Числа степеней свободы и дисперсии определяются общим для двухфакторного дисперсионного анализа способом.
Рассмотрим схему двухфакторного дисперсионного анализа равномерного комплекса на следующем примере. При выбороч ном обследовании учащихся старших классов городских и сель ских школ были обнаружены различные аномалии зрения — ас тигматизм, близорукость и др., которые распределились следую щим образом (табл.120).
Т а б л и ц а 120
|
А j — мальчики |
А 2 — девочки |
|
|
Показатели |
городские |
сельские |
городские |
сел? ские |
Сумма |
|
В1 |
в 2 |
Ві |
j |
|
|
Обследовано |
25 |
25 |
25 |
25 |
N = |
100 |
Аномалии глаз |
3 |
2 |
8 |
2 |
1т = |
15 |
(т) |
|
|
|
|
|
|
т |
0 ,1 2 |
0 ,0 8 |
0 ,3 2 |
0 ,0 8 |
— |
|
|
|
т 2 |
9 |
4 |
64 |
4 |
— |
|
m2/rt |
0 ,3 6 |
0 ,1 6 |
2 ,5 6 |
0 ,1 6 |
т2 |
|
2 — = 3 , 2 4 |
|
|
|
|
|
п |
|
Судя по этим данным, доля выявленных аномалий выше у юно шей и девушек городских школ. Однако эти показатели, как ве личины случайные, колеблются и по ним еще нельзя сделать решающий вывод о генеральных параметрах, не подвергнув вы борочный комплекс дисперсионному анализу. Из табл. 120 видно,
что |
т 2 |
3,24. |
^ |
|
|
|
|
форму- |
2 т = 15 и 2 — = |
Подставив эти значения в |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
лы, находим суммы квадратов отклонений: |
|
|
|
* |
„ |
( 2 т ) 2 |
= |
|
152 |
!5 — 2,25 = |
12,75, |
общую — DY =■ 2 т -----—j f - |
15 — — = |
|
|
|
„ |
^ |
= |
т 2 |
( 2 т ) 2 |
3,24 —- |
|
по сочетанию градации — Dx |
2 -------------- — = |
|
|
|
|
|
|
п |
N |
|
|
|
|
- |
2,25 = |
0,99, |
|
|
|
|
остаточную — Dz = |
|
|
m2 |
|
11,76. |
|
2m — 2 — |
1 5 -3 ,2 4 = |
п
Для определения сумм квадратов отклонений по градациям факторов А и В сначала необходимо вычислить вспомогательные
|
( 2 т А)2 |
(2 тв ) 2 |
п |
|
|
. |
101 |
величины—2 - ------ — и 2 —------— |
. Расчет показан в табл. |
121 |
|
|
пА |
пв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
121 |
Градации |
пі |
Е т ■ |
.)3 |
(Em,.)* |
Я т . |
|
|
|
|
|
факторов |
|
|
|
пі |
|
- I |
|
|
|
|
|
|
|
|
А і |
50 |
5 |
25 |
|
0,5 |
|
0,10 |
|
Ä2 |
50 |
10 |
100 |
|
2,0 |
|
0,20 |
|
2 по А |
100 |
— |
— |
|
2 ( а д |
_ 2,5 |
— |
|
|
|
|
|
|
п а |
|
|
|
В і |
50 |
и |
121 |
|
2,45 |
0,22 |
|
в 2 |
50 |
4 |
16 |
|
0,32 |
0,08 |
|
2 по В |
100 |
— |
— |
|
(2#го)2 |
= '2,77 |
— |
|
|
2-------— |
|
|
|
|
|
|
п в |
|
|
|
Находим суммы квадратов отклонений по факторам А я В и |
их суммарного действия AB: |
|
|
|
|
|
|
|
(2 т Л)2 |
(2 т )‘ |
= 2,50 - 2,25 = 0,25, |
|
|
|
пА |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DB = 2 |
