книги из ГПНТБ / Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи
.pdfся проектные документы, открывается финансирование, заказыва ются в установленном порядке оборудование и кабельная продук ция, обеспечивается их хранение; заключается договор с генпод рядной строительной организацией или (при отсутствии общестрои тельных работ) непосредственно со специализированной монтаж ной организацией; учитывается, контролируется и регулируется ход (монтажных работ; .контролируется ввод объектов в эксплуата цию. Все перечисленные работы в настоящее время выполняются людьми, с огромным трудом поддаются формализации и в бли жайшей перспективе трудно ожидать передачу решения этих во просов в ведение ЭВМ.
Разработка и изготовление аппаратуры. Разработкой и изготов лением аппаратуры радиоэлектроники и связи и, в частности, ап паратуры производственной связи занимается в основном одна от расль народного хозяйства — радиопромышленность.
Некоторые устройства производственной связи изготавливают ся предприятиями Министерства связи, Министерства путей сооб щений и других ведомств. Поставка этих устройств предприя тиям и стройкам осуществляется по их ежегодным заявкам орга нами Главснаба.
Монтаж. Устройства производственной связи, как правило, мон тируются организациями Министерства монтажных и специальных работ СССР и Министерства связи по инструкциям, утвержденным этими министерствами. В некоторых случаях монтаж выполняется силами служб эксплуатации промышленных предприятий и строек.
Функции учета, контроля, регулирования монтажных работ, а также их планирования, организации и нормирования в перспек тиве будут автоматизированы в рамках отраслевой АСУ строитель ства.
Эксплуатация. Устройства производственной связи вследствие их недостаточной надежности требуют постоянного обслуживания. С этой целью на промышленных предприятиях и стройках созда ются специальные эксплуатационные подразделения. Как правило, уровень специализации служб эксплуатации, их численность, пе риодичность профилактического обслуживания, организация ре монта и другие вопросы определяются на основе действующих ве домственных нормативных документов, составленных применитель но к определенным условиям и не учитывающих (или недостаточ но учитывающих) их разнообразие на практике. Между тем такие математические методы есть. В гл. 9 показано, как с помощью этих методов решаются некоторые задачи организации эксплуатации си стем производственной связи. Несомненно, что применение ЭВМ для решения подобных задач может коренным образом преобра зить существующие организационные формы обслуживания средств производственной связи, сделать службы эксплуатации промышленных предприятий и строек эффективными.
— 42 —
Г Л А В А В Т О Р А Я
Краткие сведения
оматематическом аппарате проектирования систем производственной связи
2.1.ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Предмет, цель и задача теории. Теория массового обслужива ния является основой для расчета систем связи. Предметом теории является количественное описание процессов, получивших назва ние «•массовое обслуживание». Указанные процессы протекают в сфере коммунальных, тортовых, транспортных и т. п. услуг (мас терские по ремонту бытовых приборов, магазины, бани, кассы, городской транспорт и т. д.), что и обусловило название этих про цессов, а через них и всей теории. К ним могут быть отнесены и такие процессы, которые, на первый взгляд, не имеют ничего обще го с процессами обслуживания,— размещение точек противоракет ной обороны, выбор способа проведения ремонта машин, опреде ление числа резервных элементов сложного технического устрой ства и т. д. Тем не менее все эти процессы и задачи имеют одина ковую математическую модель и описываются одними и темя же дифференциальными уравнениями.
Современная математическая наука под массовыми процессами или явлениями понимает такие, которые .имеют место в совокуп ностях большого числа равноправных или почти равноправных объектов и определяются именно этим массовым характером явле ния и лишь в незначительной мере зависят от природы составляю щих объектов [36].
Массовые процессы или явления неизбежны в любой иерархи чески организованной системе. На каждом уровне таких систем связь между подсистемами необходимо рассматривать независимо от внутренней структуры каждой подсистемы. Это означает, что закономерности развития внешних связей между подсистемами от личны от закономерностей внутреннего развития каждой подсисте мы в отдельности. Подобные статистические закономерности наб людаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных слу чайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных осо бенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу [28].
