Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 146. Формула суммы первых п членов арифмети ческой прогрессии. Предварительно отметим одно свойство арифметической прогрессии с конечным числом членов.

Пусть имеем:

щ-2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37.

Сложим	члены, равноотстоящие от начала и конца про
грессии:	2-[-37 = 39;			7+-32 = 39;		12 + 27 ==39; 17 + 22 =
= 39; замечаем,			что	сумма	двух членов арифметической
прогрессии,		равноотстоящих			от	концов,	равна сумме
крайних	членов.
Так	оно и должно быть: первые слагаемые этих сумм
(т. е. 2,	7,	12,	17) возрастают на			5; зато	вторые слагае

мые (37, 32, 27, 22) убывают на 5; от этого сумма каж дой пары слагаемых остается без изменения.

Перейдем к выводу формулы суммы первых п членов

арифметической		прогрессии.		Обозначим эту сумму че
рез Sn\
Sn = al + a2-\-a3 + ... + ап_2 + ап_, + ап.						(1)
Если слагаемые			в правой	части равенства		напишем
в обратном порядке, то сумма				Sn от этого не изменится:
Sn= an + an_1 + an_2+ . . . +-ß3-fa 2+-о+						(2)
Сложим почленно равенства (1) и (2); получим:
2Sn — (аг +	Û„) +	(Ö2 +- an_[) +- (a3+-ß„_2) -T . . .
		•••-!-( a „ - 2		-r { an- i	4- a4) + ( a n +-a x).
В каждой	скобке		имеем сумму двух		членов,	равноот

стоящих от концов прогрессии; следовательно, все эти суммы в скобках равны между собой и каждая из них равна сумме крайних членов аг+- ап; таких скобок всего я, т. е. столько, сколько членов прогрессии. Поэтому имеем:

2Sn = (a1 + a„)-n;

О__ (а 1~Г а п ) п

— 2

Сумма первых п членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

Если воспользоваться выражением общего члена арифметической прогрессии: ап = а1-\~(п— 1)d, то формуле

о °і “Ь аі +2(п— 0 d »

5 __2at + («— l)d ^

Этой формулой удобно пользоваться, если нужно найти число членов прогрессии по данным а17 d и Sn.

§ 147. Геометрическая иллюстрация суммы S n . Дадим геометрический вывод суммы первых п членов арифмети

ческой прогрессии.

заметим

следующее:

если

основание

Прежде

всего

прямоугольника

равно

единице, то площадь прямоуголь

ника

выражается

тем

же

числом, что и его высота.

Строим

п прямоуголь

ников

высотами,

рав

ными членам

арифметичес

кой

прогрессии

(рис. 109);

основание

каждого

пря

моугольника

равно едини

це;

все

прямоугольники

плотно приставлены

друг

к другу. Получим ступен

чатую

фигуру

(на

черте

же

заштрихована),

пло

щадь

ее

численно

равна

Рис. 109.

Sn. Если к заштрихованной

но перевернутую, то

фигуре пристроить такую же фигуру,

получится

прямоугольник

ABCD с

основанием ÄB = n,

высотой AD —

-f ап\ площадь ступенчатой фигуры есть

половина

прямоугольника,

(щ 4 - ч.,) л

т. е. о „ = ■

148.

Примеры на применение формулы суммы 5„.

П р и м е р

1. Найти сумму первых п чисел натураль

ного

ряда.

Имеем:

а1= \\

а„ — п\

число членов также

равно

п\

по первой

формуле суммы

можно

написать:

с(14-л) я

—2

Пр и м е р 2. Найти сумму 10 членов прогрессии:

-4-18, 14, 10, б, ...

В данном случае	d = 14— 18 = — 4;	а4=18; п — 10. По
второй формуле суммы имеем:
5ю —	2-18 + 9-( —4) 10;	S10 = 0.

П р и м е р 3. Четвертый член прогрессии равен 9, де вятый член равен ■—6. Сколько нужно взять членов, что бы сумма их равнялась 54?

ад = — 6, или аг-\-М = — 6 а4 = 9, или a1-\-3d = 9

5 d ^ - 1 5 ;

à = — 3;

9 = оу-t- 3 • (—3); ax— 18.

