книги из ГПНТБ / Ахвердов И.Н. Моделирование напряженного состояния бетона и железобетона

(рис. 12). В самом деле,

рассмотренные выше

допуще ­

ния, принятые

при выводе

формул

(20)

и

(21),

предпо­

л а г а ю т , что заполнитель, введенный

в матрицу,

выполня ­

ет половинчатую роль: дл я мест передачи

нормальных

н а п р я ж е н и й

( о б щ а я горизонтальная

поверхность «це­

Т. Хансена

[132];

дл я общей

вертикальной

поверхности,

п р о х о д я щ е й

через

матрицу и

заполнитель,

принимается,

что д е ф о р м а ц и и в цементном

камне и заполнителе

равны,

т. е. соответствуют

допущению,

принятому

при

выводе

ф о р м у л ы (18).

Подстановка вместо Z его значения,

равного

я/4, еще

более

у п р о щ а е т в ы р а ж е н и е

(23), в

связи с чем

получим

—

= 0,5

0,5

1

(24)

L

Ѵ3Е3

+ ѴКЕК

Е3

' Е„

Уравнение (24)

свидетельствует о том, что входящие

в него

в ы р а ж е н и я

(18) и (19) равновесны .

Фактическое

распределение н а п р я ж е н и й

м е ж д у

компонентами двух­

фазного м а т е р и а л а

остается

нераскрытым .

Неизвестны

н а п р я ж е н и я , обусловленные

в з а и м о в л и я н и е м

составля ­

ющих. Поэтому уравнение (24)

имеет те ж е

недостатки,

что и

(16),

(19). Вместе с тем точность

определения £ б

периментальных

д а н н ы х

± 1 0 % , м а к с и м а л ь н о е

отклоне­

ние ± 3 5 % .

П р е д с т а в л я е т интерес а н а л и з теоретических

в о з м о ж ­

ностей

ф о р м у л ы

(22) и определение

области ее

практи­

ческого

применения .

Пр и выводе ф о р м у л ы

(22)

предпо­

л а г а л о с ь ,

что

постоянная

Z

д о л ж н а

компенсировать

неучет

влияния

крупности,

формы,

вида

поверхности и

в з а и м о р а с п о л о ж е н и я

зерен

заполнителя .

П о д б о р о м

ве­

личины

Z м о ж н о добиться соответствия

м е ж д у

расчет­

ными и экспериментальными

величинами,

тем

самым

ф о р м а л ь н о

приспособив

математическое

уравнение

опи­

санию

физического процесса.

Сравнение

величин модулей

упругости

дл я

бетона с

заполнителем

из стекла

( £ 3 = 0 , 7 2 5 • 106 кгс/см2)

и

бетона

с заполнителем

из оттавского песка

( £ 3 = 7 7 0 - 1 0 6

кгс/см2)

показывает,

что по (22)

п р и — - = 0,4 Е^ первого

бетона

меньше

Ец второго,

так ка к Е3і<Е3г.

О д н а к о

экспери-

м е н т а л ь н ые д а н н ы е

п о к а з ы в а ю т

обратное:

£ § к ° =0,359 •

- 106 кгс/см2;

£ б = 0,338106

кгс/см2.

Это

несоответствие

в ы з в а н о влиянием

крупности

заполнителей .

М е н ь ш а я

крупность заполнителя,

несмотря

на Е3і

<Е32

и

прочие

р а в н ы е

условия, снизила

Еб2

по сравнению

с Ебі,

что не

н а ш л о

своего

о т р а ж е н и я

в

(22).

Заполнители

из

других

м а т е р и а л о в

(сталь,

гравий,

стекло, известняк,

свинец)

Of

0,8 !,0

1/t

Iß

2,2

Рис. 13. Факторы

нормальных

напряжений

К\

и Кг в компонентах

бетона согласно уравнению

(22)

ные значения EQ соответствовали

опытным .

Соотношение м е ж д у упругими постоянными д в у х ф а з ­

ного м а т е р и а л а

изменялось в

широких

пределах

0,785 <^—— -< 10,80,

поэтому представляется

в о з м о ж н ы м

и с с л е д о в а т ь, в какой

мере ф о р м у

л а

(22) учитывает р а с ­

пределение ф а к т о р о в

н а п р я ж е н и й

К\

и Кч в зависимости

от—— и ——. Н а рис. 13 графически п о к а з а н о

изменение

A i и

Ks д л я

бетонов

Т. Хирша

[137],

А. С.

