книги из ГПНТБ / Матлин Г.М. Проектирование оптимальных систем производственной связи

освобождения занятого средства связи будут возникать в том слу­ чае, если число ожидающих превышает r(r^> 1). Вероятность от­

к=2 (от — &)! Ук

Р1=

о т !

1 + т у +

(от — k)\

к= 2

Нетрудно убедиться, что в этом случае ?і + Рі0, + Рі= 1.

Ожидание в процессе собственно установления соединения

Некоторые сети связи (АТС, автоматизированная диспетчерская связь, производственная громкоговорящая связь, централизован­ ное автоматизированное громкоговорящее оповещение) имеют в своем составе коммутационные приборы и линии, которые исполь­ зуются коллективно, т. е. если число вызовов превысит количество указанных приборов и линий, то вновь поступающие вызовы будут ожидать освобождения одного, двух и т. д. (в зависимости от ко­ личества вновь поступающих вызовов) устройств от занятия пре­ дыдущей передачей информации. Аналогичное положение соз­ дается на радиосетях прямой диспетчерской связи, где коллективно используется радиоканал, а также в системе радиотелефонной ав­ томатической связи, имеющей ограниченное количество радиока­ налов для широкой группы абонентов.

При рассмотрении вопроса об ожидании во время установле­ ния соединения необходимо рассмотреть три частных случая:

— 144 —

1) число обслуживающих приборов больше одного, число ис­ точников нагрузки не ограничено;

2)число обслуживающих приборов больше одного, число ис­ точников нагрузки ограничено;

3)однолинейная система — один обслуживающий прибор. Первый случай имеет место при телефонной и радиотелефон­

ной автоматической связи; второй — при автоматизации диспет­ черской телефонной связи, в избирательных системах производст­ венной громкоговорящей связи и при централизованном автома­ тизированном громкоговорящем оповещении; третий — при пря­ мой диспетчерской радиосвязи1и в циркулярных системах произ­ водственной громкоговорящей связи.

Расчеты показывают, что при реальных значениях величины нагрузки и числе источников нагрузки более 40 система может рассматриваться в условиях неограниченного,количества абонен­ тов. В противном случае следует учитывать состояние не только вызывающего абонента, но и других источников нагрузки, под ко­ торыми понимаются телефонные аппараты, радиостанции и другие абонентские средства связи, каждым из которых пользуется груп­ па абонентов.

Число источников нагрузки обозначим через т, а число обслу­ живающих приборов — через ѵ. Потери времени на ожидание будут отсутствовать, если число одновременно поступающих вызовов не превосходит количества обслуживающих аппаратов, т. е. к(т)^.ѵ. Таким образом, вероятность отсутствия потерь времени на ожидание равна вероятности застать для поступающего требо­ вания хотя бы один свободный прибор.

Следует отметить, что установление соединения с помощью коммутационных приборов всегда производится несколькими сту­ пенями (ступени искания), на каждой из которых имеется опре­ деленное количество приборов. Занятость может возникнуть на любой ступени искания и для решения нашей задачи небезразлич­ но, где она возникнет фактически. Отрезок времени от момента поступления вызова до момента, когда все ступени искания будут пройдены и установится соединение, будем называть моментом начала обслуживания по аналогии с подобной характеристикой в теории массового обслуживания.

Формулы для определения вероятности отсутствия непроизво­ дительных затрат времени на ожидание в процессе установления соединения (сверх времени /т) получены в результате применения методов теории массового обслуживания с учетом того, что вхо­ дящий поток требований — пуассоновский, а время обслужива­ ния— показательное (см. табл. 2.2).

При выводе формул для определения вероятности отказа або­ нента от установления соединения принимается, что эти отказы возникают только тогда, когда время ожидания превысит какой-то заданный предел. Обозначим время ожидания (являющееся слу­ чайной величиной) через g, а указанный предел через t. Тогда во

— 145 —

всех случаях вероятность явных потерь может быть найдена как Poo = P{l>t}- Например, для первого случая (т> 4 0 ; ш>1)

редать. Поэтому t является случайной величиной. На практике часто случается, что абонент сразу же после получения сигнала «занято» отказывается от осуществления передачи информации или подолгу пытается установить соединение. Влияющими факто­ рами здесь являются работа сети связи (при большом среднем времени ожидания для сети в целом учащаются случаи быстрых отказов от установления соединения), загрузка дбОнентокого уст­ ройства (при наличии ожидающих абонент может отказаться от установления соединения раньше), продолжительность технически необходимого на установление соединения времени U и т. д. Вслед­ ствие этого величина t должна устанавливаться конкретно для каж­ дой сети на основании изучения соответствующих статистических данных.

Для всех рассматриваемых случаев вероятность того, что будут иметься затраты времени на ожидание в процессе установления соединения р2= \ —q2—рщ. При малых величинах потерь сообще­ ния допустимо считать, что вероятность потерь вызова по всему тракту соединения равна сумме вероятностей потерь на всех этапах соединения. Это положение справедливо, если потоки на отдель­ ных ступенях однородны. В противном случае надо учитывать сдвиги максимумов потоков по времени. Если обозначить число ступеней искания через п, вероятность потерь вызова на одной ступени искания через р (предполагается, что эти вероятности на всех ступенях равны) и вероятность потерь вызова в системе че­ рез Р, то Q =1—Р = (1 —p)nw \ —пр; Р=пр, оде Q — вероятность того, что вызов не будет потерян ни на одной ступени искания.

