книги из ГПНТБ / Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи
.pdfЕсли все элементы, входящие в системы, имеют одинаковую надежность, то
<2о „осл(0 = [<7(0]п ;
П „ар (0 = Й О Г -
Если вероятности безотказной работы, входящих в систему элементов, подчиняются экспоненциальному закону, то
т |
_ |
|
|
|
|
1 0 поел |
|
_1_ |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Г |
+ |
■+Т |
(2.22) |
|
|
Тх I12 |
|
1 п |
|
^Оі |
|
%1 -)- Х% |
|
■'Ь ^п |
|
Qoпоел (0 = |
е~ |
|
■-+М ' = ё~Хопоел < |
|
|
где Th Тѣ . . Тп — средние наработки на отказ 1, 2, . . . , |
я-го эле |
||||
ментов, а Хи Х% ..., Хп — соответствующие интенсивности отказов.
Надежность связи |
значительно увеличивается в р е з е р в и р о |
в а н н ы х с и с т е м а |
х, т. е. в таких системах, где параллельно ос |
новным рабочим элементам включаются резервные элементы. На пример, на автоматических телефонных станциях резервируются источники питания, сигналыно-вызывные устройства и т. д. При внезапном прекращении подачи электроэнергии от сети переменно го тока или вследствие внутренних технических неисправностей вы прямительные устройства (основные рабочие элементы), от кото рых нормально производится электропитание автозала, уже не мо гут выполнить своих функций (отказывают). В этом случае вклю чаются аккумуляторные батареи (резервные элементы), которые обеспечивают питание станции в течение всего времени отсутствия подачи электроэнергии от сети переменного токи.
В системах производственной связи используются три типа ре
зервирования: нагруженное, ненагруженное и |
облегченное. |
При н а г р у ж е н н о м р е з е р в и р о в а н и |
и основные резерв |
ные элементы находятся в одном и том же рабочем режиме. На груженное резервирование встречается в схемах транспортной свя зи, радиосвязи, при организации производственной громкоговоря щей связи и т. д. Если я элементов включены по схеме нагружен ного резервирования (один элемент основной, а я —1 элемен тов — резервные), то вероятность безотказной работы всей резер вированной системы
<г»н(о = і - П п - < 7 ((оі, |
<2-23> |
£=1 |
|
где q\(t) — вероятность безотказной работы г-го элемента. |
состав |
В случае н е н а г р у ж е н н о г о р е з е р в и р о в а н и я |
ляющие резерв элементы нормально находятся в отключенном со стоянии и переходят в рабочий режим только при отказе предыду щего элемента. Примером ненагруженного резервирования явля-
— 62 —
ются взаимозаменяемые агрегаты сигнально-вызывных устройств производственных АТС (ПАТС), занятые и незадействованные па ры комплексных телефонных сетей, резервирование радиостанций И т. д.
При расчете надежности системы с ненагруженным резервиро ванием предполагается, что: а) резервный элемент не может от казать, когда он находится в отключенном состоянии; б) время, в течение которого отказавший элемент заменяется резервным, пре небрежимо мало и в) переключающее устройство абсолютно на дежно. С учетом этих допущений вероятность возникновения отка за системы с ненагруженным резервом
П
■ |
П pi(t) |
|
(2.24) |
|
П\ |
где pi(t) — вероятность возникновения отказа і-го элемента. |
|
В случае о б л е г ч е н н о г о |
р е з е р в и р о в а н и я резервные |
элементы до момента включения в работу находятся в облегченном (дежурном) режиме, при котором вероятность возникновения отка за меньше, чем при рабочем режиме. Облегченное резервирование широко используется при организации производственной громко говорящей связи, радиосвязи и в ряде других случаев.
Вероятность Рпо(0 возникновения отказа в системе, где име ются один основной и п—1 резервных элементов, находящихся в
облегченном режиме, приближенно равна: |
|
Рпо (t) яа -Я°(Я°+ Яі) • ■■-•^о + (я-1)Я1 t n ' |
(2.25) |
где Яо — интенсивность отказа элементов в рабочем режиме; Я4— то же, в облегченном режиме.
