
Свойство	5.	Циклический код,, образованный		много

членом степени г, обнаруживает любой пакет ошибок длиной г и менее ' ) .

Пакету		ошибок			длиной г		соответствует			многочлен
ошибок	вида		Е(х)		— х*+ ...		+ . . . - f x '			при	/—1 =
=т—'1.	Вынося			за скобку х1,			получим
				£ ( * ) = * ' ( / - ' + . . . +				1).			(6.34)
Поскольку степень многочлена, стоящего в скобках,
меньше г, то многочлен Е(х)							не делится на образующий
многочлен		Р(х),		степень		которого т, что и				обеспечивает
обнаружение			пакетов ошибок				длиной	т и	менее.
Оценим, чему равна часть необнаруживаемых паке
тов ошибок, если длина						пакета 6 =•/"+• 1.
Многочлен			ошибок,			соответствующий			данному слу
чаю, имеет вид
				Е(х)	= х'(хГ +		... 4- 1).
Деление Е(х)				на Р(х)		без остатка		возможно			только,
если Е(х)		—xiP(x).			В о всех остальных			случаях в			резуль

тате деления получится остаток степени ."(,г—1), количе ство вариантов которого в зависимости от вида много члена ошибок не превышает 2Г —4. Таким образом, ко личество пакетов ошибок длиной ( r + l ) , необнаружи ваемых циклическим кодом, составляет 1/2г~! часть всех

пакетов длиной	( i r + 4 ) .	что Ь>г+Л.
Теперь предположим,		что Ь>г+Л.	Для	пакета оши
бок длиной b	многочлен	ошибок	имеет	вид Е(х) =

') Пакетом ошибок длиной b будем называть группу из b еди ничных элементов, начинающуюся и кончающуюся ошибочными еди ничными элементами, в которой число правильных единичных эле ментов, разделяющих два соседних ошибочных единичных элемента, всегда меньше данного числа Ь.

337

= xi(хь~1 + . . . + i l ) • Поскольку b-~[>r,	то	многочлен
ошибок может делиться без остатка на Р(х).		Возможное

число вариантов многочленов ошибок равно 2Ь—2. При и> делении на образующий многочлен получается 2Г ос татков и только один из них будет нулевым. - П р и 1 количество необнаруживаемых пакетов ошибок состав ляет 1/2г часть от общего числа пакетов.

Основной задачей, решаемой при построении цикли

ческих	кодов, является		выбор образующего многочлена,
исходя	из	требуемых	корректирующих свойств		кода.
Для кодов, обнаруживающих двойные ошибки					( d = 3 ) ,
степень	образующего многочлена			г и значность	кода а
выбираются		из условия	п = 2г—1.	Лри этом в качестве

образующего многочлена может быть выбран любой из


неприводимых многочленов степени				г	(см. табл.		6.10).
Так, при /-=3 можно построить 'циклический						код	(7,4);
при г—А — код (15,11); при г = 5 — код (63,58).
При		построении	'кодов, обнаруживающих			одиночные,
двойные		и тройные	ошибки ( r f = 4 ) ,	берется образующий
многочлен вида Р(х) = ' ( х + 1 )Р'(х),				Где Р'(х)		—	обра
зующий многочлен степени г' для кода с d=3.							Длина
кодовой комбинации выбирается из условия						п = 2 г — 1 ;
число	проверочных		разрядов равно: г =		г'+\.
В	качестве примера, поясняющего выбор				образующего		много

члена и формирование проверочных элементов, рассмотрим построе ние циклического кода с d = 3 для передачи одиниадцатиэлементпых


комбинаций			(К=Ы).	При этом число		проверочных		разрядов	г = 4.
Образующий			многочлен		такого (15, '11)-кода может быть				любым
из	трех	неприводимых			многочленов	четвертой степени, например,
Р(х)	= х'1+х+\,		или в двоичной форме 10011.
	Строками порождающей матрицы циклического (п, £)-кода яв
ляются		соответственно			образующие		многочлены	Р(х);	хР(х);
х2Р(х);		...; х''-1Р(х),		дополненные слева			нулями. Поэтому		порож
дающая		матрица искомого кода будет				иметь вид
					00010011010111I
					_ 001001101011110
			0	5 , 4 )	010011010111100
					100110101111000

Нетрудно видеть, что все исходные кодовые комбинации раз личны, имеют вес d и благодаря циклическому сдвигу линейнонеза-

висимы. Кодовое расстояние между любыми парами кодовых комби наций также не меньше d. Остальные разрешенные кодовые комби

нации могут быть получены суммированием по модулю 2 любых со четаний исходных комбинаций.

338

Проверочная

матрица

Ип, п-ь. циклического

(п,

£)-кода строит-

ся ма

основе

многочлена

h(x),

полученного

делением

двухчлена

на образующий

многочлен

Р(х):

Последовательность

многочленов

h(x);

xh(x);

x2h(x),

....

хп~''~*

h(x)

является

строками

матрицы

М размерностью

(п,

n—k).

Первая строка представляет собой многочлен h(x)

с приписанными

слева

(г—1)

нулями. Остальные

строки

получаются

в результате ци

клического

сдвига

первой. Для

рассматриваемого примера получим

Л 4 " , ' , = х П + х° + * 7 + *6 + х 3 + х2

+ х + 1,

+ х + 1

или в двоичной

форме

100П0.101ФШ, откуда

000100110101111

001001101011110

М ( 1 5 , 4 )

010011010111100

100110101111000

Цикличность перестановок, определяющая строение рассматри ваемых кодов, а также изложенный выше способ построения комби

наций

циклических кодов

путем

деления

многочлена

исходной ко

довой

комбинации на образующий

многочлен с приписыванием

остат

ка значительно облегчают построение

кодирующих и декодирующих

устройств,

основой которых

являются

регистры сдвига

обратны

ми связями.

iB [66] рассматривается

и другой

способ задания

цик

лических

(п, к)-кодов,

основанный

на представлении об

разующего

многочлена

Р(х)

виде

произведения

нес

кольких

многочленов

и нахождении

Р(х)

по

заданным

значениям

его корней.

доказывается, что если F(x) —

теории кодирования

многочлен

циклического

(п,

/г)-кода и F.(x)

для некото

рого значения а равна нулю, то многочлен F(x)

делится

на т(х),

если т(х)

— неприводимый многочлен мини

мальной степени и

т(а)=0.

•Пусть

а\\ ач\

ат

— корни многочлена

Р(х),

все

различны <и каждый

из них является

корнем

минималь

ных

многочленов

т\(х)\

лго(х);

...;

тт(х).

Тогда

неко

торый многочлен

F(x)

будет принадлежать циклическо

му (п, 6)-коду, если

а,; о2 ;

ат—будут

его корнями.

Многочлен F(x)

силу

определения

циклического

кода должен делиться на каждый из минимальных

мно

гочленов,

а следовательно,

и на их наименьшее

общее

кратное НОКТак как многочлен,

на который

делится

339

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4934 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