этот остаток не был больше ІО-1, что обеспечило бы точность рас­ четов порядка 10%, то при минимально возможном п = 2 (одна ступень группового и одна ступень линейного искания) величина р должна быть не более 0,316 (31,6%). Практически такие высокие значения потерь вызова не встречаются и можно считать, что эти формулы пригодны для использования при разработке модели процесса доставки информации в сети производственной автома­ тической телефонной связи. Вследствие этого становится возмож­ ным многозвеньевую схему искания заменить однозвеньевой с чис­

— 146 —

лом обслуживающих приборов ѵ, обеспечивающих заданную ве­ личину потерь сообщения.

Затраты времени на ожидание будут иметь место, если коли­ чество одновременно поступающих вызовов превосходит число об­ служивающих приборов. Вероятность появления этих затрат вре­ мени определяется по известной формуле Эрланга (см. табл. 2.2):

Ут

k=о

где ут — нагрузка, кото'рая создается т телефонными аппаратами и рассматривается как среднее число одновременно занятых ли­ ний — второе толкование нагрузки [24, 96].

Таким образом, поступивший вызов с вероятностью р2 будет за­ держан и эта величина может рассматриваться как вероятность появления повторного вызова.

С точки зрения вывода формулы Эрланга потери, возникаю­ щие в результате занятости соединительных путей, являются яв­ ными (вызывающий абонент, получивший сигнал «занято», отка­ зывается от дальнейших попыток установить соединение), а сама система коммутации — системой с потерями. (В соответствии с рас­ сматриваемой моделью получение абонентом сигнала «занято» еще не дает права отнести данный вызов к явным потерям, поскольку информация может быть передана при второй, третьей и т. д. по­ пытках. Таким образом, рассматриваемая модель является част­ ным случгем системы с ожиданием, где время ожидания зависит от числа попыток установить соединение, причем эти попытки осу­ ществляются непрерывно друг за другом и, как указывалось выше, абонент не откажется от установления требуемого соединения. В более общем случае система с повторными вызовами занимает промежуточное место между системами с потерями (когда вызовы происходят с большими временными интервалами, позволяющими рассматривать их как новые вызовы) и системами с ожиданием (когда повторные вызовы следуют друг за другом непрерывно, как в рассматриваемой модели) [75].

Вероятность осуществления k безуспешных попыток установить требуемое соединение pzk равна произведению вероятностей сле­

пытке.

Рассмотрим частный случай системы с повторными вызовами, когда вероятности р2ь Рп> ■■•> Pzk не зависят от номера попытки

иравны вероятности получения отказа р2Тогда математическое

—147 —

ожидание числа попыток установить соединение да2 можно полу­ чить из простых вероятностных соображений:

где а — коэффициент менее единицы, зависящий от того, на каких ступенях искания происходят отказы. Если, например, все отказы

отсчет которых в данном случае ведется от я-й ступени. При таких предпосылках математическое ожидание непроизводительных за­ трат времени в процессе собственно установления соединения мо­ жет быть оценено следующей формулой:

Ожидание освобождения телефонного аппарата вызываемого абонента

Вероятность того, что ожидания освобождения телефонного ап­ парата вызываемого абонента не будет, равна вероятности того, что данный телефонный аппарат свободен, т. е. q3= po, где ро опре­ деляется по ф-ле (3.46).

Аналогично предыдущему принимаем, что вероятность наличия затрат времени Дз=1—qz- С этой вероятностью вызывающий або­ нент будет повторять вызовы, механизм которых в достаточно общем виде рассмотрен в [74, 75, 76]. Если, как и выше, допустить, что вероятность отказа при повторной попытке установить соеди­ нение равна вероятности отказа при первом вызове, то общее чис­

/=1

Так же, как и выше, принимаем, что абонент, получив отказ, становится в активную очередь, т. е. непрерывно пытается уста­ новить соединение. В этом случае затраты времени при установ­ лении соединения с первой же попытки равны нулю, со второй по­ пытки —■ti, с третьей — 2 tr и т. д. Однако поскольку реальная система имеет потери, необходимо учесть дополнительные затра­

— 148 —

ты времени 4з, связанные с возможностью появления отказов в процессе собственно установления соединения. Тогда математиче­ ское ожидание затрат времени на ожидание освобождения теле­ фонного аппарата вызываемого абонента

4 == q*0 + q%p4t + q%p\ 2/т + . . • + qiPr3 rtT 4з.