(2 тв ) 2 |
( 2 т ) 2 |
|
2,25 = |
0,52, |
|
|
|
------ '------ — = 2,77 - |
|
|
|
|
пв |
N |
|
|
|
|
|
DAB = DX - D A - D B = 0,99 - |
0,25 - 0,52 = |
0,22. |
|
Определяем числа степеней свободы: KY = N—1 = 100—1=99, |
Kx = ab—1=2X 2—1=3, |
Kz — N—ab = 100—4 = 96, |
КА = а—1 = |
=2 -1 = 1, Кв = Ь— 1=2—1 = 1 и /Сав = Яа Х/(в= 1Х1 = 1. Находим значения дисперсий:
2 |
0,99 |
|
2 |
11,76 |
■= , |
; |
(Зх |
- = |
0,33; |
Oz |
|
|
|
96 |
0 12 |
|
Р Г |
|
|
|
|
2 |
0,25 |
|
2 |
0,52 |
|
|
(За |
~ У = |
0,25; |
(Зв |
Г~ = 0,52 |
и |
|
2 |
0,22 |
|
|
|
|
ОAB — 1 |
= 0,22. |
|
|
|
|
|
|
|
Сводим |
полученные |
результаты |
в таблицу |
дисперсионного |
анализа (табл. 122). |
|
|
|
|
Таблица 122 |
|
|
|
Степени |
Сумма |
Средний |
|
|
'at |
Источники вариации |
|
|
|
свободы |
квадратов |
квадрат |
РФ |
Р = 0,05 |
Р = 0,01 |
|
|
|
|
отклонений |
(а2) |
По градациям фак |
3 |
0,99 |
0,33 |
2,8 |
2,7 |
4,0 |
торов ............................ |
По |
фактору |
А . . |
1 |
0,25 |
0,25 |
2,1 |
3,9 |
6,9 |
По |
фактору |
В . . |
1 |
0,52 |
0,52 |
4,3 |
3,9 |
6,9 |
Совместно AB . . |
1 |
0,22 |
0,22 |
1,8 |
3,9 |
6,9 |
Остаточная . . . . |
96 |
11,76 |
0,12 |
1 |
— |
— |
О б щ а я ..................... |
99 |
12,75 |
— |
— |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из табл. 122 видно, что с вероятностью Р = 0,95 нулевая гипо теза опровергается лишь в отношении фактора В и по взаимо действию градаций факторов. Следовательно, можно считать, что разница между учащимися городских и сельских школ по числу различных аномалий глаз не случайна. Однако сила влия ния указанных факторов весьма незначительна:
Г)В |
DB __ 0,52 |
Dx |
0,99 |
Dy ~~ 12J5 |
0,04, или 4%, и ц2х |
= 0,08. |
2 |
|
12,75 |
Ошибки репрезентативности этих показателей равняются:
тг)в = (1 — 0,04)-^ =0,01 и |
тпг■.= (1 — 0,08)-^- = |
0,03. |
|
|
U h |
|
* |
U h |
|
Критерии достоверности для |
|
|
|
Р = |
0,05:F0l == |
= |
4,0 > |
Fst = |
39(Ki = 1 и Кг = |
96) |
и |
= ТГпТ = |
2>7 = |
F« = |
2’7 № |
= 3 и Кг = 96), |
|
|
U.Uo |
|
|
|
|
|
откуда следует, что показатели силы влияния статистически до стоверны.
Двухфакторные неравномерные комплексы
Схема дисперсионного анализа двухфакторных неортогональ ных комплексов такая же, как и схема ортогональных двухфак торных комплексов. Но так как в неравномерных и непропорцио нальных комплексах не выполняется равенство DX —DA+DB+ + D ab, приходится, как это делалось выше, рассчитывать снача-
ла некорректированные суммы, квадратов D'x , D'A, D'B, D'ABr которые затем подвергаются исправлению на величину поправки e = Dx/D'x.
