книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

Г л а в а XI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

§ 1. Вводные замечания. Постановка задачи. Идеи Римана

Из рассмотренного в первой части следует, что основное вни­ мание математиков при изучении нелинейных уравнений было обращено на установление таких их классов, в которых отсут­ ствовали подвижные критические точки, и на исследование ин­ тегралов этих уравнений. И все же изучение уравнений с непо­ движными особыми точками носило фрагментарный характер и не характеризовалось получением довольно общих результатов для всего типа уравнений. Значительно больший прогресс в этом отношении имел место в аналитической теории линейных урав­ нений, интегралы которых, как известно, обладают лишь непо­ движными особыми точками. В таком случае аналитический ха­ рактер интегралов линейных дифференциальных уравнений вполне определяется поведением их в области неподвижных особых точек. А неподвижные особые точки интегралов линей­ ных уравнений обусловливаются их присутствием в коэффици­ ентах данного уравнения. Такого рода непосредственная связь существенно облегчает решение общей проблемы исследования интегралов по заданному дифференциальному уравнению.

Быстрому прогрессу развития линейной аналитической тео­ рии дифференциальных уравнений содействовали такие факто­ ры, как уже весьма завершенное построение общей теории ли­ нейных уравнений аналитиками XVIII и первой половины XIX веков, успехи в области теории подстановок, общей теории групп, теории инвариантов и т. п., упоминаемые ранее достиже­ ния в общей теории функций. Сравнительная простота форму­ лировки задач, обширность поля исследования, а также зарож­ дение новой теории в крупнейших германских научных центрах, где было сконцентрировано большое по тому времени число мо­ лодых научных работников, в том числе приезжавших и из других стран, и где выходила масса журналов с математическим содержанием, облегчавших печатание, повело к тому, что по этой теории за сравнительно короткое время появилось много публикаций, а среди них и немало фундаментальных работ. В иных случаях эти публикации весьма тесно переплетаются с такими, где трактуются другие аспекты общей теории линейных дифференциальных уравнений, и произвести их обособление не

261

так просто. В небольшом очерке [254.10] по развитию линейной теории (1865—1905 гг.). Людвиг Шлезингер привел в библио­ графии 1742 источника, отведя ей больше половины публикации. Существенная их часть принадлежит аналитической теории.

К концу прошлого и в начале настоящего века исследования по линейной теории дифференциальных уравнений велись прак­ тически уже во всех странах, где культивировалась научно-ис­ следовательская работа по математике. Естественно, что в на­ шем очерке представляется возможность рассмотреть лишь основные работы и результаты, имевшие принципиальное значе­ ние для развития данной теории.

Как известно из общей теории, решение неоднородного линей­ ного уравнения может быть найдено (методом вариации произ­ вольных постоянных), если известен интеграл соответственного однородного уравнения. А общий (следовательно, и любой) ин­ теграл однородного уравнения может быть выражен как сумма

произведений произвольных постоянных С, на соответственные

П

линейно независимые частные решения уи т. е. у= 2 СіУі.

І=1

Но можно поставить вопрос иначе: об изучении совокупности функций у, линейно зависимых от п произвольных постоянных, при условии, что функции уі регулярны во всей плоскости комп­ лексного переменного х, за исключением конечного числа точек ай. Впервые задачу такого рода изучал Риман [246.3] в 1857 г. для частного случая рассматриваемой теории: при наличии трех критических точек, для функций, удовлетворяющих уравнение второго порядка, частным случаем которого является известное гипергеометрическое. В то же время в статье [246.4] им был по­ ставлен вопрос и в общей форме, но эта статья увидела свет впервые почти через двадцать лет, когда уже была в основном построена теория Фукса, исходной точкой которой служили диф­ ференциальные уравнения. Риман же, оставаясь верным своим принципам, положенным в основу докторской диссертации [246.1], характеризует исследуемые им функции не с помощью формулы, роль которой могло бы играть дифференциальное уравнение или его решение, а посредством перечисления необхо­ димых внутренних свойств, присущих изучаемым функциям, и, в частности, их поведением около особых точек, и уже в итоге исследования приходит к дифференциальному уравнению.