Учтя, что

оо

r = l

Подход к телефонному аппарату с учетом ориентирования входящего вызова

Абонент не затрачивает времени на подход к телефонному ап­ парату при поступлении входящего вызова только в одном из двух случаев: 1) если он находится возле телефона, но в данный мо­ мент им не пользуется; 2) если он находится на пути к телефон­ ному аппарату для осуществления предыдущего вызова. Первый случай имеет место, когда часть рабочего времени абонент про­ водит возле телефонного аппарата, не пользуясь им, т. е. когда одно из рабочих мест абонента совпадает с местоположением ап­ парата. Кроме того, входящий вызов может поступить в тот отре­ зок времени, когда абонент окончил предыдущий разговор, но еще не успел направиться к рабочему месту или хочет начать новый разговор. Наконец, входящий вызов может поступить во время пауз в процессе установления абонентом исходящего соединения. Второй случай относится к ситуации, когда абонент уже направ­ ляется к телефонному аппарату для осуществления предыдущего исходящего вызова и за этот отрезок поступает новый входящий вызов. По условию время подхода в этом случае относится к пре­ дыдущему вызову.

С учетом сказанного, вероятность отсутствия непроизводитель­ ных затрат времени на подход к телефонному аппарату при по­ ступлении входящего вызова

Яі = U I + XА,7ТИ+ тис)Лисх ТТп] +^-исх к аРвх(1> 4 а). (3.54)'

где 4=о — время пребывания абонента на рабочем месте, совпа­ дающем с ^местоположением телефона; т — коэффициент, показы­ вающий, в течение какой части времени разговора Та абонент на­ ходится возле телефона после окончания разговора; тИсх коэф­ фициент, показывающий, какая доля времени приходится на раз­ личного рода паузы, в течение которых может поступить входящий

— 149 —

вызов; 4а — время перехода от рабочего места до телефонного аппарата для исходящего вызова, отнесенное к одному вызову: ^4а= М\1\!ѵ —/оа; Рвх(1. 4а) — вероятность поступления одного вхо­ дящего вызова за отрезок времени 4а, когда абонент направляется к телефонному аппарату для осуществления исходящего вызова. В соответствии с принятым нами допущением о том, что входящий поток требований і(вызовов) является пуассоновским, Явх( 1, 4а) =

= W * a e “ XB Ч

Отношение 4=о/4 представляет собой вероятность нахождения абонента возле телефонного аппарата по причинам, не связанным с пользованием им. Слагаемые хХТТп и ТисхЛисхТТп являются ве­ роятностями осуществления технической возможности поступле­ ния входящего вызова в отрезки времени, когда телефонным аппа­ ратом пользуются для других разговоров или соединений. Величи­ на ЛисцТ есть математическое ожидание числа исходящих вызо­ вов — интенсивность пуассоновского потока. Она фигурирует в ф-ле (3.54) в связи с тем, что произведение 4а4>вх(1,4а) является математическим ожиданием времени, отнесенного к одному вызову.

После подстановки и упрощений в ф-ле (3.54) получим

Выше предполагалось, что телефонный аппарат снабжен иде­ альной сигнализацией, позволяющей требуемому абоненту неза­ медлительно начать подход к телефонному аппарату после поступ­ ления входящего вызова. На самом деле, как было отмечено в [24, 134, 137], возникают дополнительные затраты времени, свя­ занные с ориентированием поступившего вызова, т. е. информиро­ ванием вызываемого абонента о том, что вызов адресован именно ему. В идеальном случае, когда при каждом вызове требуемый абонент будет находиться возле телефонного аппарата, эти затра­ ты будут равны нулю. В частности, дополнительные затраты равны нулю, если телефонным аппаратом пользуется только один або­ нент (гп —1). Следовательно, данный вид дополнительных непроиз­ водительных затрат времени возникает вследствие коллективного характера использования телефонного аппарата.

Введем некоторые обозначения: Т0вз— время подхода к теле­ фонному аппарату с учетом ориентирования входящего вызова; Т0Щ1— время, затрачиваемое на опрос вызывающего абонента и сообщение о поступившем вызове вызываемому абоненту. Допус­ тим, что телефонным аппаратом пользуются m абонентов, каждый

— 150 —

из которых имеет математическое ожидание времени подхода Таі

ИИНТСНСИВНОСТЬ ВХОДЯЩеГО 'ПОТОКИ ВЫЗОВОВ Л^вхг* Рассмотрим ве­

личину затрат времени на ориентирование одного входящего вы­ зова для і-го абонента. При этом могут иметь место следующие ситуации.

1.Вызов поступил в тот момент, когда у телефонного аппарата находился вызываемый абонент; вероятность этого события равна qa, а затраты времени данного вида — нулю.

2.С вероятностью 1— вызов поступил в тот момент, когда і-й абонент не находился возле телефонного аппарата, но здесь

присутствовал, по крайней мере, один из других m—1 абонентов.

Вероятность такого сложного события равна (1—q^)

/=1 а затраты времени в этом случае составляют величину

Топр+Тщ ^ ^ .

3. С вероятностью 1—qu вызов поступил в тот момент, когда і-й абонент не находился возле телефонного аппарата. Если при этом возле телефонного аппарата не оказалось ни одного из m—1

m —1

других абонентов (вероятность такого события равна f l ^

і=1 на поступивший вызов подойдет /-й абонент.

На основании изложенного математическое ожидание времени подхода при входящем вызове, отнесенное к одному вызову, будет равно