Обращение матрицы и вычисление определителя

Задача обращения матрицы сводится к решению матричного уравнения , которое эквивалентно решениюn систем линейных уравнений

, , . . ..

Столбцы являются столбцами матрицы. Важно то, что во всех этих системах матрица коэффициентов одна и та же. Поэтому ееLU-разложение достаточно выполнить только один раз.

Для вычисления определителя достаточно получить LU-разложение:

, .

Кроме указанных выше методов имеются и другие методы решения систем уравнений и обращения матриц.

Трудоемкость решения системы уравнений методом Гаусса, LU-разложения, обращения матрицы и вычисления определителя приблизительно одинаковая, для выполнения этих действий требуется выполнение порядка операций сложения и умножения.

Число обусловленности матрицы (системы уравнений)

Решение системы линейных уравнений обладает одной особенностью. Может оказаться, что при очень малом изменении коэффициентов системы или ее свободных членов решение изменяется очень сильно. Такие системы или их матрицы коэффициентов называются «плохо обусловленными». Как правило, появление в инженерных расчетах плохо обусловленной системы уравнений означает, что математическая модель технической задачи выбрана неудачно. Действительно, в инженерных расчетах все входные величины (коэффициенты системы и свободные члены) берутся с некоторым округлением (редко более трех значащих цифр). Поэтому сильные колебания решения при изменении входных данных в пределах величины округления не допустимы.

При решении чисто математических задач входные данные считаются абсолютно точными, из-за чего плохо обусловленные матрицы встречаются достаточно часто. Но компьютерное решение таких задач нужно воспринимать с большой осторожностью, так как компьютер сам при вычислениях вносит ошибки округления.

Хорошо или плохо обусловлена система уравнений (матрица), определяется по числу обусловленности , где матрицаА – это матрица коэффициентов системы. Для объяснения этого понятия введем характеристику величины элементов матрицы, а именно норму матрицы. Норма матрицы обозначается . Чаще всего используется одна из трех норм:

, ,,

где – это наибольшее из собственных чисел матрицы.

По определению . При использовании различных норм матрицы будут получаться различные числа обусловленности. Однако если число обусловленности матрицы большое при использовании одной из норм, то оно будет большим и при использовании другой нормы. Система считается плохо обусловленной, если ее число обусловленности велико (порядкаи больше).

Лабораторная работа №3

Вычислительные методы для решения нелинейных уравнений

Пусть задано уравнение

, (1)

где – непрерывная функция одного вещественного аргумента, определенная на некотором промежутке числовой оси.

Корень или, что то же самое, решение уравнения (1) – это число, которое после подстановки его в левую часть превращает (1) в верное числовое равенство.

К сожалению, найти корни уравнения удается крайне редко. Как правило, их можно найти только приближенно. Что это значит?

Определение. Найти корень (решение) уравнения (1) с точностью ε означает указать любое число такое, что

, (2)

где c – точный корень уравнения (1).

Естественно, что точный корень нам неизвестен, иначе не нужно было бы находить приближенный корень. Поэтому непосредственная проверка неравенства (2) невозможна. Но есть методы, которые позволяют сказать, что это неравенство выполнено, хотяостается неизвестным. Один из них, пожалуй, наиболее простой, базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция непрерывна на [a; b] и на концах имеет разные знаки, т.е. , то на [a; b] есть хотя бы один корень уравнения (1).

Пусть мы нашли какое-то число , которое, как мы подозреваем, будет приближенным корнем с точностьюε. Положим ,. Еслииимеют разные знаки, то на отрезке [a; b] по теореме есть корень . Тогда его отличие отне может быть большеε (рис.1). Поэтому

мы можем гарантировать, что – решение уравнения (1) с точностьюε.

Уравнение (1) может иметь несколько корней, а все методы приближенного нахождения дают только один корень. Поэтому на первом этапе нужно выполнить процесс отделения корней, т.е. выделить ряд отрезков, на каждом из которых находится только один корень. Это можно сделать, например, с помощью графика функции . На рис. 2 точкиосиOx являются корнями уравнения (1).

Если бы график был более точным, тоточки дали бы точные корни. Но так как график строится не абсолютно точно (ошибка хотя бы на толщину линии), то дают лишь приближенное представление о корнях. По графику мы можем выделить отрезки, например ,,, на каждом из которых содержится только один корень. Если отрезки брать маленькими, то за счет ошибок в проведении графика может оказаться, что корень лежит за пределами отрезка. Поэтому желательно проверить наличие корня на отрезке по теореме, приведенной выше. Отрезки желательно брать небольшими, чтобы функция на каждом была монотонна. Тогда мы можем гарантировать, что корень на отрезке только один.

Если график приходится строить без использования компьютера, то уравнение (1) можно попробовать преобразовать к виду где графикиg(x) и h(x) строятся легко. Тогда корнями уравнения (1) будут абсциссы точек пересечения графиков и(рис.3).

Для нахождения корней можно применять следующие методы:

• метод половинного деления;

• метод Ньютона (метод касательных);

• метод секущих;

• метод итераций.