УчебПособие (Теория надежности)2011

УДК 621.31.22.001 Н 19

Назарычев А.Н., Скоробогатов А.А., Марьянова С.И. Введение в теорию надежности энергообъектов: Учеб. пособие / ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина». – Иваново, 2009. – 128 с.

ISBN

В учебном пособии приведены материалы по изучению основ теории надежности применительно к задачам электроэнергетики. Пособие ориентировано на самостоятельное изучение студентами изложенных материалов. Эффективность освоения материалов учебного пособия при самостоятельной работе студентов достигается наличием решения ряда прикладных задач и контрольных заданий для самопроверки.

Предназначено для студентов специальности 140204 «Электрические станции».

Табл. 10. Ил. 63. Библиогр.: 11 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

Научный редактор д-р техн. наук, проф. А.И. Таджибаев (Петербургский энергетический

институт повышения квалификации)

Рецензент канд. техн. наук Д.А. Андреев (ОАО «Зарубежэнергопроект»)

Оглавление

5

Предисловие

Дисциплина «Математические задачи электроэнергетики», которая изучается студентами специальности 140204 «Электрические станции» на третьем курсе, включает тему «Теория надежности в электроэнергетике».

Обеспечение надежности объектов энергетики продолжает оставаться актуальным направлением в технической политике современной электроэнергетики. Специалисты, занимающиеся проектированием, эксплуатацией, ремонтом, управлением энергообъектов, должны иметь представления об основных положениях в области их надежности, моделях надежности и методах расчета надежности.

Следует заметить, что, к сожалению, книг по данной тематике недостаточно. Поэтому данное обстоятельство усложняет задачу самостоятельного изучения разделов теории надежности студентами очной и заочной форм обучения.

В данном учебном пособии авторами приведены материалы по изучению основ теории надежности применительно к задачам электроэнергетики с ориентацией на самостоятельное изучение дисциплины. Эффективное использование пособия в самостоятельной работе студентов достигается наличием решения ряда прикладных задач и контрольных заданий для самопроверки.

Содержание учебного пособия соответствует программе дисциплины «Математические задачи электроэнергетики» для специальности 140204 «Электрические станции».

Теория надежности базируется на теориях вероятности, случайных процессов, математической статистики и др. В первой главе представлен материал по теории вероятности и Марковским процессам [1, 2, 3], необходимый для усвоения информации других глав. Вторая глава знакомит читателя с терминами и определениями, которые используются в теории надёжности [4, 5], а третья – с показателями надежности [6, 7].

Четвертая и пятая главы знакомят студентов с методом определения показателей надежности энергетических объектов по статистическим данным, накопленным за время их эксплуатации, и с методами расчета надежности системы по известным показателям входящих в нее объектов [3, 7, 8]. В конце каждой главы приведены примеры расчета и задачи для самоподготовки.

При подготовке материала использован опыт авторов при чтении лекций по указанной дисциплине в Ивановском государственном энергетическом университете им. В.И. Ленина.

6

Глава 1. Основные положения теории вероятности

1.1. Множества

1.1.1. Определение понятия «множество» Множество представляет собой некоторый набор определённых

элементов, в общем случае неупорядоченных и не образующих последовательности. Множества могут иметь бесконечное и конечное число элементов или не иметь элементов вообще (бесконечное множество – натуральные числа; конечное множество – колода карт).

Множество записывается в следующем виде: А = {X1, X2, …, Xк, …, Xn}, где Хк – элемент множества А.

1.1.2. Соотношения между двумя множествами

Они зависят от того, имеют ли эти множества общие элементы.

Для двух множеств А и В существуют следующие возможности:

1) А и В имеют общие элементы, но каждое из множеств имеет также элементы, не принадлежащие другому множеству. Говорят, что множества пересекаются: А В = С (рис. 1.1).

А В

Рис. 1.1. Диаграмма Вьенна при пересечении двух множеств

2) А и В не имеют общих элементов (взаимоисключающие

множества или непересекающиеся) (рис. 1.2).

АВ

Рис.1.2. Диаграмма Вьенна для непересекающихся множеств

3) А целиком включает В (рис. 1.3).

