Основные понятия и вычислительные методы (теоретическая часть)

Лабораторная работа №1

На этой лабораторной работе вы должны будете познакомиться с системой компьютерной математики MATHCAD. На данный момент в компьютерном мире имеется несколько различных систем компьютерной математики. Наиболее широко известные – это MATHCAD, MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE. Две последние больше ориентированы на символьные операции, чем на численные методы, и поэтому их чаще относят к системам компьютерной алгебры. Символьные операции – это преобразования формул. Система MATLAB обладает огромными вычислительными возможностями, и эти возможности расширяются с каждой новой версией. Система MATHCAD скромнее по возможностям, но удобнее по использованию. Большинство функций и операций в ней записываются практически так же, как пишутся формулы в книгах, и нет необходимости запоминать форматы команд. Для решения сравнительно небольших математических вычислительных задач средств этой системы вполне достаточно. Возможности программирования в этой системе довольно скромные, но в тех задачах, с которыми вы будете знакомиться, программировать что-либо нет необходимости.

При работе с MATHCAD следует помнить, что в этой системе есть два типа операций: вычислительные и символьные. В первом случае система выдает результат в виде числа с определенной степенью точности, во втором случае – в виде формулы, обыкновенной дроби, где все вычисления выполнены абсолютно точно. И только в случае, если такой результат получить невозможно, выполняются вычисления с высокой точностью (по умолчанию – 20 значащих цифр, но можно довести до 500). Для решения инженерных задач, где результатом является число, предпочтительнее вычислительные операции. Необходимо хорошо запомнить, что результат вычислительной операции получается по нажатию клавиши ’ = ‘. Результат символьной операции получается с помощью панели символьных операций (кнопка ) или меню в верхней строке окна MATHCAD.

Для исключения недоразумений везде в дальнейшем «меню» означает верхнюю строку окна MATHCAD, а «панель» – все таблицы символов, связанных с математикой и выведенных на экран в виде панелей или тех же панелей, но встроенных в верхние (кроме первой) строки окна MATHCAD. Слова «щелчок мыши» будут означать «щелчок левой кнопкой мыши».

Автор везде будет использовать английский язык для указания пунктов меню, названия панелей и кнопок по следующим причинам. Во-первых, это язык оригинала, во-вторых, русификация разных версий MATHCAD выполнена по-разному. Главное же, потому, что русификация часто выполнена непрофессионалами, и перевод может не иметь никакого отношения к математическому смыслу оригинала.

В дальнейшем изложение будет ориентировано на систему MATHCAD 14. Однако можно использовать и более ранние версии этой системы. Их возможностей достаточно для решения приведенных далее задач. Отличий в использовании основных функций немного.

Лабораторная работа №2

В этой работе мы рассмотрим некоторые вычислительные методы, используемые при работе с матрицами. Основные задачи – это решение систем линейных уравнений, обращение матрицы, вычисление определителя, нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы. Последняя задача слишком сложная, чтобы излагать здесь методы ее решения. Остальные перечисленные задачи решаются на основе той или иной модификации метода Гаусса.