Если рассматриваемая система содержит п элементов, то коэф фициент готовности системы кгс может быть вычислен так:
П
«те = П 1о 4~ 1і< • |
<2'26) |
<=1 |
|
где Тоі, Ти — соответственно среднее время наработки |
на отказ |
и восстановления г'-го элемента. |
|
Решение конкретных задач надежности, как правило, связано со значительными вычислительными трудностями. Поэтому широ ко используются различные вспомогательные таблицы (например, [1, 21, 35, 70, 176, 184]) или ЭВМ. Большое количество формул ра счета надежности в самых различных задачах приведено в [70]. В гл. 3 и 9 будут рассмотрены конкретные приложения теории надеж ности к решению некоторых задач построения сетей и организации обслуживания систем производственной связи.
— 63 —
2.3. РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ
Общие положения. Причинные связи, составляющие существо того или иного процесса или явления, могут иметь детерминирован ную или стохастическую природу. Если изменение каждого из опре деляющих данных процесс факторов приводит к результату, кото рый можно предсказать заранее с полной уверенностью, то имеют место детерминированные зависимости. Их естественным обобще нием являются стохастические зависимости, которые верны для рассматриваемых совокупностей в целом, но для каждого отдель ного момента времени или отдельных элементов этих совокупностей допускают отклонения, носящие случайный характер. Объектив ный анализ стохастических зависимостей основан на двух методах математико-статистической обработки данных наблюдений — рег рессионном и корреляционном.
Р е г р е с с и о н н ы й а н а л и з используется для установления связи между величинами, характеризующими рассматриваемый процесс или явление. Вид функции, связывающей данные величи ны, предполагается известным, и задача сводится к определению количественных параметров этой функции. Иногда говорят о «вы равнивании» функции по аргументам, позволяющим избежать слу чайные для данного процесса отклонения.
К о р р е л я ц и о н н ы й а н а л и з применяется для оценки тес ноты связи и определения формы связи между случайными величи нами, т. е. он включает в себя и регрессионный анализ. Зависимо сти, полученные на основе корреляционного анализа, называются линиями регрессии.
Объективный анализ связи между двумя случайными величина ми, в первую очередь, основывается на корреляции двух перемен ных (парной корреляции). Под анализом парной связи понимает ся: а) определение наличия и тесноты зависимости между двумя переменными; б) определение наилучшего (с позиции определен ного критерия) математического описания авязи; в) выявление сте пени неопределенности найденной связи и погрешностей как исход ных данных, так и полученных результатов.
Коэффициент корреляции. Допустим, что мы имеем две пере менных величины — х и у — и нам известны их числовые значения в определенной области. Между значениями х и у возможно взаим но однозначное соответствие. В этом случае можно говорить о том, что существует функциональная зависимость между переменными или что у является функцией х.
В реальной действительности возможны такие зависимости, ког да каждому элементу х соответствуют определенные значения у только в среднем. Отклонения фактических значений у от среднего возможны в результате действия множества случайных факторов, приводящих к существованию определенного закона распределения вероятностей указанных отклонений. Вполне логично предположе ние также и о том, что если значения аргумента х в эксперименте
— 64 —
не являются фиксированными и если они подвержены действию тех же случайных факторов, то существует закон распределения веро ятностей отклонения аргумента от его среднего значения. Полу ченные в результате эксперимента числовые значения переменных X и у содержат две составляющие: средние значения известной функциональной связи и случайные отклонения от этих значений. При этом под средними значениями аргумента и функции (х и у) понимаются их математические ожидания.