По второй формуле суммы имеем:

54 = 2' 18 + (п~ -

3) п;

108 = (36 —Зга+ З) /г;

36 = (13—п) п; п2— 13/г + 36 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим: «j = 4; п2 = 9.

Оба ответа удовлетворяют условию задачи, что обнару живается при проверке:

= 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, —3, —6; S4 = 54;

59 = 54-|-0 = 54, так как сумма последних пяти членов равна нулю. Такое положение, очевидно, будет иметь

место, если	прогрессия	имеет члены, противоположные
по знаку, но	равные по	абсолютной величине.

§ 149. Сумма квадратов первых п чисел натурального ряда. Обозначим сумму первых п чисел натурального ряда через 54, а сумму их квадратов через S2, так что

— 1+ 2 + 3 -(- 4 -)- . . . п;

52 = I2 + 22 + З2 + 42 + ... + /г2.

Если в тождестве

(п+ I)3 —п3 = 3л2 + Зп+ 1

будем последовательно давать	л	значения 1, 2, 3, 4, ...
. . . , л, то получим:
23 — 13 = 3 • 12 + 3			- 1H- 1;
З3 —23 = 3-22	4-	3	- 2+ 1;
43- 3 3 = 3-32 + 3 - 3+ 1;
53—43 = 3-42	+	3-4 + 1;

л3 —(я— 1)3 = 3( я— 1)2 + 3(л — 1)4-1; (л + I)3 —п3—3л2 + Зл 4- 1.

Складываем почленно эти равенства:

(л + I)3 — 13 = 3 (12 + 22 + 32+ 42 -|- . . . + л2) +

или	+ 3(1 + 2 + 34-4 +	• •• + л) + л,
		(3)
(« + I)3— I3 = 352 + 35j + л.
Но	(п + 1 ) п
Sl
	2

Подставив значение Sj в равенство (3), получим:

п3+ Зп2 + Зп = 352 -I- Эя-(? + і Ц -л,

откуда

6S2 = 2 (ft3 + 3л2 + Зл)—Зя2 —Зп —2п = 2я3 + Зп2 + п =

= п (п + 1 )(2 я + 1 );

ся ( л + 1 )(2 я + І )

6 '

Подобным же образом можно найти сумму кубов первых п чисел натурального ряда, если исходить из тождества

(л + I)4—я4 = 4л3 + 6я2 + 4л + 1;

получим:

П+«)Я] 2 _ 02

§ 150. Геометрическая прогрессия.

О п р е д е л е н и е . Последовательность чисел, в ко торой каждый следующий член равен предыдущему

члену, умноженному	на одно и то же число, называет
ся геометрической	прогрессией. Приведем примеры

геометрических прогрессий:

1, 2, 4, 8, 16, 32, . .

07 Ü 3 I 1 і

12, — 6, 3, — у ,

. . .

Каждый член первой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на 2; во вто ром примере последующий член получается из предыду-

щего умножением н а —, в третьем примере —умноже-

1 нием на —-j.

Число на которое надо умножить предыдущий член, чтобы получить последующий, называется знаменателем прогрессии. Знаменатель прогрессии обозначается бук вой q. Члены геометрической прогрессии, аналогично чле нам арифметической прогрессии, будем обозначать а1г а2, а3 и т. д. Геометрическую прогрессию будем обозначать знаком-УУ, поставленным впереди ее членов.

Если знаменатель прогрессии q больше 1, то прогрес

сия	является возрастающей при	> 0 и убывающей при
а3 <	0. Если Ç— 1, то все члены геометрической прогрес

сии равны между собой. Такие прогрессии интереса не представляют.

В приведенных выше примерах первая прогрессия возрастающая, вторая —убывающая, а третья не являет ся ни возрастающей, ни убывающей (здесь последующий член бывает то больше, то меньше предыдущего).

§ 151. Формула любого члена геометрической прогрес сии. По определению геометрической прогрессии имеем:

а2 = аі<7;	(hq-;
а3 = a.q	(hq-;
аЛ a..q	а д 3.

Выявляется определенная закономерность; чтобы по лучить член геометрической прогрессии с определенным номером, нужно первый член прогрессии умножить на знаменатель прогрессии с показателем степени, равным числу предшествующих членов. Допустим, что этот за кон справедлив для члена с номером к:

а*+і =

аі<7‘-

(2)

Действительно,

по определению

геометрической

про

грессии имеем:

ak+ \---^kq = alqk~1q = alqh,

и равенство

(2)

доказано.

