Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УчебПособие (Теория надежности)2011

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2015

Размер:

2.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

	dР1(t)			0 P ( ) 0 P ( ) 0 P ( )												АР	P ( )
	dР1(t)

		dt	t					1				2		3			4
		dt

0 P ( ) 0 P ( );
		5			6
dР (t)
		2		0 P ( ) (										) P ( ) 0 P ( )
				0 P ( ) (									АР	) P ( ) 0 P ( )
		dt		t				1					АР	2	3
		dt

0 P ( ) 0 P ( )									АР	P ( );
		4			5				АР	6
	dР3 (t)			0 0 P ( )							АР	P ( ) P ( ) 0 P ( )
				0 0 P ( )								P ( ) P ( ) 0 P ( )
		dt		t				1					2	3			4
		dt

0 P5 ( ) 0 P6 ( );

	dР4 (t)			0 0 P ( ) 0 P ( ) P ( )
				0 0 P ( ) 0 P ( ) P ( )
		dt		t				1			2			3
				t

( АР ) P4 ( ) АР P5 ( ) 0 P6 ( );

	dР5 (t)			0 0 P ( ) P ( ) 0 P ( ) 0 P ( )
				0 0 P ( ) P ( ) 0 P ( ) 0 P ( )
		dt		t				1			2			3		4
				t

μАР P5 ( ) 0 P6 ( );
dР (t)
dР (t)
		6		0 0 P ( ) 0 P ( ) 0 P ( ) P ( )
				0 0 P ( ) 0 P ( ) 0 P ( ) P ( )
		dt		t				1			2			3		4
				t		P ( );

0 P ( )					АР
		5			АР		6
Условие нормировки:
P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) 1 .
1			2		3				4		5			6
Так как диаграмма пространства состояний симметрична
относительно линии ОО´, то
P ( ) P ( ); P ( ) P ( ); P ( ) P ( ).
1			3		2				4		5			6
Тогда
0 P ( )							АР	P ( );
			1				АР	2
		P2 ( ) АР P5 ( );
0		P2 ( ) АР P5 ( );
2 (P ( ) P ( ) P ( )) 1.
		1	2					5

Решая данную систему уравнений, получим:

PНС ( ) 2 P5 ( ) 0, 032;

PПС ( ) 2 P2 ( ) 0,162;

PРС ( ) 1 PНС ( ) 0,968.

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.

При составлении диаграммы пространства состояний в этом случае принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.16).

1 t 1 ( АР ) t

S1 a b	t		t
		a b	S5 a b
	S2



		АР
O
S3 a b		S4 a b	S b a
	t	S4 a b	S b a
	t	t	6
		t
1 t	1	( АР ) t
	1	( АР ) t

O’

Рис. 5.16. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом)

При этом

P (t) P (t) P (t) P (t) P (t);
БР	1	2	3	4
Q(t) P (t) P (t).
5		6

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова
	P (t)
	1	P (t) 0 P (t) 0 P (t)								АР	P (t)
		P (t) 0 P (t) 0 P (t)									P (t)
	t			1	2				3			4
	t

0 P5 (t) 0 P6 (t);
	Р (t)
	2		P (t) (				АР	) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
			P (t) (					) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
	t			1					2	3			4
	t
0 P (t) 0 P (t);
	5			6
	Р3 (t)
	Р3 (t)	0 P (t)				P (t) P (t) 0 P (t)
		0 P (t)			АР	P (t) P (t) 0 P (t)
	t			1	АР		2		3			4
	t

0 P5 (t) 0 P6 (t);
	Р (t)
	4		0 P (t) 0		P (t) P (t) (							АР	) P (t)
			0 P (t) 0		P (t) P (t) (								) P (t)
	t			1	2				3				4
0 P (t) 0 P (t);
	5			6
Р (t)
	5		0 P (t) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
			0 P (t) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
	t			1	2				3	4
	t

0 P5 (t) 0 P6 (t);
	Р (t)
	6		0 P (t) 0		P (t) 0 P (t) P (t)
			0 P (t) 0		P (t) 0 P (t) P (t)
	t			1	2				3	4
0 P (t) 0 P (t).
	5			6
Условие нормировки:
P (t) P (t) P (t) P (t) P (t) P (t) 1
1		2		3	4			5	6

Ответ:

PПС ( ) 0,162 ; PНС ( ) 0, 032 ; PРС ( ) 0,968 .

Пример 6. Два одинаковых объекта А и В образуют дублированную систему с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не производятся.