Возьмем наиболее простой случай зависимости, когда связь между функцией и аргументом линейна, т. е. нам известны два вектора:
У = (уі — Уу У2 — У, |
■ ■ |
Уп у)у |
|
х = (х1— X, |
хг — х, |
. . ., хп— х), |
|
где yit уг, ,..., уп — числовые |
значения |
функции; xit х% . . хп — |
|
числовые значения аргумента; х, у — эмпирические средние значе-
__ П |
__ П |
ния функции и аргумента, т. е. y = Hyiln, |
х ='Ехі[п (і= 1, 2, . . ., п). |
При наличии взаимооднозначного соответствия между у и х оба вектора являются линейно зависимыми, что соответствует сделан ному предположению. Но два линейно зависимых вектора парал лельны между собой. Из этого следует, что если векторы х и у не параллельны, т. е. образуют между собой какой-то угол, то меж ду ними нет взаимооднозначного соответствия. Величина же уг ла при данных условиях явится количественной мерой отклонения фактической связи векторов от взаимооднозначного соответствия. Угол между векторами Ѳ может быть определен по формуле:
COS0 |
ху |
(2.27) |
|
Ѵ\х*\\іЛ |
|||
|
|
Выражая соответствующие векторы через их компоненты, по лучим
П
УІУі ~ у) (х і — х )
|
|
cos Ѳ= - = -------------------- |
= rXy, |
(2.28) |
|
|
|
ЯOyöx |
|
где ву — |
і/ І> |
^ ) 2 |
|
у; |
r ------ |
-----------среднее квадратическое отклонение |
|||
1f |
Y j i x i — lcf |
квадратическое отклонение |
х\ |
|
ох = т |
------ ----------- |
среднее |
||
Гху — коэффициент линейной корреляции между у и х , равный ко синусу угла между векторами.
Коэффициент линейной корреляции по определению равен ± 1, если векторы параллельны, т. е. существует функциональная за-
3 — 1 3 7 |
— 6 5 — |
висимость между переменными. Если же коэффициент корреляции равен 0, то векторы перпендикулярны друг другу и никакой линей ной связи между ними не существует.
Указанные соображения можно изложить и в другом виде, что может помочь более глубокому пониманию сущности явления.
Допущение, что между у и х существует линейная связь, озна чает наличие зависимости в следующем виде:
Уі = а0 + а, xh |
(2.29) |
где уі — расчетное значение функции; х* — фактическое значение аргумента; ао, щ — параметры уравнения.
Написанное выше уравнение называется в математической ста тистике линией (прямой) регрессии у на х. Из сказанного ранее можно допустить также возможность построения линии (прямой) репрессии х на у.
Хі = а0х + alx yh |
(2.29') |
где Хі — расчетное значение х; уі — фактическое значение у; аож, аіж— параметры уравнения.
Если сравнить написанные выше два уравнения линий регрес сии, то можно определить, что они равносильны только при усло
виях Хі= Хі и Уі— Уі, т. е. математические ожидания функции и ар гумента совпадают с их фактическими значениями. Как уже ука зывалось, такой случай может быть только при наличии функцио нальной зависимости у от х. Но фактические значения уі отлича
ются от уі тем больше, чем сильнее действие случайных факторов, вызывающих вариацию фактических значений х и у.
Под т е с н о т о й с в я з и между двумя переменными будем понимать относительное значение вариации функции, вызываемой ^аргументом х, в общей вариации у. В статистике под вариацией величин понимают их среднее квадратическое отклонение. По фи зическому смыслу она равна длинам (модулям) векторов, о кото рых шла речь ранее.
Итак, будем считать, что ryx— G y / x l G v , где ауіх — среднее квад ратическое отклонение у, вызываемое только действием аргумента X, а Gy — то же самое, но учитывающее действие не только аргу мента X, но и всех прочих факторов. Нетрудно показать, что г2ух= ==а,іахх- При функциональной связи обе линии регрессии совпа дают, а потому а і= 1 /а іжи гух= ±1. Чем больше угол между пря мыми регрессии, тем меньше коэффициент корреляции гух.