Схему дисперсионного анализа двухфакторного неравномер ного комплекса рассмотрим на следующем примере. Испытыва лось влияние чистопородного и смешанного (кролик + бык) эйя кулята на оплодотворяемость крольчих. Опыт проводился на двух разнопородных группах животных в разных вариантах. Ре зультаты опыта приводятся в табл. 123.
|
|
|
Т а б л и ц а 123- |
|
|
Количество ок )олов в группах |
Количество живчиков в объеме эйякулята |
Число |
|
|
осеменений |
первой |
второй |
|
|
5000 — к р о л и к а .................................. |
15 |
3 |
2 |
20 млн. — к р о л и ка ............................. |
9 |
7 |
8 |
5000 — кролик-)-100 млн. быка . . |
10 |
7 |
5 |
20 млн. — кролика + 200 млн.—быка |
11 |
7 |
6 |
Нужно выяснить эффективность оплодотворения животных раз ными дозами своей и смешанной спермы в зависимости от пород ных их свойств. Сгруппируем эти данные в таблицу дисперсион ного комплекса и рассчитаем вспомогательные значения, необхо димые для определения сумм квадратов отклонений (табл. 124)..
Т а б л и ц а 124
|
|
|
|
Аг |
|
|
|
А 2 |
|
|
|
Показатели |
Вг |
в 2 |
в 3 |
в 4 |
■В, |
в* |
в 3 |
В 4 |
Сумма |
|
|
|
|
п |
15 |
9 |
10 |
11 |
15 |
9 |
10 |
11 |
N = 90 |
|
т |
3 |
7 |
7 |
7 |
2 |
8 |
5 |
6 |
1т = 46 |
|
т 2 |
9 |
49 |
49 |
49 |
4 |
64 |
25 |
36 |
— |
|
т2 |
0,60 |
5,44 |
4,90 |
4,45 |
0,27 |
7,11 |
2,50 |
3,27 |
28,54 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
0,20 |
0,78 |
0,70 |
0,64 |
0,13 |
0,90 |
0,50 |
0,55 |
4,4 |
|
|
|
р 2 |
0,04 |
0,61 |
0,49 |
0,41 |
0,02 |
0,81 |
0,25 |
0,30 |
2,93 |
В табл. 124 через А обозначены градации по породным группам
крольчих, а через |
В — градации доз |
оплодотворяющей части |
эйякулята. Число |
градаций А : а = 2, |
число градаций В— Ь = 4. |
Определяем суммы квадратов отклонений:
„ |
(2m )2 |
|
462 |
|
общую — DY = |
2m — ■ |
= |
46 — — |
= 46 — 23,51 = 22,5, |
по сочетанию градации — Dx = |
m2 |
(2m )2 |
28,54 — |
2 --------- ------—= |
|
|
|
|
n |
N |
|
|
-2 |
3,51 |
= |
5,03, |
|
|
остаточную — Dz = |
Dy — DJC = |
22,5 — 5,0 = |
17,5. |
Далее необходимо определить неисправленные суммы квад ратов D'x, D ' A ,D'b, и D ' A B , а затем, найдя величину поправочно го коэффициента, исправить их, как это делалось выше. Неис правленные суммы квадратов отклонений для качественных при знаков определяются по следующим рабочим формулам:
DJ = |
42abр2 |
-X 2); |
£>1 = ^ ( 2x1 |
|
|
|
D , |
|
|
|
где N — общее число наблюдений или объем комплекса;/? = — ; |
|
|
|
|
|
п |
•а—■число градаций фактора А; |
b — число градаций |
фактора В; |
2 р |
2 Ра |
|
2 рв |
|
X = —-; х а — |
— — и |
хв = —— — средние из сумм долей по |
ab |
Ь |
|
а |
|
|
градациям фактора А |
и |
фактора В. Так, в данном |
случае, как |
это видно из табл. 124, 2р = 4,4; |
2р2 = 2,93; а —2 и 6 = 4, откуда |
средняя арифметическая из суммы долей, рассчитанных по гра-
|
|
4 |
4 |
Q |
I |
дациям факторов А я В, равняется: |
■ ________ - ...- |
2 X 4 |
’ |
|
== (0,55)2 = |
0,30. |
|
|
|
|
Рассчитываем частные средние по факторам А и В отдельно |
(табл. 125). |
рл, =2,32, находящаяся |
вверху |
третьего |
столбца |
Величина |
171
табл. 125, получена следующим образом: значения р = — по
п
градации |
А\ суммируются, в итоге |
получается |
величина |
|
т |
(см. табл. |
124). |
2рА| = 2 _.=0,20 + 0,78 + 0,70 + 0,64 = 2,32 |
' |
п |
|
|
И так поступаем дальше, определяя значения этой колонки табл. 125.
