книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

где у1 — почти-период. Теорема 2.3 доказана. Сформули­ руем очевидное следствие этой теоремы:

С л е д с т в и е 2.2. Если функции /, А, g — Т-перио- дические по t равномерно относительно х и у, то функция ф (х, t, г) также будет Т-периодической по t равномерно относительно х для всех е < е0.

§ 3. Исследование решений нелинейных нерегулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений

Впредыдущих параграфах доказано существование и изучены не­ которые свойства интегрального многообразия нелинейной нерегуляр­ но-возмущенной системы (2.1).

Вэтом параграфе с помощью этих результатов исследуются ограни­ ченные, в частности, периодические и почти-периодические решения сис­ темы (2.!).

1. Существование ограниченного решения. Рассмотрим уравнение, к рассмотрению которого сводится исходная система уравнений (2.1) на многообразии S t:

Предположим, что, кроме условий 1°—4°, относительно системы (2.1) выполняются следующие условия.

5°. Вырожденное уравнение

существует фундаментальная матрица решений X (t) та-

выполняются условия 1°—6°. Тогда можно указать такое

теорему о среднем, находим

|r(ü', t, t) — r(v, t, e ) | < | f(p° + V, i))', t, e) —

—f{P° + V, ф, t, e)| +

+1[f (P° + — f (p° + V, 0, t, e)] —

— l/(p° + V, ф, t, e) — f(P° + ü, 0, t, e)]| +

В силу принципа сжатых отображений уравнение ѵ = Іѵ

имеет при е -< г единственное решение ѵ — ѵ (і, е) £ Са, которое является пределом равномерно сходящейся после­ довательности

Отсюда видно, что ѵ (t, 0) = 0. Функция v (t,s) непрерывна

по е, так как она представляет собой предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных по е функций.

убеждаемся, что функция v (t, e) удовлетворяет уравнению (3.7). Если обозначить р (t, s) = р° (t) + v(t,e), то, в силу замены (3.6), функция р является решением уравнения

■свойства которого утверждает теорема 3.1, также явля­

функция ф, а следовательно, и функция r(v, t,e) — перио­ дические по t. Предположим, что функция ѵп — Г-периоди-

периодичности функций р° и ф по / следует Г-периодичность

2.Устойчивость ограниченного решения. Теорема 3.2

утверждает, что существует г-мерное многообразие W r начальных значений, относительно которого интегральное многообразие St условно асимптотически устойчиво. Те­ перь мы рассмотрим вопрос об устойчивости ограниченного

Тогда ограниченное решение (р, q) системы (2.1), существова­ ние и свойства которого установлены в теоремах 3.1—3.3, условно асимптотически устойчиво при t > t0 относительно

ществует многообразие W k начальных значений,относитель­ но которого решение р (t, е) = р° (f) 4 v (t, е) уравнения (3.1) условно асимптотически устойчиво при t > С этой целью наряду с дифференциальным уравнением (3.7) рас­ смотрим интегральное уравнение

286 ГЛ. VI. НЕРЕГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ

установить, что при е < е* (е* С ё) уравнение (3.15) имеет единственное решение и (t, b) для каждого b (| b \ ■< с о ) . Подставляя v (t, b) в уравнение (3.15) и вычитая из полученного тождества (3.12), имеем

со

V (t, b) зависит только от первых k координат произвольно­

го вектора X-1 (t0)b. Следовательно, функции v (t, b) об­ разуют /г-параметрическое семейство решений уравнения

(3.1). Обозначим через Wk многообразие начальных зна­

t, е)), лежащее на интегральном многообразии St. Так как

а) уравнение (З.22)3 имеет изолированное решение z — = ср(х, 0, причем функция фвместе со своими производными

до второго порядка включительно равномерно непрерывна по X, t и ограничена;

б) в области

ложительные постоянные, функция h равномерно непре­ рывна и ограничена вместе с первыми частными производ­ ными по X, г, а функция F равномерно непрерывна и огра­ ничена вместе с частными производными по х, z до второго порядка включительно;

в) вещественные части собственных значений (А)

матрицы А (х, t) = Fz (х, <p (х, t), t, 0) удовлетворяют не­ равенствам Re\- (Л) < —0 ^ (і — 1___ г); Re (Л) > ос2 (і = г + 1,..., п), где at (і = 1,2) — положительные по­ стоянные.

Сделаем в системе (3.21) замену

г = (р(х, t) + y-

Обозначая

/ (t, У, t, е) = h (х, ер (х, t) + у , t, е),

g (X, У, t,e) = F (X, ф (х, t) + у, t, е) —Д (х, ср (х, t), t, 0) у —

— б [ф, (X, t) + ц>х {X, () f (X, у, t, е)],

получим систему вида (2.1).

Покажем, что при выполнении условий а) — в) функции /, Л, g удовлетворяют условиям 1°—4°. Действительно, все условия 1°—4°, кроме неравенства

|g(x, у, U F) — g{x, у, t, е )|< Ц р , г)(\х — х\ + \у — у\),

(3.24)

очевидно, выполняются. Докажем неравенство (3.24). Согласно теореме о среднем имеем