Д м и т р и е в а

[,44], Н . Л а

Ру, О. И ш а и [142, 143].

Из рисунка следует, что при малом объемном содержа­

нии

заполнителя

Ѵ3/Ѵб

= 0,20; 0,30,

последний восприни­

мает

напряжения,

превышающие

в 1,4—2,4 раза о

когда

Е

3<С

—— <

10.8-

Это вызывает

сомнение.

1,13 а с р

Е

V

для этого бе-

при —— =

1,92 и — — 0,36, хотя

тона

= 1,23 а с р .

Представляется мало

обоснованным

приходящихся

на

крупный

заполнитель, колеблется

в пре­

делах

от

(1,0—1,2)

о ,

а

в

растворной части

бетона

0,8 - 1,0 )

а с р .

Из

в ы р а ж е н и я

д л я м о д у л я упругости

бетона

Еб

=

bËs

,

(25)

где

1

Е3

Еб

Ер

Еб

Е3

Ер

1 — г !

% =

По­

£ р .

Е3

Еб

1

Еб

Е3-Ер

г

следует, что если

а3

на­

и а р

будут

иными, чем ф а к т о р ы

п р я ж е н и й

К\

и Кч по Т. Хиршу

(рис. 13), то величины

£ б ,

вычисленные

по

ф о р м у л е

(25), не могут

соответствовать

упругости для определения Е5

на плотных заполнителях

при 1 К ~ < 10 и 0,1 < —

< 1 (рис. 14).

упругости

200 000

кгс/см2

при £ р . е

д =

100 000 кгс/см2

мож­

но получить на заполнителях с Е3

= 1 000 000

кгс/см2,

при

10

1

II Is 1

i

. 1

8

[

/

1

/

o/j

У

/

h

/

ш Щ

1

0//

y

1

/

//

У

y

Б

fl

ï

/

y

У

y

л

/

/

!/

/

^У

/ /

У^У

4 F

/У

ys

У

2

/

/

I

I

I

I

I

1

1,0

Ift

Iß

2,2

Zß

K,

Рис.

14. График линий единичных модулей упругости: / — линии

еди­

ничных модулей упругости £б.ед-Ю~6 кгс/см2;

2 — объемное

содержа­

ние заполнителя Ѵ3/Ѵб

Ѵ3/Ѵ6 = 0,3, Е3

= 600 000

кгс/см2

при

Ѵ3/Ѵб =

0,4,

£ 3 =

= 440 000

кгс/см2

при - ^ - =

0,5,

Е3

=

330 000

кгс/см2

при

Ѵ3/Ѵб

= 0,6 и т. д., а также

для всех промежуточных

£

значений

— и Ѵ3/Ѵ6.

Кроме

того,

график

обнаружи-

вает

свойства,

которые

расширяют

возможность примене-

ния его для прогнозирования

величин

модулей

упругости

бетона

при любых

значениях

упругих

постоянных

компо-

нентов

и соотношениях

Е3

V,

— - и — - .

Р а с с м о т р и м

эти свойства

на практических

п р и м е р а х .

Д а н о : £ 3 = 0 , 4 - 1 0 6

кгс/см2;

£ р = 0,2 • 106

кгс/см2;

Ѵ3/Ѵ6 = 0,5.

Определить Е^.

По уравнению (22) находим КѴ

КГ

и

ЕБ:

/С, =

1 — 0,5 С1

1

) = 1,165,

I

0,5 ( 1 - 0 , 5 )

+ 0 , 5

/

К2

=

1 — 0,5

1

=

0,835,

2

V

0,5 +

0 , 5 - 2 /

Е =

^

jr-=

=

0,280-106

кгс/см2.

1,165

U

' 0

0,835

0 , 0

0,4-10е

0,2.10е

Е

V

Согласно

рис. 14, соотношениям

— - — 2 и

—— =

0,5

ЕЙ

Е

V«

соответствует

=

0,140-106

кгс/см2.

Замечаем,

что

Е

— £ — = 2,

получим

ЕБ =

£ Б - Е

Д

Р

=

0,140-108 -2 =

0,280-106

кгс/см2.

