книги из ГПНТБ / Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи

Потери по времени Pt численно равны вероятности занятости всех линий:

Потери по вызовам могут быть представлены в виде

1 = 0

Можно убедиться в том, что при п->оа последняя формула пере­ ходит в формулу Эрланга.

Время обслуживания требования определяется, с одной сторо­ ны, пропускной способностью обслуживающего аппарата, а с дру­ гой стороны, продолжительностью поступившего требования. Это время является случайным, поскольку случайными являются про­ должительности вызовов (длительность разговоров, число слов в телеграмме и т. д.) и пропускная способность обслуживающих ап­ паратов (время установления соединения телефонисткой я т. п.).

Если при рассмотрении входящего потока требований основное внимание уделяется интенсивности потока, являющейся дискретной случайной величиной, то время обслуживания обычно считается непрерывной случайной величиной. Дискретный пуассоновский про­ цесс характеризуется только функцией распределения вида

представляющей собой «лестницу» с бесконечным множеством «ступенек», начинающихся в неотрицательных целочисленных аб­ сциссах. Поэтому можно говорить не только о функции распреде­ ления вероятностей случайной величины времени обслуживания вида (2.1), но и о ее плотности вида (2.2). Как в теоретических ис­ следованиях, так и на практике, часто применяется показательный закон распределения этой случайной величины. Интенсивность К, как следует из табл. 2.1, в данном случае представляет собой об­ ратную величину математического ожидания времени обслужива-

— 52 —

ния t. Поэтому функция показательного распределения может быть представлена в виде

Функция показательного закона распределения представляет со­ бой плавную кривую, асимптотически стремящуюся к единице.

Примеры использования показательного закона распределения случайной величины времени обслуживания в сетях производствен­ ной связи приведены в разд. 3.2. Надо отметить, что гипотеза о показательном законе распределения данной случайной величи­ ны в сетях производственной связи достаточно хорошо согласует­ ся с практикой при рассмотрении продолжительности телефонных разговоров, времени передачи телеграмм и т. д. Однако, как будет показано в следующем разделе, не вызывают принципиальных трудностей и задачи, когда время обслуживания подчиняется про­ извольному закону распределения.

Расчетные формулы для задач массового обслуживания с пу­ ассоновским входящим потоком и показательным временем обслу­ живания. Как уже указывалось выше, предположения о том, что входящий на сети связи поток вызовов является пуассоновским, а время обслуживания одного вызова подчиняется показательному закону, на практике применяются весьма часто, поскольку эти до­ пущения довольно близко отражают реальную картину. Поэтому весьма существенно уметь количественно решать задачи массово­ го обслуживания, исходя из данных предположений.

Рассмотрим следующую общую задачу. Пусть имеется m источ­ ников нагрузки для обслуживающего устройства, содержащего ѵ обслуживателей, каждый из которых может одновременно обслу­ живать только один вызов. Если в момент поступления вызова имеется хоть один свободный сбслуживатель, он немедленно при­ ступает к работе. Не имеет значения, относится система к числу упорядоченных или нет. Поток вызовов подчиняется пуассоновско­ му закону распределения, а время обслуживания — показательно­ му. Возможны четыре типа сетей.

1)без потерь и без ожидания: каждый вызов, поступивший в любой момент времени, немедленно будет принят к обслуживанию свободным обслуживателем, поскольку число последних не ограни­ чено;

2)с потерями: -вызоів, поступивший ,в момент, копда все обелуживатели заняты, покидает обслуживающее устройство неудовлет­

воренным;

3)с ожиданием: вызов, поступивший в момент, когда имеется*

—55 —

Вероятность рг0 того, что все обслуживающие аппараты в сис­ темах с ожиданием в момент поступления очередного вызова заня­ ты, может быть определена по формуле:

Все обслуживающие аппараты могут быть заняты, когда оче­ редь отсутствует совсем (число вызовов не превышает числа аппа­ ратов), когда ,в очереди находится один вызов, два вызова и т. д. Следовательно, возможно г0+1 состояний, когда вновь поступив­ ший вызов застанет .віое обслуживающие аппараты занятыми. Так как каждое из этих состояний является несовместным событием, то по теореме сложений вероятностей получаем (2.12). Например, для системы с неограниченным ожиданием г0 = оо. Выбирая выра­ жения для pk из табл. 2.2, получим

После простейших преобразований окончательно имеем:

Для сетей с ожиданием и потерями при указанных выше усло­ виях аналогичным образом найдем

От длины очереди зависит время t п ожидания начала обслужи­ вания поступившего вызова, заставшего все обслуживатели заня­ тыми. Это время является случайной величиной и может быть опи­ сано соответствующим законом распределения. Вероятность того,, что время начала обслуживания вызова t r, меньше t для системы с неограниченным числом требований, равна

где t — среднее время обслуживания вызова.

Математическое ожидание времени начала обслуживания мо­ жет быть определено исходя из очевидного равенства, справедли­

Таким образом, аппарат теории массового обслуживания поз­ воляет определить все временные и вероятностные характеристики в задачах, где входящий поток вызовов пуассоновский, а время обслуживания •— показательное. Если эти условия не выполняют­ ся, то расчетные формулы значительно усложняются и вычисле­ ния по ним без применения ЭВМ практически невозможны.