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 125 |
|
|
Число |
|
|
|
-2 |
Градации факторов |
градаций |
Ър |
/ |
' |
хі |
Ах |
6 = 4 |
2,32 |
|
0,58 |
0,3364 |
а |
2 |
6= 4 |
2,08 |
0,52 |
0,2704 |
1 по А |
— |
— |
|
— |
И х \ = 0 ,6 1 |
Вх |
а = 2 |
0,33 |
|
0,165 |
0,0272 |
в |
2 |
а ~ 2 |
1,68 |
0,840 |
0,7056 |
в 3 |
а ~ 2 |
1,20 |
|
0,600 |
0,3600 |
в 4 |
а = 2 |
1,19 |
|
0,595 |
0,3540 |
2 по В |
— |
— |
|
— |
lP B = 1,45 |
Рассчитав вспомогательные величины, находим неисправлен ные суммы квадратов отклонений по факторам А и В и их взаи модействию AB:
D'A = N ( ^ ~ |
— X 2) = |
90 |
- |
0,30) = 0,45, |
D'B = ^ |
— X2 ) = 90 |
— |
0,30 ) = |
5,45, |
Dx = N |
- X2 ) = |
90 ( |
- |
0,30 ) = |
6,30, |
D'AB = DX — D'A — DB = 6,30 - 0,45 - 5,40 = |
0,45. |
|
Находим величину поправочного коэффициента: е — |
5,03 |
0,8. |
|
6,30 |
|
Исправляем факториальные суммы квадратов отклонений:
DA = 0,45X0,8=0,36; DB = 5,45X0,8 = 4,36; |
D A B = 0,45X 0,8 = 0,36. |
Определяем числа степеней свободы: |
^СУ = 90—1=89, |
Кх — аЬ— |
—1=2X 4—1=7, |
Кг = N— ab = |
90—8= 82, |
Кл = а— 1=2—1 = 1, |
Кв = Ь— 1 = 4 —1 = 3 и К а в — Ка X Кв —1 Х3 = 3. Наконец, |
находим |
средние квадраты отклонений (дисперсии): |
|
|
2 |
6 ,3 0 |
0,90; |
2 |
0,36 |
0,36; |
|
GX — — ~— |
ал |
: —-— |
|
|
|
|
|
|
2 |
4,36 |
|
2 |
0,36 |
|
|
|
|
а в ~ |
|
3 = 1,45; |
ОA B = |
~1Г = 0,12 |
и |
|
|
|
|
|
2 |
17,5 |
0,21. |
|
|
|
|
|
|
|
Oz |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ W |
|
|
|
|
Сводим полученные результаты |
в таблицу |
дисперсионного |
ана |
лиза |
(табл. |
126). |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 126 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Степени |
Сумма |
Средний |
|
Fst |
|
Источники вариации |
РФ |
|
|
свободы |
квадратов |
квадрат |
Р - 0,05 Р = 0,01 |
|
|
|
|
|
отклонений |
(°2) |
|
По градациям |
фак- |
7 |
6,30 |
0,90 |
4,3 |
2,1 |
2,9 |
торов ............................ |
По |
фактору А . . . |
1 |
0,36 |
0,36 |
1.7 |
4,7 |
7,0 |
По |
фактору |
В . . . |
3 |
4,36 |
1,45 |
6,9 |
2,7 |
4,4 |
Совместно |
AB . . |
3 |
0,36 |
0,12 |
1,0 |
|
|
Остаточная . . . . |
82 |
17,50 |
0,21 |
1 |
— |
— |
О б щ а я ..................... |
89 |
22,50 |
— |
— |
|
— |
Нулевая гипотеза опровергается с вероятностью Р = 0,99 в отно шении фактора В (дозы эйякулята) и по сочетанию градаций факторов А и В. Что касается породных свойств животных, то их влияние на оплодотворяемость крольчих не проявилось; оплодотворяемость зависит от дозы эйякулята, а не от смеси живчиков представителей различных пород.