^р.ед

Дано: Е3

=

0,8- 10е

кгс/сл2 ;

£ р = 0,4-106 кгс/сиі8 ; - ^ -

=

= 0,5.

^ б

Определить

£ б .

Графику

£

2

при

V

— - =

— - = 0,5 соответствует

•^Р

^ б

£ R е „ =

0,14 -106

кгс/см2,

£

0 4 • 10s

4,

- Z E _ =

- ï i t i ^ -

=

£р.ед

0,1-10«

ЕБ

=

0,140-106 • 4 =

0,560-106

кгс/см2.

Проверяя

по

уравнению

(22),

получим:

К 1

=

1,165;

К2

= 0,835 (те ж е

значения,

что и

в

примере

1).

Так как

- ^ - в обоих случаях

равны,

имеем

Ер

Еб

=

jr-ir-1

j

^ -

=

0,562 • 10«

кгс/см*.

1,165

° ' b

+

0 , 8 3 5 - ^ —

'

0,8-106

0,4-106

V

Дано:

£ 3

=

0 , 8 - Ю 6

кгс/см2,

Ep

=

0,2-10e

кгс/см2;

0,5.

Определить

Еб.

V

Графику

E

Е6 е д =

—— = 4

при —2- = 0,5 соответствует

£ р

р

Ѵ б

=

0,195-10*

кгс/см2;

— » — = 2 ;

Еб

=

0,195- 1 0 6 - 2 = 0 , 3 9 0 х

Х І 0 6

кгс/сл2 .

Ер.ед

П о

уравнению

(22) сделаем

проверку:

Л \ =

1 — 0,5 I

1 —

1

=

1,5,

0,25-0,5

{ 0 , 5

/С2 =

1 — 0,5

1

1

=

0,9,

0,5 + 0,5-4

2

\

)

Е6 =

рр=

jr-p

=

0,390-106

кгс/см2.

1,3

U

' 5

. +

0,7-

U

, b

0,8-106

0,2-106

4.

Определить

модуль

упругости

бетона

по

данным

А. С. Дмитриева [44].

кгс/см2;

Е'

кгс/см2;

V

Известно: £ „ = 0 , 5 3 -106

= 0,275 -106

=

0,35.

£

Согласно

графику

(рис.

14),

соотношению

—— =

0 53 1 06

V

Е

р

— —'-

=

1,92

и

— — 0,35

соответствует £ R

Р І Т , на-

0,275-106

Ѵб

между

значениями

б -

е я

ходящееся

в

промежутке

0,12-106

5. Зак. 376

65.

Так

как Jb—

=

2,76,

то £ б = 0 , 1 2 7 - 1 0 6 - 2 , 7 5

=

350 ООО

кгс/см2,

что

совпадает

с

экспериментальной

величиной

Ей

[44].

(25), К1

Согласно

уравнениям

(22)

или

=

о 3 =

1,227,

/Са

= а р

=

0,877,

Еб = 0,350-106

кгс/сл2 . При £ 3

=

0 , 5 3 Х

X 10« кгс/см2,

Ер

= 0,205-10« кгс/см2,

- ^ - =

0,35;

А .

=

=

2,58,

£ б . е

д =

0,135-106 кгс/см2;

так

как -

^

- =

2,04,

то

£ б

=

0,135-10«-2,05

= 0,27510s

кгс/см2,

определенное

по

графику,

соответствует опытным

данным [44].

В этом случае, согласно уравнениям (22)

или (25), К1

=

=а3

=

1,332,

К2

=

а р

=

0,832,

Еб

= 0,275-106

кгс/см2.

Далее,

из

примеров

1, 2,

3,

4

можно

заметить

еще

одно

свойство

графика

единичных

модулей

упругости,

а именно:

ß

•—- =

1 0 £ 6 . e

(Е б . е д

в

данном

случае

рассматриваем как

безразмерный

параметр).

Еъ

=

5.

Требуется

запроектировать

состав

бетона

с

=

400 000

кгс/см2.

Известно,

что

при

составе

цементно-

песчаного

раствора

1:3

и

В / Ц =

0,57 (Ц : П — по

весу)

можно

получить

£ р =

250 000

кгс/см2.

Ставится

вопрос,

какие упругие характеристики заполнителя и

Ѵ3/Ѵб

необ­

ходимы

для получения

бетона

с

Еб

= 0 , 4 - 1 0 6

кгс/см2

при

Е

кгс/см2.