— 43 —
Математическая модель процесса массового обслуживания мо жет быть описана следующим образом: на вход некоторого уст
ройства, которое |
можно назвать о б с л у ж и в а ю щ и м , |
поступает |
поток требований |
(вызовов, заявок и т. д.), носящий, |
как прави |
ло, случайный характер. Каждое из этих требований находится в обслуживающем устройстве также, как правило, случайное время (до окончания прццесса обслуживания).
Несмотря на то, что такая модель кажется весьма простой, су ществует большое количество ее разновидностей. Это объясняется тем, что каждое обслуживающее устройство состоит из определен ного количества обслуживателей (обслуживающих аппаратов). Например, АТС (обслуживающее устройство) содержит в себе сотни, а 'иногда и тысячи коммутационных приборов (обслуживаю щие аппараты). Если в определенный момент времени число посту пивших требований превысит число обслуживателей, то обслужи вание «избыточной» части требований будет задержано (системы с ожиданием) или вообще сорвано (системы с потерями). В сис темах с ожиданием задерживаемое требование может быть либо поставлено на ожидание, сколько бы на это не потребовалось вре мени, либо, в зависимости от длины очереди, поставлено на ожи дание (если очередь короткая) или получить отказ в обслужива нии (если очередь длинная), либо поставлено на ожидание до ка кого-то определенного момента времени, а затем (если к этому моменту оно будет еще необслуженным) исключено из очереди.
Процессы обслуживания отличаются и по организации обслу живающего устройства: его структуре, дисциплине обслуживания.
По структуре различают однофазовые и многофазовые обслужи вающие устройства. Если требование обслуживается только одним обслужиівателем, то обслуживающее устройство однофазовое. При мером такого устройства является сеть диспетчерской связи, когда один разговор — требование— осуществляется одним обслуживателем, состоящим из телефонного аппарата, линии и соответствую щего абонентского комплекта коммутатора диспетчера.
В том случае, когда одно требование последовательно обраба тывается несколькими обслуживателями, обслуживающее устрой ство является многофазовым. Примером такого устройства яв ляется АТС, соединение на которой, как известно, устанавливает ся по ступеням искания.
Требования, поступающие на вход обслуживающего устрой ства, могут обслуживаться в порядке очереди; в случайном по рядке; с преимуществом для требований определенного вида (об служивание с приоритетом) и другими разнообразными способами.
Расчеты характеристик массового обслуживания упрощаются, если систему, вырабатывающую требования для обслуживающего устройства, можно считать состоящей из бесконечного числа ис точников. Если такое допущение невозможно, то следует установить конечное число этих источников, так как тогда необходимо будет учитывать не только состояние (количество занятых обслуживаю-
— 44 —
/
щих аппаратов) обслуживающего устройства, но и состояния ис точников возникновения требований. Реально ни одна система не может иметь бесконечного числа источников. Однако, когда число этих источников очень велико (больше 40-Р 100), можно считать, что число их не ограничено. Такое допущение возможно вследст вие того, что степень точности вычислений в данном случае будет удовлетворительной для решения практически любых задач и воз растет с увеличением числа источников требований. В других за дачах число требований, одновременно поступающих на вход об служивающего устройства, принципиально не может быть больше определенного числа. Например, число поступивших одновременно требований в радиосети не может превышать числа радиостанций.
Имеет принципиальное значение и структура обслуживающего устройства. Задачи массового обслуживания решаются по-разно му в случаях, когда в обслуживающем устройстве содержится бес конечное количество обслуживателей и когда количество сугубо ограничено. Реально неограниченного числа обслуживателей ни в одном устройстве быть не может. Однако, если число обслужива телей в устройстве достаточно велико, то можно принять указан ное допущение. Это позволяет значительно упростить решение за дач, связанных с такими устройствами.
Если каждое поступившее требование может быть принято к обслуживанию любым из свободных в данный момент обслужива телей, то устройство, содержащее эти аппараты, называется неупо рядоченным. Примером такого устройства может быть совокуп ность средств связи цеха, содержащая несколько телефонных ап паратов. В упорядоченных устройствах аппараты, как правило, пронумерованы и новое требование обслуживается только первым аппаратом, если он свободен, или вторым, если первый занят, или третьим, если заняты первый и второй и т. д. Примером упорядо ченного устройства является горизонтальное поле декадно-шагово го искателя автоматической телефонной станции, который осущест вляет свободное (вращательное) движение. В некоторых упорядо ченных устройствах аппараты загружаются в порядке очереди, т. е. освободившийся обслуживатель становится в очередь и не загру жается до тех пор, пока не получат работу все аппараты, освобо дившиеся ранее него. Возможны и другие способы упорядочения устройств.