(1)

непосредственно

про

Справедливость

равенства

верена нами вплоть до значения

к —-А. Тогда,

по дока

занному, оно верно и при

/г = 5,

раз

справедливо

при

k — Ъ, то

верно

и при k — 6 и т. д.,

и вообще оно верно,

при

любом натуральном

значении к = п:

ап = ащп~1.

Любой

член

геометрической

прогрессии

равен

пер

вому

члену,

умноженному

на знаменатель

прогрессии

с показателем степени,

равным

числу

членов,

предше

ствующих определяемому.

прогрессии:

П р и м е р

Найти

8-й член

Cf 1,

27, ...

В этом примере

aï — \\

q = 3;

поэтому

а8= а1(?7= 1-З7= 2187.

П р и м е р

Найти 10-й член прогрессии:

— Ѵ% 1,

Ѵ-г ’

Знаменатель а — — ^~2 ; а, = 2.

2 \ 9_

2*Ѵ~2

Ѵ2

§ 152. Среднее геометрическое. Пусть ak_1, ak, ak+1— три последовательных члена геометрической прогрессии, где индекс k —любое натуральное число, большее 1. Тогда имеем:

g* _ QA-M . «ft-i ak

каждое из этих отношений равно знаменателю прогрес сии q. По свойству пропорции имеем:

ß-k — ■ +1•

Число, квадрат которого равен произведению двух данных чисел, называется их средним геометрическим;


например,	число 6 есть среднее		геометрическое	чисел
4 и 9, так	как 62 = 4-9.
Таким образом, любой член геометрической прогрессии
есть среднее		геометрическое двух смежных с ним членов.
Приме р .		Между числами 2	и 1458 вставить	пять

средних геометрических.

Условие задачи надо понимать так: требуется найти

пять	таких чисел, которые вместе с данными числами
2 и	1458 образовали	бы геометрическую прогрессию с
1-м членом at = 2 и 7-м членом а7= 1458.
Имеем:
	а7 = а1</«;	1458 = 2qe; 729 = qe;

< 7 = £ / 7 2 9 = ± 3 .

Возможны две прогрессии:

—2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458

или

-4-2, —6, 18, —54, 162, —486, 1458.

§ 153. Сумма первых п членов геометрической про грессии. Обозначим сумму первых п членов геометриче ской прогрессии через Sn.

S n = a 1 + а г + а з + - ■ • + а п~ I -\|- а ,ѵ			(1 )
Умножим обе части равенства (1) на q\ получим:
Snq = а\Ц+ atq + aaq+		. . . + a n_lq + anq\	(2)
так как
avq = az,	atq = a 3,	.. ., an_lq = an,
то равенство (2) примет вид
$ п й — а 2 +	а з + й 4 +	• • • Л~а п б г а пЯ-	( 3 )

Вычитаем из равенства (3) равенство (1):

Snq— Sn = anq— ax, Sn (q— l) = anq— al,

откуда

Формулу суммы можно представить в другом виде, если в ней ап заменить через axqn~3\ получим:

		_ a xq"-1q—a1		Щ(<?" — 1) .
		5 п	<7—1	<7-1	’
		с	(<?"—1)	(Я Ф !)■
		-	—	(Я Ф !)■
Если знаменатель			прогрессии \| g \| < 1,		то	удобнее пи-
сать	формулу так:
		5П
чтобы числитель и знаменатель дроби были						положитель
ны	при ах >	0.
Решим старинную задачу, относящуюся к XVIII веку.
З а д а ч а .		Некто	продает	лошадь с	условием, чтобы
за первый гвоздь подковы был				уплачен	1 грош,		за	вто
рой	гвоздь —2 гроша,		за третий —4 гроша			и т.	д.	Всех

подковных гвоздей у лошади 32. Спрашивается, во

сколько он	ценит лошадь?
Очевидно, надо найти сумму 32 членов геометриче
ской прогрессии, первый член которой				ах — 1; знамена
тель <7 = 2;		а,а =	1-281;

5з2 =	= 232 — 1 = 4 294 967 295 (грошей).
В переводе	на рубли это составит около			2,15	млн. руб.
(цена фантастическая!).		первых трех членов			прогрессии
Пр име р . Сумма
равна 6, а сумма 2-го,		3-го и 4-го членов равна —3. Най
ти прогрессию. Запишем условие:
	ахV а2 ф- а3 = 6;		а2 + а3-\|- а4	—3.