Вышеуказанные функции Уі могут быть охарактеризованы таким образом, что при обходе около каждой из точек ah (k — конечно) любая уі может быть выражена в форме линейной комбинации уі, у%...... уп■ Иначе говоря, вся система функций у и Уі, ..., уп подвергается некоторому линейному преобразова­ нию, которое считается заданным для каждой из точек аи. Сово­ купность таких преобразований при обходе у%по любым замкну­ тым путям, не проходящим через аи, образует группу для дан­

262

хорошо изучить упоминаемую выше статью, где вопрос решался для частного случая. Здесь Риман

прямо писал: «В настоящей работе я изучаю гауссову трансцен­ дентную функцию посредством нового метода, который в сущно­ сти остается применяемым ко всякой функции, удовлетворяю­ щей линейному дифференциальному уравнению с алгебраически­ ми коэффициентами. С помощью этого метода можно почти

идает ее определение как удовлетворяющей трем указанным требованиям. Из них выводятся следствия, т. е. свойства функ­ ции Р, изучается ее характер. В результате этото Риман пришел

кзаключению, что 1) если две ветви Я-функции отличаются не только постоянным множителем, то всякая иная Я-функция с теми же показателями выражается через эти ветви линейно, с постоянными коэффициентами; 2) функция, характеризуемая тпемя указанными требованиями, определяется с точностью до двух констант; эти последние легко и во всех случаях находятся из значений функции для специальных значений переменной, удобнее всего подстановкой значений, соответствующих точкам ветвления. И здесь же он ставит вопрос, принципиально важный

итрудность решения которого для случая п > 3 критических то­ чек, вероятно, была ему понятна, а именно: о существовании

263

функции, удовлетворяющей поставленным требованиям. В дан­ ном конкретном случае он решается построением функций с по­ мощью определенных интегралов и гипергеометрических рядов. При этом, в частности, устанавливается, что «вторая производ­ ная P -функции выражается через саму функцию и ее первую производную линейно с рациональными относительно х коэф­ фициентами, так что всякая P -функция удовлетворяет некоторо­ му линейному однородному дифференциальному уравнению вто­ рого порядка» (стр. 171).

Интересно отметить, что этот мемуар Римана был написан в 1856 г. [246.10, 492], т. е. именно в том году, когда вышли изве­ стные «Исследования» Врио и Буке [112.7]. Появление этих ра­ бот, весьма различных по тематике, по характеру и главное по методу, обусловливалось и различными исходными точками. Исследования по гипергеометрическому ряду и получение весь­ ма глубоких результатов были характерны для немецкой мате­ матики (Гаусс, Куммер, Якоби). Риман продолжил эти исследо­ вания принципиально новым и глубоким методом, идеи которого овладели затем вниманием и умами многих математиков. В то же время мы встречаемся с широкой и прямой постановкой бо­ лее общего вопроса об исследовании функций по дифференци­ альным уравнениям на основе глубоких идей французской школы теории функций, который породил мощный поток исследований, в своем комплексе образовавших новую дисциплину. Таким об­ разом, Римана можно рассматривать как одного из основателей аналитической теории дифференциальных уравнений.

Нет необходимости, на наш взгляд, входить в сравнительные оценки роли и значения этих различных методов, дополняющих друг друга и содействующих прогрессу науки.

Таким образом, когда Фукс приступил в 1865 г. к построению основ аналитической теории линейных уравнений, он встретился с двумя, как могло показаться, независимыми направлениями в предшествующих работах. С одной стороны, установившиеся методы доказательства существования решений дифференциаль­ ных уравнений, широкое применение теории рядов, принцип ана­ литического продолжения и сложившиеся уже приемы исследо­ вания аналитического поведения решений в окрестности некото­ рых особых точек. С другой — пример исследования Риманом функций, представимых гипергеометрическим уравнением, пока­ завшего возможность аналитической трактовки решений в слу­ чае линейных однородных дифференциальных уравнений, состав­ ленных по известным правилам и рассматриваемых как линей­ ные комбинации некоторого семейства функций. Итак, в основе метода Фукса легко усмотреть сочетание обоих вышеупомянутых принципов, хотя сам Фукс указывает, что к своим исследовани­ ям он был подведен изучением сочинений Римана.

