УчебПособие (Теория надежности)2011

0 при x 0,

f [x] λ e x (1.49)

или

0 при x 0,

F[x] 1 e x (1.50)

где – положительная постоянная величина.

Экспоненциальный закон распределения вероятности описывается одним параметром , что является преимуществом перед другими законами распределения.

Под подразумевают интенсивность потока событий. Графическая форма данного закона выглядит следующим

образом (рис. 1.13):

Рис. 1.13. Формы кривых плотности распределения вероятности f(x) (а) и интегральной функции распределения вероятности F(x) (б) при экспоненциальном законе распределения непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение

Данному закону подчиняются, например, срок службы невосстанавливаемого оборудования или время работы до отказа восстанавливаемого оборудования.

3. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.

Аналитический вид:

( x m)2

Нормальное распределение описывается двумя параметрами (среднее квадратическое отклонение) и m (математическое ожидание случайной величины.

Графическая форма данного распределения представлена на рис.

1.14.

Если m = 0, a = 1, то мы получаем нормированное нормальное распределение:

Изменение математического ожидания не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси х. При увеличении максимальная ордината кривой убывает, а сама она становится более пологой. Вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна

т. е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение очень мала, а именно равна 0,0027.

На практике нормальному распределению случайной величины подчиняются, например, случайные продолжительности аварийного и планово-предупредительного ремонтов.

22

23

1.5. Марковские процессы

1.5.1. Понятие о стохастических процессах Стохастический процесс представляет собой множество

случайных величин, образующих упорядоченную последовательность. Последовательность случайных величин в процессе можно

представить в виде X(t), где t – параметр процесса (обычно время). Значения, принимаемые случайными величинами в процессе,

образуют пространство состояний.

На рис. 1.15 показана конкретная реализация процесса на отрезке времени (t0, tn–1). По оси абсцисс отложен дискретный параметр процесса t, а по оси ординат – дискретная случайная величина X, которая является множеством и включает в себя семь состояний объекта наблюдения (S0–S6). В данном случае множество X является пространством состояний (X{S0, S1, S2, S3, S4, S5, S6}). Для

параметра процесса ti X(ti) = S2.

В большинстве прикладных задач целью является вычисление безусловного распределения случайной величины X(tn), которое зависит только от реализации процесса в интервале от tn–1 до tn.

1.5.2. Марковские процессы

Существует важный класс стохастических процессов, в которых вероятность случайной величины в момент времени tn зависит от значения случайной величины в момент времени tn–1 и не зависит от конкретного вида реализации процесса до времени tn–1. Такой процесс

24

называют процессом без последствия. Процессы, обладающие этим свойством, называют Марковскими процессами.

В Марковском процессе параметр t и пространство состояний X(t) могут быть как дискретными, так и непрерывными. Мы рассмотрим только процессы с непрерывными параметрами, при этом будем иметь в виду только дискретные и конечные пространства состояний.

Рассмотрим Марковский процесс X(t) с непрерывным временным параметром t. Введём обозначения: tn–1 = t, tn = t + t.

В процессе рассмотрим два состояния: i-е, в котором находится объект в момент времени tn–1; j-е, в которое объект может перейти, а может и не перейти в момент времени tn (рис. 1.16). Тогда вероятность перехода из i-го состояния в j-е запишется следующим образом:

pi j (t, t) P[X (t t) j/X (t) i] . (1.57)

j

pi j ( t)

i

pi i ( t)

Рис. 1.16. Переход из состояния i в состояние j или в само себя

Будем рассматривать только однородные Марковские процессы, в которых pi j зависят только от t.

Тогда при t→0 вероятности переходов принимают вид

Здесь pi→i( t) – вероятность того, что за промежуток времени t не произойдёт смены состояния процесса при условии, что процесс находится в состоянии i в начале этого промежутка.

qi→j, qj→i – интенсивности переходов из состояния i в состояние j и наоборот;

qi – интенсивность перехода из состояния i в любое другое состояние, кроме состояния i:

25

где n – число всех возможных состояний.

Так как события «переход из i-го в j-е состояние» (i j) и «переход из i-го в i-е состояние» (i i) являются полной группой событий, то

Во многих приложениях требуется определить безусловные вероятности состояний для момента времени (t + t), зная вероятности состояний в момент времени t (рис. 1.17).

Для этого используется метод пространства состояний, в котором используется система дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова (см. п 5.1).

Рис.1.17. Возможные переходы для процесса, в котором объект может находиться в трех состояниях

Вопросы для самоподготовки

1.В чем различие между понятиями «априорная вероятность» и «апостериорная вероятность»?

2.Дать определение классической, геометрической и статистической вероятностей.

3.Что называется условной вероятностью?

