Векторы
Вектором система считает матрицу-столбец. Операция скалярного умножения задается с помощью кнопки на панели Matrix или обычным символом умножения. Пример:
.
Обратите внимание, что если столбцы a и b рассматривать как матрицы, то их перемножить нельзя, то есть операция умножения, символом которой является точка, системой воспринимается по-разному в зависимости от ситуации. При умножении матрицы на вектор действует обычное правило умножения матриц.
Для
того чтобы вызвать координату (компоненту)
вектора, достаточно указать только один
индекс. Тот же результат получим, если
вектор будем рассматривать как матрицу
и укажем два индекса:
,
.
Трехмерные векторы система может перемножать векторно. Для этого используется кнопка на панели Matrix с символом векторного умножения:
,
,
.
Для
того чтобы найти модуль вектора (любой
размерности), можно использовать символ
|x|
на панели Calculator
(но не на панели Matrix).
Пример,
,
.
Системы линейных уравнений
Для того чтобы решить систему линейных уравнений с матрицей A и столбцом свободных членов b: A∙x = b, нужно столбцу неизвестных x присвоить значение произведения обратной матрицы к А на столбец свободных членов b. Тот же результат можно получить, воспользовавшись функцией lsolve(A,b). И в том и в другом случае элементы матрицы A и свободные члены b могут быть комплексными числами. Приведем пример использования функции lsolve(A,b). Пусть требуется решить систему уравнений
(Саму
систему на экран компьютера записывать
НЕ НУЖНО!). Создадим матрицу коэффициентов
системы и столбец свободных членов
.
Функцию
lsolve
можно вызвать с помощью кнопки f(x)
на панели инструментов. В развернувшемся
слева списке нужно указать пункт Solving
и в списке справа указать функцию lsolve:
.
Итак, получили, чтоx = 0.784,
y = 1.2,
z = 1.65.
Система MATHCAD может решать системы линейных уравнений небольшого порядка и в символьном виде. Такие вычисления могут быть проведены следующим образом. Вводим шаблон матрицы-столбца с числом элементов, равным числу уравнений. Вводим уравнения, используя для знака равенства знак = с панели Boolean. Эту панель можно вызвать с помощью кнопки с изображением знаков неравенств на панели математических инструментов. После этого нажимаем кнопку solve на панели Symbolic, после solve ставим запятую и далее через запятую указываем имена неизвестных. Например,
,
.
Попробуем решить следующую систему
уравнений
(НЕ НАБИРАТЬ!) с помощью обратной матрицы.
Создадим матрицу системы и столбец
свободных членов
,
.
Находим решение
.
Система отказалась выполнить действия
и выделила матрицуA
красным цветом. При активизации этого
блока появляется диагностика ошибки:
матрица вырожденная (сингулярная), найти
обратную невозможно.
Выясним ранг исходной и расширенной матрицы системы. Для этого воспользуемся функцией rank(■). Эту функцию можно вызвать кнопкой f(x) на панели инструментов, выбрав в списке слева пункт Vector and Matrix:
,
,
.
Таким образом, мы видим, что матрица A действительно является вырожденной. С другой стороны, по теореме Кронекера – Капелли система имеет решение. Получим его символьными действиями (открыть новый файл; “=” брать с панели Boolean):
.
Приведенный результат получен системой МС14. Он является одним решением из бесконечного множества решений. Более ранние версии системы МС давали общее решение системы уравнений.
Если мы в третьем уравнении число -10 заменим числом -11, то система уравнений станет несовместной. Проверьте это, вычислив ранг расширенной матрицы. Попробуйте символьно решить полученную систему.
Отметим, что к использованию системы МС для решения систем линейных уравнений с помощью численных методов нужно относится критически. При выполнении вычислений компьютер неизбежно округляет числа. Поэтому при реализации метода Гаусса или ему подобного вместо нуля может оказаться очень маленькое число и вырожденная матрица превратится в невырожденную.