Из изложенного ясно, что по величине коэффициента корреля ции можно судить о наличии и тесноте связи между переменными X и у, т. е. -о близости векторов х и у к линейной зависимости и о удельном весе вариации, вызываемой фактором х, в общей вари ации функция у. Количественной мерой тесноты связи является ли бо косинус угла между векторами (прямыми регрессии), либо от
— 66 —
ношение соответствующих средних квадратических отклонений. За метим при этом, что границы, в которых может изменяться коэф фициент корреляции (от —1 до +1), еще не содержат в себе кри терия существенности связи между переменными.
Исходя из изложенного выше, параметры линейного уравнения зависимости могут быть определены следующим образом:
«1 = г УХ — \ а о = У — а і х - |
(2.30) |
Ох |
|
Как видно из формул, угловой коэффициент прямой — сц опре деляется величиной коэффициента корреляции и средними квадра тическими отклонениями функции и аргумента.
Приведенные для расчета коэффициентов линейного уравнения формулы равнозначны формулам, получаемым при использова нии метода наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов. Пусть предполагается, что зави
симость признака А от признака Б |
|
имеет вид y = f(x , сц, ог, .. |
||||||||
а«), где X — значение |
признака |
Б; у — значение |
признака А; |
|||||||
(И — подлежащие определению параметры. |
|
|||||||||
В результате эксперимента был получен следующий ряд дан |
||||||||||
ных: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х\ |
х% |
• |
• |
■Хі |
• • •xm, |
|
|
|
|
|
Уі |
Уг |
• |
• |
-Уі |
■ • 'Ут- |
|
|
Согласно методу наименьших квадратов наивероятнейшие зна |
||||||||||
чения параметров а,- дают минимум функции |
|
|||||||||
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
= |
£ [ * / ; |
— |
/ ( * < ; |
|
а 0. <*ь |
«2, • • ■, а „ ) ] 2- |
( 2 . 3 1 > |
||
Если f (х; ао, |
а ь |
а% . .., |
ап-і) |
имеет |
непрерывные частные произ |
|||||
водные по всем своим параметрам, то необходимое условие ми нимума функции 5 представляет систему п уравнений с п неиз вестными.
Нахождение функциональной зависимости между признаками А и Б называют выравниванием эмпирических данных вдоль кривой
y — f(x, |
а0, аь аг, |
. . ., ап-і). |
Если |
f(x; ао, |
сц, аг, ..., Оп-і) = аіХ+ ао, то выравнивание про |
изводится вдоль прямой. Система уравнений, которая получается
при дифференцировании |
(2.31), |
может быть преобразована в сле |
дующую систему уравнений: |
|
|
т |
т |
т |
+= ' £ ХіУі
і = 1 |
t = l |
(=1 |
т |
т |
(2.32) |
<*і £ |
х і + а 0 т = У ] |
У і |
і = 1 |
ь = і |
|
з: |
— 67 — |
При выравнивании по параболе у = агх2 + щх + а0 указанная си стема уравнений с а неизвестными может быть преобразована к виду
|
|
т |
|
т |
|
|
т |
|
|
т} |
|
|
|
а3 £ |
х\ + |
ах £ |
X] + |
а0 £ |
х\ = |
£ |
х] Уі |
|
|
||
|
|
і = і |
|
і=\ |
|
і= I |
|
i = i |
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
«2 |
+ |
“1V |
*? + |
“0 X |
|
= |
Yi |
ХіУі |
\ • |
(2.33) |
|
|
|
/ = 1 |
|
i= 1 |
|
f = l |
|
l - l |
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
«г ^ |
*? + |
аі £ |
+ |
а0m |
= |
£ Уі |
|
|
|
||
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
i= i |
|
|
|
|
Рассматривая |
систему (2.32) |
и приняв, |
ч т о ^ х* = /?и, |
|||||||||
_ |
получим |
первое и второе уравнения |
|
f=i |
|
і= і |
||||||
— ту, |
системы |
в виде: |
||||||||||
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«1 ^ |
Х\ + |
а0 тх = |
£ |
ХіУі |
|
|
|
||
|
|
|
i=i |
|
|
і=>1 |
|
|
|
(2.32') |
||
|
|
|
«і X -f а0 = у |
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ xtyt — тх у |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cti |
г=і_________ |
= |
г,Ух |
а* |
|
|
(2.30') |
||
|
|
|
|
Е* ■ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ i = l |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 = |
г/— ахх |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
ур-ний |
(2.30') видно, |
что |
коэффициенты прямой |
регрессии |
|||||||
по определению корреляционной связи совпадают с теми же коэф фициентами, определенными способом наименьших квадратов. А это значит, что корреляционные уравнения можно рассматривать как аппроксимирующие (приближающие) функции.