2.2. ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ

Теория надежности является общей научной дисциплиной, изу­ чающей общие методы и приемы, которых следует придерживать­ ся при проектировании, изготовлении, приемке и эксплуатации из­ делий для обеспечения максимальной их эффективности в процессе использования, а также разрабатывающей общие методы расчета качества устройств по известным качествам составляющих их ча­ стей [3,35]. В это определение входит ряд понятий, нуждающихся в уточнениях:

и з д е л и е — элемент, система или ее часть; э к с п л у а т а ц и я — совокупность всех фаз существования из­

делия: транспортировка, хранение, подготовка к использованию по назначению, обслуживание, ремонт;

к а ч е с т в о — совокупность свойств, определяющих степень пригодности изделия для использования по назначению. При таком определении [35] понятие о качестве изделия зависит от способа использования изделия.

Теория надежности возникла в последние годы вследствие бур­ ного развития техники, резко усложнившей функции отдельных устройств, и повысившей их ответственность за выполнение этих функций. Все увеличивающаяся сложность технических устройств приводит к снижению их надежности. Разрешение указанного про­ тиворечия требует научного подхода, базирующегося на примене­ нии методов теории вероятностей, математической статистики, тео­ рии информации, теории массового обслуживания и т. іп. Теория надежности в основном имеет дело со случайными процессами, поскольку как не стремятся к сохранению постоянства условий в процессе производства, однородности исходных материалов и неизменности технологии изготовления, неизбежные колебания всех этих компонентов приводят к существенному разбросу свойств го­ товых изделий. Кроме того, эти изделия в процессе эксплуатации находятся иод воздействием случайных внешних факторов.

Многие задачи теории массового обслуживания приводят к мо­ делям, тождественным моделям теории надежности. В ряде слу­ чаев для использования результатов более «старой» теории мас­ сового обслуживания в теории надежности достаточно слова «тре­ бование», «вызов» заменить словом «отказ», а длительность разго­ вора, обслуживания— временем ремонта и т. п.

Понятие надежности изделия раскрывается совокупностью трех понятий — безотказности, долговечности, ремонтопригодности.

— 58 —

Б е з о т к а з н о с т ь — способность изделия сохранять работо­ способность в течение определенного интервала времени в опре­ деленных условиях эксплуатации.

Д о л г о в е ч н о с т ь — способность изделия к длительной эк­ сплуатации при необходимом техническом обслуживании; она ха­ рактеризуется либо временем, либо числом циклов, либо объемом произведенной работы.

Р е м о н т о п р и г о д н о с т ь — приспособленность изделия к. предупреждению, обнаруживанию и устранению отказов; она ха­ рактеризуется затратами труда, времени и средств на ремонтные

полной потере.

Под н а д е ж н о с т ь ю системы или ее элемента подразумева­ ется свойство сохранять свои параметры в заданных пределах и в заданных условиях эксплуатации. Системы (элементы) подразде­

ставки информации, состоящего из целого комплекса устройств, соединенных особым образом для осуществления этой передачи. Тракт доставки информации, рассматриваемый в целом, и элемен­ ты этой системы (аппаратура связи) относятся к восстанавливае­ мым системам и элементам. Основными количественными харак­ теристиками надежности последних являются наработка на отказ, интенсивность отказов, вероятность безотказной работы, время вос­ становления и время профилактики.

отказов, происшедших в единицу времени, резко уменьшается с те­ чением времени за счет устранения скрытых дефектов изготовления, проявляющихся в начале работы системы (элемента). Отказы, появляющиеся в этот период, носят название п р и р а б о т о ч н ы х .

Второй период — п е р и о д н о р м а л ь н о й р а б о т ы — ха­ рактеризуется тем, что количество отказов, возникающих в единицу времени, практически является постоянной величиной. Эти отказы называются в н е з а п н ы м и и не могут быть предупреждены для увеличения надежности заменой элементов, так как новые элемен­ ты внесут в систему дополнительные приработочные отказы.

В третьем периоде — п е р и о д е и з н о с а — количество отка­ зов в единицу времени резко увеличивается со временем за счет старения элементов. Отказы, возникающие в этот период, получи­

— 59 —

зу. Время восстановления и время профилактики имеют важное значение для оценки деятельности службы эксплуатации (см.

гл. 9).

Основной характеристикой надежности восстанавливаемого эле­ мента является к о э ф ф и ц и е н т г о т о в н о с т и кг, который ра­ вен вероятности того, что в момент t этот элемент находится в ис­ правленном состоянии. Из простых вероятностных соображений можно получить

Из ф-лы (2.18) следует, что коэффициент готовности есть сред­ няя доля времени, которое элемент пребывает в исправленном со­ стоянии. При экспоненциальных законах распределения длительно­ сти «жизни» элемента и времени восстановления

где V— интенсивность восстановления.

Надежность системы связи определенным образом связана с надежностью составляющих ее элементов. Элементы могут соеди­

л е л ь н ы м называется такое соединение, при котором отказ систе­ мы наступит тогда, когда откажут все входящие в систему эле­ менты. При рассмотрении надежности системы до первого отказа для случая последовательного соединения элементов, отказываю­ щих независимо друг от друга, имеем

где QoпоелГО — вероятность безотказной работы системы при по­

роятность безотказной работы системы при параллельном соеди­ нении.

— 61 —