Выражая члены прогрессии через первый, получим:

a1 + alq + a1q* = 6, или ах(1 + q + q2) = 6;

(4)

axq + axq2+ axq3= — 3, или axq (1 + q + g2) = —3. (5)

Разделим равенство (5) на равенство (4); получим: q = — . Первый член находим из соотношения

	6	6	0
а і	1+ <7+ <?2	1
		4

Искомая прогрессия тд8; —4; 2; —1; ...

§ 154. Метод математической индукции. При выводе формулы любого члена арифметической и геометрической прогрессий мы пользовались рассуждениями, которые носят название метода математической индукции. Сущ ность этого метода заключается в следующем: если надо установить справедливость некоторой формулы, в кото рой фигурирует натуральное число п, то:

1) проверяем,

что предполагаемый

закон

имеет

место

для частного случая п =

2) предполагаем, что закон справедлив при каком-

нибудь произвольном

значении

п = k,

и доказываем, что

в таком случае он справедлив и

при n = /é -f1; отсюда

будет

следовать,

что

закон

вообще

справедлив

при

любом

значении

п,

ибо справедливость

его

была

обнаружена при п = 1, а по доказанному

он

тогда

верен

и при я

раз справедлив

при

п — 2,

то

справедлив

и при

п = 3,

и т. д.

называют способом доказа

Иногда эти

рассуждения

тельства от п к л -fl .

Рассмотрим

пример.

Пр име р .

Доказать,

что при всяком

натуральном я

имеет

место

равенство

Формула

верна для л = 1 ,

ибо

і. (і +

і).(2.і +

і)

1==І

б’ '

Допустим, что формула верна при n = k:

Докажем, что в таком случае она верна и при n —k -\-1, т. е.

l2 + 22 -f 32 -f ... +k* + (k -f I)2 =

В самом деле,

1» + 2* -f 3* + ... + £2 + (k -f l)2 =

(А+1)(А + 2)(2* + 3)

(fe+ l)(* + 2)(2fe + 3)

так как 2kz + 7k-f-6 = (/e-f 2) (2Æ-j~3).

Непосредственная				проверка показала,		что формула
верна	при	п = 1;	по	доказанному	она будет справедлива
также	при	п = 2,	а	потому и при	п = 3,	следовательно,

и при п — 4 и вообще при любом натуральном п.

§155. Задачи на прогрессии.

За д а ч а 1. Два тела, находясь на расстоянии 153 м

друг от друга, движутся		навстречу одно другому. Пер
вое прокодит	10 м в секунду, а второе в первую секунду
прошло 3 м,	а в каждую	следующую секунду проходит

на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько се кунд они встретятся?

Пусть встреча происходит через х секунд, тогда пер вое тело прошло путь, равный 10х (м), второе тело прошло путь, равный сумме членов арифметической про грессии:

S	= 3 4- (3 +5) + (3 + 5-2) + ...				+ [3 + 5 (х— 1)].
По	условию задачи 10x + S=153,				или	10л:Д— ^— х —
= 153.		это	квадратное	уравнение,		находим, что
Решая
%-•= 6.		2.	Могут ли	числа,	выражающие длины
З а д а ч а

сторон треугольника и его периметр, образовывать ариф метическую прогрессию?

Предполагаем, что длины сторон образуют арифме

тическую прогрессию, тогда	их можно	обозначить	а,
a-\-d, a-\~2d, периметр в таком случае		равен 3a + 3d.
Разность между периметром	и большей	стороной равна
(За 4-3d) — (а -{-2d) = 2а + d,	и, так как	2a Jr d~>d,	пе

риметр не является четвертым членом арифметической прогрессии.

З а д а ч а 3. Четыре числа образуют убывающую гео метрическую прогрессию. Зная, что сумма крайних чле нов равна 27, а сумма средних членов равна 18, найти эту прогрессию.

Имеем систему

( а1+ а1д3 = 27, \а гд + агд2 —9.

Разделим первое уравнение на второе: -——— = 3.

Я _

Решая это квадратное уравнение, получим g = 2dtV 3.

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