Определим силу влияния контролируемых факторов:
' |
2 DB |
4,36 |
= |
0,19, или |
19%, |
|
Цв = — |
— —— |
|
J U |
y |
2 2 , О |
|
|
|
И |
Цх = |
Uy |
= - Щ - = |
0,28, или |
28 %. |
|
|
2 2 |
,о |
|
|
Ошибки репрезентативности этих показателей равняются:
^ = |
( 1 |
- ^ ) ^ |
2 = |
( 1 - 0 Д 9 ) | = |
0,81 Х З |
0,03, |
|
|
|
|
|
|
82 |
«V* = |
( 1 - |
4 x ) ^ z = |
(1 - |
0,28)-^ = |
0,72 X 7 |
0,06. |
|
|
|
|
|
|
82 |
Критерии достоверности: |
|
|
|
F, в |
0,19 |
= |
6,0 и |
|
0,28 |
ÖÖ3 |
X |
0Д)6 = 4,7. |
По табл. VII приложения для Кі=3 и Кг = 82 находим Fst = 4,0 и для Д'і = 7 и Дг = 82—Fst = 2,9. Поскольку в обоих случаях F^>Fst, в достоверности найденных показателей сомневаться не прихо дится.
Мы рассмотрели основные принципиальные схемы дисперси онного анализа однофакторных и двухфакторных комплексов количественных и качественных признаков. В общем по таким же схемам проводится дисперсионный анализ и более сложных комплексов. Разумеется, что для их статистической обработки требуется большая вычислительная работа. Описание других комплесков не входило в нашу задачу. Более полные сведения по этому вопросу читатель может найти в специальных руководст вах (см. список литературы).
ПРИЛОЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
Т а б л и ц а I
Значения интеграла вероятностей для разных значений t
Сотые доли t
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,0 |
0000 |
0080 |
0160 |
0239 |
0319 |
0399 |
0478 |
0558 |
0638 |
0717 |
0,1 |
0797 |
0876 |
0955 |
1034 |
1114 |
1192 |
1271 |
1350 |
1428 |
1507 |
0,2 |
1585 |
1663 |
1741 |
1819 |
1897 |
1974 |
2051 |
2128 |
2205 |
2282 |
0,3 |
2358 |
2434 |
2510 |
2586 |
2661 |
2737 |
2812 |
2886 |
2961 |
3035 |
0,4 |
3108 |
3182 |
3255 |
3328 |
3401 |
3473 |
3545 |
3616 |
3688 |
3759 |
0,5 |
3829 |
3899 |
3969 |
4039 |
4108 |
4177 |
4245 |
4313 |
4381 |
4443 |
0,6 |
4515 |
4581 |
4647 |
4713 |
4778 |
4843 |
4907 |
4971 |
5035 |
5098 |
0,7 |
5161 |
5223 |
5285 |
5346 |
5407 |
5467 |
5527 |
5587 |
5646 |
5705 |
0,8 |
5763 |
5821 |
5878 |
5935 |
5991 |
6047 |
6102 |
6157 |