264

§2. Разложение интегралов

вобласти особых точек. Теория Фукса

Всочинениях [153.1.—2] Фукс рассматривает уравнение вида

находит необходимое и достаточное условие линейной независи­ мости системы частных решений у\, у2, ..., Ут (как неравенство кулю в любой регулярной точке известного определителя) и вво­ дит понятие фундаментальной системы. Задачу интегрирования уравнения (11.1) он рассматривает как исследование изменения интеграла в результате обхода около особой точки а. Итак, не­ который интеграл (11.1) можно записать в форме

и = С \ У \ + С 2У 2 + • • • + С щ У т ' ( ! 1 > 2 )

линейную независимость интегралов уі, Фукс получает систему

С1а 1т + С2«2т + • • • + Ст(“ші ~ ®) = °>

где (о есть корень уравнения

265

•корни этой системы характеризуют особую точку а уравнения, а не случайно выбранные интегралы.

Рассмотрев затем случай различных корней уравнения (11.6), он приходит к теореме, что каждой особой точке а принадлежит фундаментальная система ии и2, ..., ит, общий элемент которой перемножается со степенями х—а и в окрестности а будет одно­ значным. Иначе говоря

где k\, k‘2, ... km— некоторые конечные величины, a <pi, cp2, ... <pm — однозначные функции в окрестности а.

моздкого изложения, автор приходит к резюме, что принадлежа­ щие к фундаментальной системе группы интегралов ии и2, ..., и%

имеют вид

их= (х — а)гф„;

и2= (х — а)'ср21 + ( х — а)г<р,2 log (х —а);

................................................................................................................... ( 11.8)

и%= (* — а)г<¥и + ( х — a)r<р%2log (х —а) + + . . . + (х — а)г [log (х — а)]я_1,

где г обозначает одно из бесконечно многих в целых числах друг

ции ф — однозначны в окрестности х—а. Если л:=оо — особая

точка, то после подстановки x = - j в уравнение (11.1) рассмат­

ривается соответственная фундаментальная система для особой точки t = 0.

Вопрос о представлении членов фундаментального уравнения был затем предметом рассмотрения многих математиков, стре­ мившихся упростить их вид, особенно для случая кратных кор­ ней. Так, Гамбургер [169.1], опираясь на метод, предложенный Жорданом [186.1], разделял группу интегралов, принадлежащих кратному корню фуксова фундаментального уравнения в окрест­ ности особой точки, на подгруппы такого свойства, что элементы каждой такой подгруппы при обходе около особой точки пере­ ходят только в линейные однородные функции друг друга '. При этом устанавливалась связь числа подгрупп и числа элементов в каждой из них с теорией Вейерштрасса элементарных делите­ лей детерминантов [275.5]. Новый вывод теоремы Гамбургера

266

которую бралась и = 0, в случае равных корней фундаменталь­ ного уравнения был предложен Юргенсом в 1875 г.

Два новых вывода фуксова фундаментального уравнения дал Казорати в 1880 г. Существенный интерес представляло его следующее сообщение [120.3], где так же, как и в докладе Штикельбергера [261], совершенно разными путями развивается мысль Гамбургера о связи построения фундаментальной систе­ мы с теорией элементарных делителей. При этом были получены совпадающие результаты.

Распространение метода на системы линейных уравнений первого порядка осуществлено Соважем. В [253] он дал подроб­ ное изложение общей теории систем линейных однородных урав­ нений, следуя принципам Фукса с учетом последующих работ Фробениуса, Томё и особенно Горна.

Новый, более компактный вывод фундаментального уравне­ ния и дальнейшее развитие идей Гамбургера, Казорати и других находим в работах Шлезингера 1894 г., а чуть позже Гамбургер предложил еще один вариант вывода фундаментального урав­ нения. Все эти выводы имели в виду представление аналитиче­ ской формы решений в окрестности особой точки. В одной из последних работ [153.18], появившейся почти через 40 лет после первой по этой же тематике, Фукс предложил другой подход к представлению аналитической формы фундаментальной системы

все они сами становились корнями из единицы. Частные случаи затронутой здесь проблемы ранее рассматривались Пикаром [235.17] и более подробно Шлезингером [264.1, т. 2, ч. 2].