Известно следующее:

-объекты имеют независящие от времени интенсивности

переходов: интенсивности отказов: λА = λВ = λ = 2 год-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μАР,А = μАР,В = µАР = 10 год-1;

-в начальный момент времени система находится в состоянии S1.

Задание:

1)Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.

2)Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном PРС( ), неработоспособном PНС( ) и промежуточном PПС( ) состояниях (рис.

5.17).

1 ( АР ) t 1 АР t

1 2 t

S1 a b

АР

S2 a b



	t
	t
		Р

	S3	a b
	S3	a b
		t

1 ( АР ) t

S4 a b

S5 b a

1 АР t

O’

Рис. 5.17. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом)

Система может находиться в пяти состояниях: S1 = a b – состояние, в котором А и B находятся в рабочем состоянии; состояния S2 – S5 аналогичны состояниям, описанным в примере 5.

При этом

P ( ) 1 P		( ) P ( ) P ( ) P ( );
РС	НС	1	2	3

PПС ( ) P2 ( ) P3( );

PНС ( ) P4 ( ) P5 ( ).

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном РРС(∞), неработоспособном РНС(∞) и промежуточном РПС(∞) состояниях.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова:

dР1(t)

0 2 P ( )

АР

P ( )

АР

P ( )

0 P ( ) 0 P ( );

dР2 (t)

0 P ( ) (

АР

) P ( ) 0 P ( )

0 P ( )

АР

P ( );

dР3 (t)

0 P ( ) 0 P ( ) (

АР

) P ( )

АР P4 ( ) 0 P5 ( );

dР (t)

0 0 P ( ) P ( ) 0 P ( )

АР P4 ( ) 0 P5 ( );

dР5 (t)

0 0 P ( ) 0 P ( ) P ( ) 0 P ( )

АР P5 ( ).

Условие нормировки:

P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) 1.

Так как диаграмма пространства состояний симметрична

относительно линии ОО´, то

P ( ) P ( ); P ( ) P ( ).

Тогда

0 2 P ( ) 2

АР

P ( );

P2 ( ) АР P4 ( );

P ( ) 2 P ( ) 2 P ( ) 1.

Решая данную систему уравнений, получим:

PНС ( ) 2 P4 ( ) 0, 054;

PПС ( ) 2 P2 ( ) 0, 27;
P	( ) P ( ) P		( ) 0,946.
РС	1	ПС

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы.

При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно (рис. 5.18).

1 ( АР ) t

1 2 t			S2 a b		S4 a b
S1	a b


		t
	АР		S3 a b		S5 b a
			S3 a b	t	S5 b a
				t

1 ( АР ) t

O’

Рис. 5.18. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы (дублированная система с постоянным резервированием и ограниченным аварийным ремонтом)

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки.

Уравнения Чемпена – Колмогорова:

Р1(t) 2 P (t)						АР		P (t)			АР		P (t) 0 P (t)
	t			1		АР			2		АР		3		4
	t

0 P5 (t);
	Р (t)		P (t) (						) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
	2		P (t) (				АР		) P (t) 0 P (t) 0 P (t)
	t			1			АР		2				3		4
	t
0 P (t);
		5
	Р3
	Р3	(t) P (t) 0 P (t) (								АР		) P (t) 0 P (t)
	t			1	2					АР			3		4
	t

0 P5 (t);
	Р (t)		0	P (t) P (t)				0 P (t) 0 P (t) 0 P (t);
	4		0	P (t) P (t)				0 P (t) 0 P (t) 0 P (t);
	t			1	2				3				4		5
	t
	Р (t)		0	P (t) 0 P (t) P (t) 0 P (t) 0 P (t).
	5		0	P (t) 0 P (t) P (t) 0 P (t) 0 P (t).
	t			1	2				3				4		5
	t
Условие нормировки:					P (t) P (t) P (t) P (t) P (t) 1 .
					1				2			3		4	5

Ответ:

PНС ( ) 0,054; PПС ( ) 0, 27; PРС ( ) 0,946.

Примечание. При одинаковых интенсивностях переходов из состояния в состояние элементов надежность дублированной системы с резервированием замещением выше, чем системы с постоянным резервированием.

Задачи для самоподготовки

Задача №1. Временная диаграмма состояний системы, которая может находиться в пяти состояниях, представлена на рис. 5.19.

Известно следующее:

-продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинены экспоненциальному закону;

-средняя продолжительность пребывания системы в каждом из состояний:

t1 100 ч; t 2	300 ч; t 3 150 ч; t 4 300 ч; t 5	203,3 ч;
- S2 S3 = S6	– рабочее состояние; S1 S4 =	S7 – состояние

аварийного ремонта; S5 – состояние планово-предупредительного ремонта.