В практических условиях регулировать количество поступаю щих в обслуживающее устройство требований в течение задан ного отрезка времени весьма затруднительно или даже невозмож но. Это объясняется тем, что обслуживающее устройство, как вид но из названия процессов и теории, является частью системы, соз дающей для него поток требований (система связи по отношению к системе управления; сфера бытовых, коммунальных и прочих услуг •— по отношению к данному человеческому обществу и т. д.). Указанный поток требований обычно (но не обязательно) являет ся случайным (см. ниже). Однако всегда имеется возможность ре
— 45 —
гулировать организацию обслуживания поступивших требований— увеличивать или уменьшать число обслуживателей, распределять поступающие требования между ними, группировать эти аппара ты таким образом, чтобы обеспечивалось требуемое качество функ ционирования обслуживающего устройства. Последнее определя ется в зависимости от назначения обслуживающего устройства либо показателями, характеризующими стоимость устройства и ис пользование его обслуживающих аппаратов, либо показателями, характеризующими процесс прохождения требования через уст ройство (время ожидания, длина очереди, вероятность отказа) ли бо теми и другими вместе.
Теперь становится очевидной ц е л ь т е о р и и м а с с о в о г о о б с л у ж и в а н и я — она состоит в разработке математических ме тодов определения основных характеристик процессов массового обслуживания для оценки качества функционирования обслужи вающего устройства. З а д а ч е й э т о й т е о р и и является отыска ние функциональных зависимостей величин, характеризующих ка чество функционирования обслуживающего устройства, от харак теристик входящего потока и параметров, характеризующих про пускную способность одного обслуживающего аппарата, а так же организации обслуживания в целом.
Таким образом, предмет, цель и задача теории массового об служивания базируются на фундаментальных понятиях «случай ная величина», «вероятность», «распределение вероятностей», вво димых теорией вероятностей. Представляется, что содержание этих понятий читателю известно.
Входящий поток и время обслуживания. Моменты возник новения заявок на обслуживание на входе сети связи определяют ся периодичностью представления информации. В случае детер минированного процесса моменты ti, 4. h, ■■ in возникновения заявок наперед известны. Однако, как указывалось выше, перио дичность поступления информации в большинстве случаев явля ется величиной случайной и весь процесс поступления информа ции — случайным процессом.
При наблюдении за поступлением вызовов (требований, зая вок) на вход сети связи каждый раз фиксируется только опреде ленная реализация данного процесса. Если контролировать посту пление вызовов в течение определенного отрезка времени несколь ко раз, то каждый раз будут получены различные его реализации. При этом под реализацией процесса понимается конкретная запись моментов поступления в систему вызовов. Для полного описания случайного процесса невозможно определить все его реализации, так как их будет бесконечное множество. В этих целях использу ются 'вероятностные характеристики. Как известно из теории (ве роятностей, наиболее полную характеристику случайного процес са дают законы распределения случайных величин, определяющих данный процесс. Напомним, что з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я случайной величины называется такой способ задания ее поведе
— 46 —
ния, который позволяет по определенным правилам получить из
него функцию |
распределения. |
Ф у н к ц и е й |
р а с п р е д е л е н и я |
|
в е р о я т н о с т е й случайной |
величины | |
называется вероятность |
||
того, что £ примет значение меньше, чем х: |
|
|||
|
F t ( x ) r = P ( l < x ) . |
|
(2.1) |
|
Случайная |
величина | может принимать |
непрерывные (т. е. |
||
любые) или только дискретные (например, целочисленные) значе ния.