4.Что называется случайной величиной? Приведите примеры дискретной и непрерывной случайных величин.

26

5.В чем разница между законами распределений дискретной и непрерывной случайными величинами?

6.Дайте определение интенсивности потока событий?

8.Какие числовые характеристики случайных величин Вы знаете? Приведите их формулы для непрерывной и дискретной случайных величин.

9.Дайте определение интегральной функции распределения вероятности непрерывной случайной величины.

10.Дайте определение плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины.

11.Какие законы распределения непрерывной случайной величины Вы знаете? Приведите их аналитические формулы.

12.Какому закону распределения соответствует постоянная интенсивность потока случайной величины?

13.Чем отличается Марковский процесс от стохастического?

14.Какой процесс называется однородным Марковским процессом?

15.Что такое параметр Марковского процесса и пространство состояний?

27

Глава 2. Основные понятия теории надежности

2.1. Объект. Элемент. Система. Основные объекты электрической части электростанций и подстанций

Объект – техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. Объектами могут быть различные системы и их элементы.

Элемент – составная часть системы, которая в ходе данного исследования надёжности рассматривается как единое целое и не подвергается дальнейшему расчленению.

Система – совокупность элементов различного назначения, рассматриваемая с точки зрения выполнения заданных функций.

Понятия элемент и система не имеют четких границ. Элемент может быть сам системой в каком-либо другом случае.

К основным объектам в электрической части электрической станции и подстанций относят: генераторы; трансформаторы (блочные, автотрансформаторы, трансформаторы собственных нужд); секции собственных нужд; кабельные линии; коммутационную аппаратуру; линии электропередач; электродвигатели собственных нужд, главные схемы электрических соединений и другие энергообъекты.

2.2. Группы восстановительных ремонтов

К ним относятся:

-планово-предупредительный ремонт – ремонт, выполняемый по плану для выявления и устранения неисправностей и предупреждения повреждений (все виды плановых ремонтов – капитальный, текущий, средний ремонты).

-аварийный ремонт – ремонт, при котором ведутся работы по восстановлению работоспособности оборудования после его отказа (аварии).

2.3. Виды объектов по наличию проведения на них восстановления

Все объекты электроэнергетики можно разделить на два вида.

28

Невосстанавливаемые объекты – это объекты, на которых в ходе их работы не производятся восстановительные ремонты и срок их службы равен наработке до отказа (подшипник качения).

Восстанавливаемые объекты – это объекты, на которых в ходе их работы производятся планово-предупредительные и аварийные ремонты. Данные элементы могут отказать некоторое число раз, но после каждого отказа они подвергаются аварийному ремонту и снова вводятся в эксплуатацию. Их срок службы заканчивается, когда наступает отказ, после которого объект или не подлежит больше восстановлению, или стоимость его аварийного ремонта не окупается последующей работой (асинхронный двигатель, трансформатор, генератор и др.).

2.4. Состояния и события, характеризующие надёжность объектов электроэнергетики

2.4.1. Состояния

Виды состояний для восстанавливаемых объектов и их взаимосвязь показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Виды состояний для восстанавливаемых объектов электроэнергетики и их взаимосвязь

Работоспособное состояние (работоспособность) – это состояние объекта, при котором он способен выполнять все или часть заданных функций в полном или частичном объёме.

29

Неработоспособное состояние (неработоспособность) – это состояние объекта, при котором он не способен выполнять все заданные функции.

Рабочее состояние – состояние объекта, при котором он выполняет все или часть функций в полном или частичном объёме.

Нерабочее состояние – это состояние объекта, при котором он не выполняет ни одной из заданных функций.

Нормальный режим – это рабочее состояние объекта, при котором обеспечиваются значения заданных параметров режима и резервирование в установленных пределах.

Аварийный режим – это рабочее состояние объекта, в котором он находится в результате отказа его элементов от момента возникновения отказа до его локализации.

Режим ожидания – это нерабочее состояние объекта, позволяющее выполнять свои функции при возникновении требования.

Ремонтный режим – это неработоспособное состояние объекта, при котором он находится в состоянии планово-прдупредительного

неработоспособное состояние объекта, при котором ведутся ремонтные работы в соответствии с требованиями нормативнотехнической документации.

Состояние аварийного ремонта – неработоспособное состояние объекта, при котором ведутся работы по восстановлению работоспособности, нарушенной в результате отказа.

Режим ожидания аварийного ремонта – это нерабочее состояние объекта с момента локализации отказа до начала аварийного ремонта.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация должна быть прекращена по одной из

безотказности или эффективности применения объекта на допустимом уровне;

2) в результате изнашивания или старения объекта, когда на ремонт требуются недопустимо большие затраты или он уже не