Примером использования метода наименьших квадратов может служить вы равнивание вдоль прямой зависимости числа приборов (линий) от величины на грузки при потерях р = 5°/оо на отрезке от 6 до 196 линий. Экспериментальные данные сведены в табл. 2.3. Из таблицы следует, что функцией в данном случае является количество приборов (линий), обозначаемое через ѵ, а аргументом — величина телефонной нагрузки, выраженная в часо-занятиях и обозначаемая че рез у. Выравнивание ведется по прямой вида
о = аіі/ + а0.
— 68 -
Т а б л и ц а 2.3
ДАННЫЕ О ЗАВИСИМОСТИ КОЛИЧЕСТВА ПРИБОРОВ (ЛИНИИ) ѵ ОТ ВЕЛИЧИНЫ ТЕЛЕФОННОЙ НАГРУЗКИ у (ЧАСО-ЗАНЯТИИ) ПРИ ПОТЕРЯХ р-5 9«.
У |
V |
У |
V |
У |
V |
У |
V |
У |
V |
У |
V |
|
1,66 |
6 |
22,9 |
39 |
43,8 |
72 |
64,7 |
105 |
85,6 |
138 |
106,4 |
171 |
|
2,26 |
7 |
23,5 |
40 |
44,4 |
73 |
65,3 |
106 |
86,2 |
139 |
107,1 |
172 |
|
2,86 |
8 |
24,1 |
41 |
45,0 |
74 |
65,9 |
107 |
86,9 |
140 |
107,7 |
173 |
|
3,48 |
9 |
24,8 |
42 |
45,7 |
75 |
66,6 |
108 |
87,4 |
141 |
108,3 |
174 |
|
4,10 |
10 |
25,4 |
43 |
46,3 |
76 |
67,2 |
109 |
88,1 |
142 |
109,0 |
175 |
|
4,73 |
11 |
26,0 |
44 |
46,9 |
77 |
67,9 |
ПО |
88,7 |
143 |
109,6 |
176 |
|
5,36 |
12 |
26,7 |
45 |
47,6 |
78 |
68,5 |
111 |
89,3 |
144 |
110,2 |
177 |
|
6,03 |
13 |
27,3 |
46 |
48,2 |
79 |
69,1 |
112 |
90,0 |
145 |
110,9 |
178 |
|
6,70 |
14 |
27,9 |
47 |
48,8 |
80 |
69,7 |
113 |
90,6 |
146 |
111,5 |
||
179 |
||||||||||||
7,40 |
15 |
28,6 |
48 |
49,5 |
81 |
70,4 |
114 |
91,2 |
147 |
112,2 |
180 |
|
8,13 |
16 |
29,2 |
49 |
50,0 |
82 |
71,0 |
115 |
91,9 |
148 |
112,8 |
||
181 |
||||||||||||
8,86 |
17 |
29,8 |
50 |
50,7 |
83 |
71,6 |
116 |
92,5 |
149 |
113,4 |
||
182 |
||||||||||||
9,63 |
18 |
30,5 |
51 |
51,4 |
84 |
72,2 |
117 |
93,2 |
150 |
114,0 |
||
183 |
||||||||||||
10,4 |
19 |
31,1 |
52 |
52,0 |
85 |
72,9 |
118 |
93,8 |
151 |
114,7 |
||
184 |
||||||||||||
11,2 |
20 |
31,7 |
53 |
52,6 |
86 |
73,5 |
119 |
94,4 |
152 |
115,3 |
||
185 |
||||||||||||
11,8 |
21 |
32,4 |
54 |
53,3 |
87 |
74,2 |
120 |
95,0 |
153 |
115,9 |
||
186 |
||||||||||||
12,4 |
22 |
33,0 |
55 |
53,9 |
88 |
74,8 |
121 |
95,7 |
154 |
166,6 |
||
187 |
||||||||||||
12,9 |
23. |
33,6 |
56 |
54,5 |