Е-

0,25 -106

Согласно

графику

—— = Ю б

е ,

определяем

£ Р

Е-

0 4 - Ю 6

= 0 , 1 6 0 .

Е - = ± ± Ш =

1 и

д

1 0 £ р

10-0.25- 10е

На рис. 14 находим

линию,

соответствующую

безраз­

мерному

параметру

0,16,

который

лежит

между

0,14

и

0,17. Пересечение

ее с

- ^ - = 0,2; 0,3; 0,4;

0,5;

0,6

опреде­

ли

EjEp=7,2;

ляет по оси ординат

значения

4,5;

2,5;

2,7; 2,2,

которые

отвечают величинам

объемного

содержания

запол­

нителя.

При

Ѵ3/ѴБ

=-- 0,3

Е3

=

0,2-10<М0 == 2-106

кгс/см2,

при

Ѵ3/Ѵ6

=0,4

Е3 = 0,2-106 -6,1 = 1,22-106

кгс/см2,

при

Ѵ3/ѴБ

=0,5

Е3

=:0,2-108 -4,4 = 0,88-10е

кгс/см2,

при

Ѵ3/ѴБ

=0,6

Е3

=: 0,2-103 -3,3

= 0,6610s

кгс/см2,

при

Ѵ3/ѴБ

=0,7

= 0,2-106 -2,8

= 0,56-106

кгс/см2.

Приведенные

примеры

иллюстрируют практическую

теристикам

составляющи х

бетона

Ѵ3,

Е3,

ЕѴ.

В о з м о ж н о

решение обратной задачи,

т. е. подбор

исходных

мате ­

р и а л о в по з а д а н н ы м д е ф о р м а т и в н ы м

свойствам

бетона.

Следует

отметить,

что

величина

модуля

упругости,

определенная из графика ,

имеет

хорошее

согласование

с экспериментальными

значениями модуля

упругости бе­

тона на плотном крупном

заполнителе,

когда

исходными

п а р а м е т р а м и с л у ж а т ЕР, ЕКѴ,3 и

ѴКр.з- Пр и

определении

модуля упругости раствора ЕР

по модулю

упругости це­

ментного

к а м н я

ЕК

могут быть р а с х о ж д е н и я со значения ­

ми £ р.Э К с,

та к

как

уменьшение

крупности

заполнителя

ведет

при прочих равных

условиях к повышению дефор -

мативности бетона.

Если в уравнение

(22)

ввести

значение £ 3

= 0, х а р а к ­

теризующее наличие

в цементном

камне пустот, то £ б = 0

при всех значениях Ѵ3/Ѵ&.

О. Ишаи [143] попытался устранить

этот

недостаток,

предложив полуэмпирическое уравнение

для Eö

при любых

Е

—^-

и

Ѵ3/ѴБ в следующем

виде:

Р

ЕБ = Еѵ(1+КѴ3/ѴБ),

(26)

где

К — постоянная,

зависящая от

ряда

свойств

заполни­

теля

и

цементного камня.

На

рис. 15 показан график зависимости

коэффициента

К от модульного отношения Е3/Ер.

Анализ

кривой

пока­

зывает,

что уравнение (26) может

быть

применено

в ши-

Е

I

Е

\

роком

диапазоне отношений:

0 - < — -

— -

-< 10.

Узло-

•^Р

* -^к

1

m — 1,

вые

точки

характеризуют следующие

случаи: если

К =

0,

то

Еъ = Е3 — Ер (Ек)

при

Ед

=

0

(т. е.

упругий

О

2

4

6

8

/0

m

£ ѳ

= £ р ( 1 - 1 , 8 5 У 3 / 1 / б ) .

(27)

Если

Ѵ3 /Ѵб

^ 0,55,

то правая

часть

уравнения

(27) равна

нулю,

что согласуется с теоретическим пределом.

Матри­

ца оказывается разъединенной

пустотами,

так как

рассто­

яние между

поверхностями включений г =

0, и не

способна

более

воспринимать

нагрузку.

Из

уравнения (26) также следует,

что

при

постоянном

m = Е3/Ер

величина

модуля

упругости

пропорциональна

нейная зависимость модуля упругости от объемного

содер­

жания заполнителя при данном EjEp

сохраняется

только