книги из ГПНТБ / Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи

На рис. 3.11 представлены зависимости 'величины Т0 от XL/v, построенные по ф-лам (3.31') и (3.31"). Из рисунка следует, что

Рис. 3.11. Зависимость математи­ ческого ожидания непроизводи­ тельных затрат времени на под­ ход к телефонному аппарату от расстояния, интенсивности потока вызовов и скорости перемещения

абонента

Если каждый абонент имеет только одно .рабочее место, т. е. если Пі \ то, принимая Т за единицу, имеем следующую упрощенную формулу.:

от поведения других абонентов. Характер возникающих при этом зависимостей требует специальных исследований. Можно предпо­ лагать, что ф-ла (3.32) ів данном случае 'выражает 'верхний предел величины непроизводительных затрат.

Среднее время пребывания абонента возле телефона. До сих пор входящие и исходящие вызовы рассматривались совместно. Одна­ ко входящие и исходящие вызовы не эквивалентны, когда мы рас-' сматриваем время пребывания абонента возле телефонного аппа­ рата. Допустим, что в отрезок времени Т абонент осуществляет ис­ ходящие вызовы с интенсивностью Яисх и продолжительностью Тя каждый, а к нему поступают входящие вызовы с интенсивностью Явх и той же продолжительностью. Из теории вероятностей извест­ но, что если общий поток пуассоновский, то и составляющие его потоки также являются пуассоновскими. Поэтому математическое ожидание величины общего потока вызовов, поступающих на теле­

При исходящих вызовах абонент, кроме Тж, затрачивает время Тп на осуществление требуемого соединения. Тогда математичес­ кое ожидание времени пребывания абонента возле телефонного аппарата при пользовании им равно

— 135 —

Величина Т здесь и ранее должна выбираться, исходя из усло­ вия обеспечения стационарности потока вызовов, без чего нельзя

р(. = Т - [ Г т + Т0].

І= 1

Влевой части этого равенства стоит суммарное время пребыва­

ния абонента на своих рабочих местах в течение отрезка време­ ни Т. С возрастанием Тт и Т0 это время уменьшается.

Если за время пребывания абонента на г-м рабочем месте вы­ зовов не поступает, он будет находиться на этом месте в течение

отрезка времени tі. Вероятность такого события равна е £. Обозначим математическое ожидание времени собственно под­

хода к телефонному аппарату, разговора и возвращения на і-е ра­ бочее место, отнесенное к одному вызову, через tі_г, т. е. на осно­ ве (3.31):

і= 1

Допустим, что ti — отрезок времени интервала Г, в течение которого абонент находился бы на своем рабочем месте, если бы не было телефонного аппарата. Тогда при установке аппарата и поступлении за время ti ровно одного вызова время пребывания абонента на рабочем месте сократится до величины ti—tі_г. Ве­

роятность такого события равна X(ti—/і_г)е~ ■При пос­ туплении двух вызовов время пребывания абонента на і-м рабочем

Ожидание освобождения телефонного аппарата - * • вызывающего абонента

Время ожидания освобождения на исходящем конце телефон­ ного аппарата* от ведения предыдущего разговора зависит от ве­ личины нагрузки, создаваемой одним абонентом у, и числа або­ нентов т, пользующихся этим аппаратом. С точки зрения вели­ чины создаваемой нагрузки в чнн все абоненты принимаются экви­ валентными.

Телефонный аппарат одновременно может обслуживать только один вызов. Если в момент поступления очередного вызова теле­ фонный аппарат свободен, то вызов начинает обслуживаться не­ медленно. Если же в указанный момент телефонный аппарат за­ нят, то обслуживание поступившего вызова задерживается до мо­ мента освобождения аппарата. В этом случае образуется очередь, состоящая из одного требования. Если в рассматриваемой сети одновременно находятся- 3, 4, ..., т вызовов, длина очереди, соот­ ветственно составляет 2, 3, ..., ( т —1) вызовов.