89 |
75,4 |
122 |
96,3 |
155 |
117,2 |
||
188 |
||||||||||||
13,5 |
24 |
34,3 |
57 |
55,2 |
90 |
76,0 |
123 |
96,9 |
156 |
117,8 |
||
189 |
||||||||||||
14,1 |
25 |
34,9 |
58 |
55,6 |
91 |
76,7 |
124 |
97,6 |
157 |
118,5 |
||
190 |
||||||||||||
14,7 |
26 |
35,5 |
59 |
56,4 |
92 |
77,3 |
125 |
98,2 |
158 |
119,1 |
||
191 |
||||||||||||
15,3 |
27 |
36,2 |
60 |
57,1 |
93 |
78,0 |
126 |
98,8 |
159 |
119,7 |
||
192 |
||||||||||||
15,9 |
28 |
36,8 |
61 |
57,7 |
94 |
78,6 |
127 |
99,5 |
160 |
120,4 |
||
193 |
||||||||||||
16,4 |
29 |
37,4 |
62 |
58,3 |
95 |
79,2 |
128 |
100,1 |
161 |
121,0 |
||
194 |
||||||||||||
17,2 |
30 |
38,1 |
63 |
59,0 |
96 |
79,9 |
129 |
100,7 |
162 |
121,6 |
||
195 |
||||||||||||
17,8 |
31 |
39,1 |
64 |
59,6 |
97 |
80,5 |
130 |
101,4 |
163 |
122,3 |
||
196 |
||||||||||||
18,4 |
32 |
39,3 |
65 |
60,2 |
98 |
81,1 |
131 |
102,0 |
164 |
|
||
|
|
|||||||||||
19,1 |
33 |
40,0 |
66 |
60,9 |
99 |
81,7 |
132 |
102,6 |
165 |
|
|
|
19,7 |
34 |
40,6 |
67 |
61,5 |
100 |
82,4 |
133 |
103,3 |
166 |
|
|
|
20,3 |
35 |
41,2 |
68 |
62,1 |
101 |
83,0 |
134 |
103,9 |
167 |
|
|
|
21,0 |
36 |
41,9 |
69 |
62,8 |
102 |
83,6 |
135 |
104,5 |
168 |
|
|
|
21,6 |
37 |
42,5 |
70 |
63,4 |
103 |
84,3 |
136 |
105,2 |
169 |
|
|
|
22,2 |
38 |
43,1 |
71 |
64,0 |
104 |
84,9 |
137 |
105,9 |
170 |
|
|
— 69 —
Общее количество точек т—191. Учитывая, что
1 91 |
196 |
191 |
191 |
У щ = 11800; У « = 1 9 2 0 0 ; |
= 970 000; У |
||
і=і |
t'=6 |
і=і |
і=і |
система |
(2.32') примет |
вид: |
|
Ѵі уі = 1 590000,
a j 970•103 + |
а 0• 11,8• 103 = 1590-ІО3 | |
|
оц 11,8-103 + |
а о 191 = 19,2-ІО3 |
Г |
Решая эту систему, получим «і = 1,578, ао = 2,961. Следовательно,
« = 1,578 у + 2,961. |
(2.34) |
Коэффициент корреляции функции (2.34) равен г=0,9999, сумма квадратов отклонений расчетных и фактических данных:
191
і = 1
Таким образом, почти достоверно (с точностью до ІО-4) установлено, что зависимость числа линии от нагрузки может быть представлена прямой (2.34). Отклонения фактических данных от результатов расчетов по ф-ле (2.34) настоль ко ничтожны, что среднее квадратическое отклонение на интервале значений от
6 до 196 линий не превышает V 5,9—2,4 линии.