6211 |
6265 |
0,9 |
6319 |
6372 |
6424 |
6476 |
6528 |
6579 |
6629 |
6679 |
6729 |
6778 |
1,0 |
6827 |
6875 |
6923 |
6970 |
7017 |
7063 |
7109 |
7154 |
7199 |
7248 |
1,1 |
7287 |
7330 |
7373 |
7415 |
7457 |
7499 |
7540 |
7680 |
7620 |
7660 |
1,2 |
7699 |
7737 |
7775 |
7813 |
7850 |
7887 |
7923 |
7959 |
7995 |
8030 |
1,3 |
8064 |
8098 |
8182 |
8165 |
8198 |
8230 |
8262 |
8293 |
8324 |
8355 |
1,4 |
8385 |
8415 |
8444 |
8473 |
8501 |
8529 |
8557 |
8584 |
8611 |
8638 |
1,5 |
8664 |
8690 |
8715 |
8740 |
8764 |
8788 |
8812 |
8836 |
8859 |
8882 |
1,6 |
8904 |
8926 |
8948 |
8969 |
8990 |
9011 |
9031 |
9051 |
9070 |
9089 |
1,7 |
9108 |
9127 |
9146 |
9164 |
9182 |
9199 |
9216 |
9233 |
9549 |
9265 |
1,8 |
9281 |
9297 |
9312 |
9327 |
9342 |
9357 |
9371 |
9385 |
9399 |
9412 |
1.9 |
9425 |
9437 |
9451 |
9464 |
9476 |
9488 |
9500 |
9512 |
9523 |
9534 |
2,0 |
9545 |
9556 |
9566 |
9576 |
9586 |
9596 |
9608 |
9615 |
9625 |
9634 |
2,1 |
9643 |
9652 |
9660 |
9668 |
9676 |
9684 |
9692 |
9700 |
9707 |
9715 |
2,2 |
9722 |
9729 |
9736 |
9743 |
9749 |
9755 |
9762 |
9768 |
9774 |
9780 |
2,3 |
9786 |
9791 |
9797 |
9802 |
9807 |
9812 |
9817 |
9822 |
9827 |
9832 |
2,4 |
9836 |
9840 |
9845 |
9849 |
9853 |
9857 |
9861 |
9866 |
9869 |
9872 |
2,5 |
9876 |
9879 |
9883 |
9886 |
9889 |
9892 |
9895 |
9898 |
9901 |
9904 |
2,6 |
9907 |
9909 |
9912 |
9915 |
9917 |
9920 |
9922 |
9924 |
9926 |
9929 |
2,7 |
9931 |
9933 |
9935 |
9937 |
9S39 |
9940 |
9942 |
9944 |
9946 |
9947 |
2,8 |
9949 |
9950 |
9952 |
9953 |
9955 |
9956 |
9958 |
9959 |
9960 |
9961 |
2,9 |
9963 |
9964 |
9965 |
9966 |
9967 |
9968 |
9969 |
9970 |
9971 |
9972 |
3,0 |
9973 |
9974 |
9975 |
9976 |
9976 |
9977 |
9978 |
9979 |
9979 |
9980 |
3,1 |
9981 |
9981 |
9982 |
9983 |
9983 |
9984 |
9984 |
9985 |
9985 |
9986 |
3,2 |
9986 |
9987 |
9987 |
9988 |
9988 |
9988 |
9989 |
9989 |
9990 |
9990 |
3,3 |
9990 |
|
9991 |
|
9992 |
|
9992 |
|
9993 |
|
3,4 |
9993 |
|
9994 |
|
9994 |
|
9995 |
|
9995 |
9997 |
3,5 |
9995 |
|
9996 |
|
9996 |
|
9996 |
|
9997 |
|
П р и м е ч а н и е . |
Значения вероятности Рданы числами после запятой. |