П л о т н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я н е п р е р ы в н о й с л у
ч а й н о й в е л и ч и н ы I называют |
функцию |
/ g , для которой при |
всех значениях х выполнено равенство. |
|
|
F%{ x ) = j |
/6(2 )& |
(2.2) |
—00 |
|
|
При рассмотрении входящего в сеть связи потока требований (заявок, вызовов) случайными величинами являются моменты возникновения отдельных «заявок на обслуживание» (вызовов, требований и т. д.), объемы документированных сообщений, посту пающих в единицу времени, количество вызовов (для недокументи рованной информации) в единицу времени. Случайной величиной является также и время обслуживания одного вызова, представ ляющее собой, как указывалось выше, характеристику не входяще го потока требований, а обслуживающего устройства (в данном случае сети связи).
Знание закона распределения позволяет однозначно установить все необходимые вероятностные характеристики случайного про цесса и прогнозировать нагрузку, поступающую на вход сети в за данный отрезок времени. Принципиально входящий поток требо ваний и время обслуживания одного требования могут подчинять ся любому закону распределения: дискретному, если в качестве случайной величины рассматривается количество вызовов, или не прерывному, если в качестве случайной величины рассматривает ся продолжительность вызова. В табл. 2.1 приведены основные дан ные некоторых распределений вероятностей, наиболее часто встре чающихся на практике {35, 70].
Для дискретных случайных процессов очень важное значение имеют свойства наличия или отсутствия стационарности, после действия и ординарности.
С т а ц и о н а р н о с т ь означает, что для любой группы из ко нечного числа неперересекающихся промежутков времени вероят ность поступления определенного числа событий на протяжении каждого из них зависит от числа этих событий и от длительности промежутков времени, но не изменяется от сдвига всех временных отрезков на одну и ту же величину. В частности, вероятность появ ления п событий в течение промежутка времени от Т до T + t не зависит от Т и является функцией только п и / .
— 47 —
сч
со
SS
X
к
о
СО
н
ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ч
ч
Iа
Ö
ч
Ö
U
*
сз
та
S
SРЗ
и.
I
ет|
+
и
48
О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я означает, |
что вероятность |
поступления k событий в течение промежутка |
времени от Т до |
T-\-t не зависит от того, сколько раз и как появлялись события ра нее. Отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся про межутки времени. Если за сколь угодно малый промежуток вре мени вероятность одновременного появления двух или нескольких событий бесконечно мала, то процесс, обладающий таким свойст вом, называется о р д и н а р н ы м .
Входящий поток требований, обладающий стационарностью,
ординарностью |
и отсутствием |
последействия, называется п р о с |
т е й ш и м (или |
пуассоновским). Для такого потока вероятность |
|
появления п вызовов за время |
t определяется, как видно из табл. |
|
2.1, по формуле |
|
|
|
|
(2.3) |
Простейший поток обладает рядом интересных свойств:
а) для полного описания простейшего потока достаточно знать математическое ожидание числа требований, поступивших за еди ницу времени, которое численно равно интенсивности входящего потока;
б) конкретные реализации входящего потока могут значитель но отличаться друг от друга, поскольку дисперсия равна математи
ческому ожиданию; |
N |
в) вероятность |
получения в течение промежутка времени дли |
тельности t равно п требований достигает наибольшего значения для t =п/!к {п=0, 1, 2 ...);
г) вероятность (поступления п (вызовов, как видно из ф-лы (2.3), определяется произведением интенсивности потока на продолжи
тельность вызова, т. е. ф-ла (2.3) может быть |
представлена сле |
|
дующим образом: |
|
|
|
Pn(t) = ^ e - y |
(2.3') |
где |
п\ |
|
— величина телефонной нагрузки. |
и как вероятность |
|
|
Вероятность Рп(0 может рассматриваться |
|
одновременного занятия п обслуживающих аппаратов, через кото рые проходит требований со средней продолжительностью t каж дое, и как вероятность появления п требований за время t, равное средней продолжительности обслуживания одного требования. Ес ли входящий поток простейший, то указанные его свойства позво ляют весьма просто решать задачи массового обслуживания. Во многих случаях, связанных с потоками вызовов в различных сетях связи, гипотеза о простейшем потоке является хорошим приближе нием к реальному положению дел. Конкретные примеры простей ших потоков в сетях производственной связи будут рассмотрены в разд. 3.2. В дальнейшем для упрощения выкладок полагается, что это положение сохраняется всегда. Однако следует учитывать, что
49 —
на самом деле простейший поток может лишь приблизительно опи сывать входящие потоки конкретных сетей и для более точного их описания требуется использовать иные распределения, причем не обязательно из числа тех, которые приведены в табл. 2.1.