Корреляционное отношение. Если линии регрессий отличны от прямых, то коэффициент корреляции не дает полного представле ния о силе связи между соответствующими признаками Л и Б. В этом случае за меру зависимости признака А от признака Б при нимают отношение среднего квадратического отклонения условных
средних ух относительно общей средней у к среднему квадратиче скому отклонению признака А. Эта величина называется корреля ционным отношением Л от Б и обозначается через %/*. Аналогич
но ВВОДИТСЯ И Т)х/у.
Допустим, распределение признаков Л и Б дается корреляцион ной табл. 2.4.
П
Очевидно, в табл. 2.4 обеспечивается равенство / Ѵ = ^ т у/=
k |
/=1 |
|
=V пгхі. Тогда корреляционные отношения будут равны: і=і
о (Ах) |
/ У . ш Х1(уХ[- у У |
|
1 = 1 |
(2.35) |
|
%Іх = о (Л) |
|
|
V |
|
X тУі(Уі-У)г
/=1
— 70 —
Т а б л и ц а 2.4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРИЗНАКОВ А И Б
Показатели признака |
Частоты появления статических данных |
Суммарное значение |
|||||
при значениях показателя |
признака А |
|
частот появления |
||||
Б |
|
|
|
|
|
показателя признака |
|
|
|
* |
1 Уі |
У і |
Уп |
Б |
(сумма по строкам) |
|
|
|
|
||||
*і |
|
« а |
«12 |
« 1 / |
«14 |
|
ту |
|
|
х \ |
|||||
*2 |
|
«21 |
«22 |
↔ 2 / |
« 2 4 |
|
ту |
|
|
х% |
|||||
XI |
|
т ‘, |
т , |
тч |
|
|
«*і |
|
|
|
|
|
|
||
Хк |
|
"»Л, |
mkt |
mkj |
ткп |
|
mXk |
Суммарное значе |
|
|
|
|
|
|
|
ние частот |
появле |
|
|
|
|
|
N— объем выборки |
ния показателя |
< |
тУг |
тУ,- |
• , . тУп |
|
||
признака А |
(сумма |
|
|
|
|
|
|
по*столбцам) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
п |
тУ, (хУі - ХТ |
|
|
|
|
_ а {Бу) |
S |
|
|
||
|
|
/='_________ |
|
(2.36) |
|||
|
Цх' » ~ |
о (Б) |
к |
|
|
||
|
V |
mx . (x i —l c f |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
i = i
Корреляционное отношение обладает следующими свойствами:
1)оно всегда заключено между 0 и 1;
2)необходимое и достаточное условие отсутствия корреляцион ной зависимости признака А от признака Б состоит в том, что т]у/ж==0;
3)если %/х= 1, то между признаками А и Б существует функ циональная зависимость y — f(x);
4)коэффициент линейной корреляции между признаками А и
Бвсегда по абсолютной величине не больше корреляционных от ношений у\уіх и т\хіу;
5) если « = а (х—х0), a v — ß (у—уо), то |
и ци/ѵ= 'Цх/у |
(при а> 0 и ß>0). |
|
При определении формы зависимости по экспериментальным данным необходимо считаться с тем, что любая форма является только приближением (аппроксимацией) к некой теоретической за кономерности. Линейная зависимость имеет силу вблизи арифмети ческих средних. Однако если распределение эмпирических данных
— 71 —