А В

Рис. 1.3. Диаграмма Вьенна для случая, когда множество А целиком включает В

В этом случае В является подмножеством А.

7

1.1.3. Операции с множествами

1) Объединение двух множеств – это множество С, которое содержит все элементы, принадлежащих ему множеств (рис. 1.4).

АВ

Рис. 1.4. Диаграмма Вьенна при объединении двух множеств

Математическая запись операции: А В = С.

2) Пересечение двух множеств (А В = С) – это множество С,

которое содержит элементы, являющиеся общими для обоих множеств

(рис. 1.5).

А В

Рис.1.5. Диаграмма Вьенна при пересечении двух множеств

3) Разность двух множеств (А – В = С) – это множество С,

состоящее из тех элементов А, которые не являются элементами множества В (рис. 1.6).

А В

Рис. 1.6. Диаграмма Вьенна при разности двух множеств

Следует отметить, что А – В В – А.

4) Дополнение множества А. Определим множество В как множество всех элементов, рассмотренных в данной ситуации (рис. 1.7). Дополнением множества А называется множество A, состоящее из элементов, которые не входят в множество А.

Рис.1.7. Диаграмма Вьенна при разности двух множеств

При этом A A = 0 и A A = B.

8

1.2. События

Событие в теории вероятности связывается с исходами многократно повторяющихся экспериментов. Каждое действие или испытание в ходе эксперимента приводит к некоторому исходу, который может оказаться неодинаковым для различных испытаний.

Множество всех возможных исходов называется

пространством элементарных событий и обозначается .

Для кубика = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событием называется подмножество (пространств элементарных событий), которое включает в себя все исходы, удовлетворяющие некоторому критерию, где в каждом испытании событие происходит либо не происходит в зависимости от того, где находится исход данного испытания.

Подобно тому, как это делалось для множеств, можно определить операции для событий:

1) Объединение двух событий ЕА и ЕВ – это событие, заключающееся в том, что происходит либо событие ЕА, либо событие ЕВ, либо оба события вместе (ЕА ЕВ).

Пример. Рассмотрим два множества, которые получаются при бросании двух костей: Е1 = {2,6;6,2;4,4;3,5;5,3} – событие, для которого сумма выпавших очков равна 8, и Е2 = {1,1; 2,2; 3,3;…6,6} – событие, в котором на каждой кости выпало одинаковое число очков. Тогда

Е3 = Е1 Е2 = {1,1; 2,2; 3,3…;6,6}.

Получим событие, которое включает все элементы событий Е1 и

Е2.

2) Пересечение двух событий ЕА и ЕВ – это событие, заключающееся в том, что происходят оба события вместе ЕА и ЕВ (ЕА ЕВ).

Е1 Е2 = {4,4}.

3) Дополнение события ЕА – это событие EА, заключающееся в том, что само событие ЕА не произошло.

Объединение события и его дополнения даст пространство элементарных событий. Это событие называется достоверным событием.

ЕА ЕВ = .

Событие и его дополнение являются противоположными событиями. Дополнение достоверного события называется невозможным событием и обозначается . При этом = Ω, где – это пустое множество, не содержащее никакого исхода эксперимента.

9

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от вероятности наступления или не наступления другого; в противном случае события называются зависимыми (см. раздел «Условная вероятность»).

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

1.3. Вероятность

Вероятность – мера, связанная с событиями, т.е. каждому событию соответствует некоторое значение вероятности. Значение вероятности ограничено интервалом от 0 до 1, включая концы интервала, причем значение 1 соответствует достоверному событию, а значение 0 – невозможному событию.

Таким образом, вероятность некоторого события Е должна удовлетворять следующим требованиям:

Если события ЕА и ЕВ взаимоисключающие или несовместны, то вероятность пересечения этих событий равна 0:

Формулы (1.1)–(1.4) называются аксиомами вероятности, и на них можно построить всю теорию вероятности.

1.3.1. Определения вероятности

Численно оценить значение вероятностей можно двумя способами:

1)способом, основанным на предварительных суждениях (априорные вероятности);

2)способом, основанным на экспериментальных данных (апостериорные вероятности).

10