Дальнейший прогресс в изучаемом вопросе связан с построе­ нием аппарата матричного исчисления и, в частности, с работа­ ми Вольтерра [271.2,—4] и их отражением в курсах Шлезингера [254.8 и др.]. Результат соответственных исследований, относя­ щихся в целом к окрестности изолированной особой точки, где коэффициенты линейной дифференциальной системы однознач­

267

ны, следуя Шлезингеру, можно выразить следующим образом. Пусть для каждой линейной подстановки (Сік) устанавливается дифференциальная система вида

Интеграл-матрица (#.ft), которая при обходе около х — а испытывает подстановку (сік), представима затем в форме

(Уи) = (Л,*) (Ф

где фгл — однозначны в окрестности х = а, т. е. могут быть пред­ ставлены рядом Лорана. Таким образом, принципы идей Рима­ на и Фукса сохранили свое значение и в дальнейшем.

§ 3. Случай регулярной особой точки

Формулы вида (11.7) или (11.8) давали только лишь качест­ венную характеристику поведения интегралов в окрестности осо­

входящие в формулы (11.7) и (11.8), зависели от log т, то при надлежащем их выборе и при условии, что функции <р имели в точке а лишь полюсы, можно было добиться того, что эти функ­ ции ср в области точки а были бы голоморфны и отличны от нуля при х = а. Таким образом, случай, когда точка а для функций ф не являлась существенно особой, мог представить для всей тео­ рии особый интерес вследствие сравнительной простоты его изу­ чения. Это имело место тогда, когда ряды Лорана для функций Ф содержали только конечное число отрицательных степеней X—а. Решения, соответствующие этому случаю, Л. Томе [265.2] назвал регулярными, а особая точка соответственно дифферен­ циального уравнения в этом случае стала называться регуляр­ ной. Если же она была существенно особой хотя бы для одной из функций ф, то называлась иррегулярной особой точкой урав­ нения.

268

Исследованием случая регулярных решений и занялся преж­ де всего Фукс в первых указанных нами работах (1865—1868 гг.). При этом прямой путь выше рассмотренной теории оказался малоэффективным. Поэтому надо было найти хотя и менее об­ щий, но основательный способ для вычисления величин г* про­ стыми алгебраическими операциями из коэффициентов диффе­ ренциального уравнения, так же, как и определение коэффици­ ентов ряда Лорана рекуррентными формулами.

Как следует из только что изложенного, регулярные решения линейных уравнений обладали тем простым свойством, что, бу­ дучи умноженными на некоторую целую положительную степень X—а, становились целыми (конечными) и голоморфными в об­ ласти а. Очевидно, что таким свойством могло обладать не каж­ дое уравнение с рациональными коэффициентами вида (11.1). И первая задача, которую поставил себе Фукс, как раз состояла в определении свойств коэффициентов рі уравнений (11.1), ко­ торые обладали бы регулярными решениями. Но в процессе ее рассмотрения были решены и другие вышеуказанные вопросы.

где i|:=(*—öi) (x—CI2) ... (x—öp), отмечая, что для выполнения поставленных в задаче условий уравнение (11.1) должно иметь именно такую форму.

Как было показано впервые Фуксом, эта форма уравнения, где Pik являются аналитическими функциями в точке х = а%, есть необходимая и достаточная, чтобы линейное дифференциальное уравнение (11.1) обладало регулярным решением. Иначе говоря, коэффициенты уравнения (11.1) рь р% - . рт в точке х = сіі могут иметь соответственно полюсы только 1, 2, т-го порядка.

В первом доказательстве Фуксом этого положения имелся в виду случай исключительно регулярной особой точки, т. е. вы­ шеуказанная характеристика рі распространялась на всю плос­ кость. Через два года [153.2] он доказывает его в формулиров­

269