Телефонный аппарат и т потребителей входящих и исходящих сообщений, передаваемых с его помощью, образуют систему без потерь, так как ни один поступивший вызов не окажется необслуженным. Некоторые вызовы будут обслужены незамедлительно (если телефонный аппарат в момент их поступления свободен), а другие задерживаются до момента освобождения телефонного аппарата. Поэтому рассматриваемая система является системой с ожиданием, причем число источников нагрузки конечно (т. е. т < оо).

Продолжительность нахождения вызова, сообщения и т. д. в рас­ сматриваемой системе есть случайная величина. Примем, что она подчиняется показательному закону распределения, т. е.

ние времени обслуживания вызова ((нахождения требования в си­ стеме) .

В любой момент времени в системе может одновременно нахо­ диться k требований ( k ^ m ) . В данном случае конкретная реали­ зация процесса поступления вызовов может быть охарактеризова­ на одним числом — количеством поступивших вызовов (требова­ ний, заявок, сообщений и т. п.), которое и определяет состояние рассматриваемой системы. Поскольку число источников т, соз­ дающих вызовы (как входящие, так и исходящие), конечно, воз­ можно т + 1 состояние данной системы (табл. 3.7).

Каждому состоянию системы соответствует определенная ве­

ности pk и являются вероятностями состояний, в которых может находиться система. Поскольку система обязательно находится в одном из своих состояний, имеет место равенство

Ожидание освобождения занятого телефонного аппарата на ис­ ходящем конце будет охарактеризовано, если будут известны ма­ тематическое ожидание времени ожидания данного вида ti, вероят­ ность отсутствия ожидания данного вида qi и вероятность наличия

о том, что абонент не откажется от соединения вне зависимости от продолжительности ожидания или каких-либо других факторов, связаны соотношением

В рассматриваемой системе время ожидания освобождения за­ нятого телефонного аппарата равно времени ожидания начала обслуживания, так как по условию поступивший вызов немедлен­ но обслуживается после освобождения телефонного аппарата от ведения предшествующей передачи информации. В свою очередь, математическое ожидание времени ожидания начала обслужива­ ния равно математическому ожиданию числа вызовов, ожидающих начала обслуживания. Это равенство вытекает из того факта, что в любой момент времени в системе находится k— \ ожидающих вызовов. Поэтому математическое ожидание числа вызовов, ожи­ дающих начала обслуживания (или, что тоже самое, математиче­ ское ожидание длины очереди), выраженное в долях от рассмат­ риваемого интервала времени (например, чнн), является средним временем начала обслуживания вызовов, поступивших в систему

— 139 —

Ситуация б) соответствует переходу системы из состояния k в состояние k—1. Вероятность этого перехода с точностью до бесконечно малых высшего по­ рядка по сравнению с At равна произведению вероятностей того, что за время At будет закончено обслуживание находившегося в системе вызова, и того, что за этот отрезок времени не поступит ни одного из т—k требований. Следовательно,

А+1. Вероятность этого перехода с точностью до бесконечно малых высшего по­

за время At есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем At. Это можно показать следующим образом.

Вероятность поступления двух требований за время At по теореме умножения

Нетрудно видеть, что вероятность поступления более двух вызовов за время At тем более является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем At. Вероятность того, что за время At будет обслужено два вызова (закончено обслуживание вызова, находившегося в системе в момент t, и полностью обслу­ жен следующий за ним один вызов), равна

Тем более бесконечно мала по сравнению с величиной At вероятность того, что система за отрезок времени AJ обслужит три и более вызовов.

Таким образом, ф-лы (3.41)— (3.43) с точностью до бесконечно малых выс­ ших порядков характеризуют вероятности переходов в рассматриваемой системе. На основании ф-лы (3.40) имеем:

Я0 (t + А 0 = Л> (0 Poo(A t) + рі (і) рю (АО! Pk (t+At) = Pk_ { (0 Pft_ ,, ft (A 0 + pk (0 pkk (A t) +

+Pft+i (t) Pft+i, ft (A 0;

—i!4l —