S
S5
S4
S3
S2
S1						t (ч)
t1	t2	t3	t5	t4	8760	t (ч)
	Рис. 5.19. Временная диаграмма состояний системы

Задание:

1. Составить диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы.

Определить:

- частоту появления каждого из состояний ( 1, 2, 3, 4, 5 –

1/год);

- вероятности нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы (P1( ), P2( ), P3( ), P4( ),

P5( ));

- интенсивности переходов из состояния в состояние (q1 2, q1 3, q3 2, q4 5 и т. д. – 1/год).

2. Составить диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S5, S6, S7. Определить с помощью этой диаграммы вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии, состоянии аварийного ремонта и в состоянии планово-предупредительного ремонта для установившегося (стационарного) процесса.

Задача №2. Временная диаграмма состояний системы, которая может находиться в пяти состояниях, представлена на рис. 5.20.

Известно следующее:

-продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

-средняя продолжительность пребывания системы в каждом из состояний:

t1 400 ч; t2 100 ч; t3 50 ч; t4 200 ч; t5 132 ч;

- S1 S2 = S6 – рабочее состояние; S3 S5 = S7 – состояние аварийного ремонта; S4 – состояние планово-предупредительного

ремонта.

S2
S1	t1	t2	t3	t5	t4	8760 t (ч)

Рис. 5.20. Временная диаграмма состояний системы

Задание:

1. Составить диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы.

Определить:

- частоту появления каждого из состояний ( 1, 2, 3, 4, 5 –

1/год);

- вероятности нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы (P1( ), P2( ), P3( ), P4( ),

P5( ));

- интенсивности переходов из состояния в состояние (q1 2, q1 3, q3 2, q4 5 и т. д. – 1/год).

2. Составить диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S6, S7, S4. Определить с помощью этой диаграммы вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии, состоянии аварийного ремонта и в состоянии планово-предупредительного ремонта для установившегося (стационарного) процесса.

Задача №3. Диаграмма пространства состояний системы представлена на рис. 5.21.

Известно следующее:

- продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

- все интенсивности переходов из состояния в состояние имеют одинаковые значения:

q1 2 = q1 3 = q1 4 = q1 5 = q2 1 = q2 3 = q2 4 = q2 5 = q3 1 = q3 2 = q3 4 = q3 5 = q4 1 = q4 2 = q4 3 = q4 5 = q5 1 = q5 2 = q5 3 =

=q5 4 = 2,5 год-1;

-S1 S2 = S6 – работоспособное состояние; S3 S4 S5 = S7 – состояние аварийного ремонта;

-в начальный момент времени система находится в состоянии S3.

Задание:

Преобразовав исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями, определить:

1)вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,5 (года);

2)вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,1

(года).

Задача №4. Диаграмма пространства состояний системы представлена на рис. 5.21.

Известно следующее:

-продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

-все интенсивности переходов из состояния в состояние имеют одинаковые значения:

q1 2 = q1 3 = q1 4 = q1 5 = q2 1 = q2 3 = q2 4 = q2 5 = q3 1 = q3 2 = q3 4 = q3 5 = q4 1 = q4 2 = q4 3 = q4 5 = q5 1 = q5 2 = q5 3 =

=q5 4 = 1,5 год-1;

-S1 S3 S5 = S6 – работоспособное состояние; S2 S4 = S7 – состояние аварийного ремонта;

-в начальный момент времени система находится в состоянии S1.

Задание:

Преобразовав исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями, определить:

1)вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,2 (года);

2)вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,2

(года).

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.20153.81 Mб68Учебное пособие 2013.doc
#
07.03.2015744.96 Кб130Учебное пособие по курсу - Человеко-машинное взаимодействие.doc
#
07.03.20154.54 Mб131Учебное пособие. Ратманова. Булатова..doc
#
07.03.20155.72 Mб73УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ.doc
#
07.03.20159.4 Mб400Учебное пособие.docx
#
07.03.20152.12 Mб93УчебПособие (Теория надежности)2011.pdf
#
07.03.2015159.23 Кб10Учет и анализ часть 1 - ИвановаОЕ.doc
#
07.03.20151.38 Mб12учпос упр учет Кукукина.pdf
#
07.03.201565.06 Кб10Федеральное агентство образования РФ.docx
#
07.03.2015149.5 Кб12Феномен мировой рок-культуры.doc
#
07.03.2015557.57 Кб325ФЗ об ОРД.doc