Преобразования Фурье и Лапласа

При использовании системы МС для выполнения преобразования Фурье нужно помнить, что это преобразование применяется к абсолютно интегрируемым функциям. В противном случае можно получить результат, который невозможно понять в рамках общего курса математики.

Применение системы МС рассмотрим на примере функции . Выполнить преобразование Фурье можно двумя способами: с помощью меню и с помощью панели символьных вычислений. Наберем функцию. Выделим переменнуюt. В меню Symbolics выберем пункт Transform и подпункт Fourier. Получим. Второй вариант: снова набираем, выделяем все выражение, затем на панелиSymbolic нажимаем кнопку fourier и щелкаем мышью за пределами блока. Получим тот же результат. Обратное преобразование Фурье выполняется аналогично, только придется в меню выбирать пункт Inverse Fourier или на панели кнопку invfourier. Например, наберем функцию и выберем кнопку панелиinvfourier. После слова invfourier поставим запятую и укажем имя переменной p. Получим исходную функцию .

Найдем преобразование Фурье функции . В результате получим. Теперь к этой функции применим обратное преобразование Фурье:

.

Кажется, что получили нечто непонятное, отличающееся от исходной функции. Попытки упростить полученное выражение желательного результата не дают. Однако в действительности мы получили исходную функцию, только записанную в непривычном виде. Дело в том, что– это единичная функция Хевисайда,В соответствии с этим определением прирезультат преобразования равен. Приполучим, т.е..

Теперь обратимся к функции, которую нельзя задать «одной формулой». Пусть Если ее записать с помощью условного оператора

, то MATHCAD откажется выполнить преобразование с непонятным комментарием об ошибке. Запишемс помощью единичной функции Хевисайда, букву Ф нужно взять с панелиGreek греческих букв. Проверьте, хотя бы по графику, что это та же самая функция. Теперь получим

. (14)

Здесь – дельта-функция Диракаδ(t),

Дельта-функция Дирака обладает свойством, что при ,и непрерывной функциивыполняется равенство.

Если быть точным, то δ(t) не является функцией в обычном смысле, т.к. не есть число. Дельта-функция является обобщенной функцией. Обобщенные функции включают в себя все непрерывные функции, функции с конечным числом разрывов первого рода, а также их производные. Обобщенные функции можно интегрировать и дифференцировать любое число раз. Желающие познакомиться с обобщенными функциями должны обратиться к соответствующим учебникам.

Вернемся к преобразованию Фурье функции . Так как выражениеприравно нулю из-за последнего множителя, а приравно нулю из-за второго множителя, то. Получаем, что результат преобразования Фурье функцииравен. Такой же результат можно легко получить, вычислив интеграл формулы (11).

Найдем обратное преобразование Фурье от получившейся функции:

.

Получившийся результат совпадает с функцией .

Возьмем функцию Ее можно записать в виде. Выполним преобразование

.

Здесь . Упрощения, подобные сделанным выше, показывают, что в правой части стоит функция. Этот результат мог быть получен проще, или аналитическим вычислением преобразования Фурье, или на основании следующего свойства:

Если , то.

По этому свойству МС, собственно, и выполнил преобразование Фурье.

Отметим еще одну особенность работы системы МС с преобразованием Фурье. Если аргумент функции, к которой применяется обратное преобразование Фурье, обозначен буквой t, то МС14 отказывается выполнить это преобразование. В комментарии к ошибке указывается, что аргумент ответа и аргумент исходной функции не должны совпадать. Другие версии системы МС преобразование выполнят, сменив аргумент ответа. Заметим, что в других версиях преобразование Фурье может выполняться по формулам, отличным от (11) и (12)

Аналогично преобразованию Фурье выполняется и преобразование Лапласа. Например, .

Разлагая результат не простейшие дроби, получим

.

Обратное преобразование:

.

Упростим

.

Можете проверить методами, изучавшимися в курсе высшей математики, что результаты получились верные.