Из ф-лы (2.3) следует, что если входящий поток требований простейший, то вероятность q(t) того, что вызова за время t не бу дет, подчиняется экспоненциальному закону, так как при п —О
Ро(0 = <7(0 = е -м |
(2.4) |
Обобщением простейшего потока является стационарный ор динарный поток с ограниченным последействием. Потоком с огра ниченным последействием называется такой, для которого проме жутки времени между смежными требованиями есть последова тельность взаимно независимых величин. Если для полного опре деления простейшего потока достаточно задание одной постоянной величины — интенсивности, то для определения стационарного ординарного потока с ограниченным последействием достаточно за дание одной функции <ро(0, представляющей собой предел услов ной вероятности отсутствия требований за время t при условии, что за промежуток времени т поступило хотя бы одно требование. При этом %есть предшествующий t к смежный с ним промежуток вре мени.
Таким образом,
|
|
Фо (0 = |
т-о Р (т) |
<2-5> |
где Р(т) |
— вероятность поступления, по крайней мере, одного тре |
|||
бования |
за |
время т; Р(т, t) — вероятность |
отсутствия требований |
|
за время |
t |
при условии, что за |
предшествующий отрезок времени |
|
т поступило хотя бы одно требование. Функция <р0(t) носит назва ние функции Пальма. Установлено, что для стационарного орди нарного потока с ограниченным последействием вероятность того, что момент поступления п-го вызова меньше t, равна
|
Рп ( 0 = 1 - ф о (t), |
(2.6) |
где Pn(t) — вероятность того, что момент поступления я-го |
вызо |
|
ва меньше |
Формула (2.6) справедлива при любом п ^ 2 , |
т. е. |
Р г (0 — Р з (0 — ■■■= Р п (0 - Заметим, что для стационарного орди нарного потока с ограниченным последействием интенсивность по тока % не равна математическому ожиданию числа требований за единицу времени, как это имело место для простейшего потока. В этом случае
(2.7)
т—о X
— 50 —
Интенсивность такого потока может быть определена и как
(2.7')
о
где фо(*) — функция Пальма.
Функция Пальма широко применяется при расчете многофа-/ зовых систем связи, поскольку доказано [171], что если на вход многофазового обслуживающего устройства поступает простейший поток требований, то на все обслуживающие аппараты этого уст ройства, кроме первого, будет поступать стационарный ординар ный поток с ограниченным последействием.
Другое обобщение простейшего потока может быть получено, если связать последействие с числом обслуживаемых одновремен но вызовов. Потоком с простым последействием называется орди нарный поток вызовов, для которого в любой момент времени Т существует конечный условный параметр этого потока, зависящий только от состояния системы обслуживания в момент Т и характе ристики вызова. Вероятности состояний системы зависят от Г и вероятности поступления вызовов в промежутке Т +А t, т. е. поток с простым последействием является нестационарным потоком. По ток с простым последействием не может быть задан отдельно от системы обслуживания. Задание же системы и стратегии обслужи вания, а также функций распределения времени занятия полно стью определяет данный поток. Поток с простым последействием, параметр которого зависит только от числа обслуживаемых в дан ный момент вызовов, называется симметричным. Простейший по ток это частный случай потока с простым последствием, ;в том числе симметричного, когда параметр не зависит от состояния системы.
Симметричный поток называется п р и м и т и в н ы м , если его па раметр кі прямо пропорционален числу независимых и свободных в данный момент источников, т. е. к і = ( п —і)а, где а — число, пред ставляющее коэффициент пропорциональности, равный параметру потока одного источника в момент, когда последний свободен; п— общее число источников; і — число занятых источников (занятый источник не может производить вызовы) [83].
Если на полнодоступный пучок с ѵ линиями поступает симмет ричный примитивный поток вызовов от п источников, то вероят ность .наличия і занятых линий определяется ф-лой Энгсета [83]
где к — п ос 1+ а
51 —