книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

определяют по обычным рабочим формулам:

Dz — Dy — Dx.

3. Неисправленные факториальные суммы квадратов откло­ нений рассчитываются по следующим рабочим формулам:

2ж • Расшифровка формул: х АВ = — - — средняя из суммы вариант,

Пі

заключенных в отдельных клетках дисперсионной таблицы;

жают их на величину поправки e= DxlD'x и получают исправлен­ ные суммы квадратов отклонений, для которых сохраняется ра­ венство

Dx — DA -f- DB 4~ Dab.

5. Наконец устанавливают числа степеней свободы, рассчи­ тывают дисперсии и заканчивают анализ по обычной схеме двух­ факторного дисперсионного комплекса.

Применим эту схему к соответствующему примеру. Прове­ рялась эффективность новой методики обучения в младших и старших классах общеобразовательной школы. Знания учащихся оценивались в баллах. Количество набранных баллов подсчиты­ валось в начале, в середине и в конце учебной четверти отдельно по каждому классу. Результаты эксперимента оказались следую­ щие (табл. 111).

297

Т а б л и ц а 111

Необходимо выяснить, существует ли зависимость между ис­ пытываемым методом и возрастными особенностями учащихся, влияет ли на эту связь физическое состояние детей, которое пред­ полагается неодинаковым, меняющимся на протяжении учебной четверти. Судя по средним показателям, такая связь не исключа­ ется. Однако выборочные средние — величины случайные; суще­ ствуют ли достоверные различия между их генеральными пара­ метрами, поможет установить дисперсионный анализ.

Обозначим через А успеваемость учащихся на протяжении учебной четверти, а через В — успеваемость в разных классах. Из табл. 111 видно, что фактор А имеет три градации, т. е. а —3, а фактор В — две градации, т. е. 6 = 2. Общее число вариант сос­

Чтобы определить сумму квадратов отклонений по градациям факторов А и В, т. е. Dx , необходимо сначала рассчитать вспомо-

„ (2*і) 2

гательную величину 2 ------ —. Для этого просуммируем вари-

т

анты каждой клетки табл. 111 и затем результаты возведем а квадрат:

298

Относя эти величины к числу вариант, находящихся в каждой клетке табл. 111 и суммируя результаты, получаем искомую ве­ личину:

= 128—31,2 = 96,8.

Переходим к расчету факториальных (неисправленных) сумм квадратов отклонений. Сначала найдем ИхAB, которая равна ■сумме всех частных средних, полученных для каждой клетки дис­

Чтобы определить значения D'A и D'B, нужно сначала найти вели­ чины частных средних по градациям факторов А и В. По факто­ ру В они уже определены ів табл. 111 (см. нижнюю строку), имен-

299

300

(ZhB ) 2

DB = a

+ 22,99 = 31,2. Вычисления проведены совершенно точно.

Прежде чем перейти к установлению степеней свободы и оп­ ределению дисперсий, сведем проделанные расчеты в таблицу для того, чтобы показать более удобную форму расчета вспомо­ гательных величин, необходимых для определения сумм квадра­ тов отклонений (табл. 112).

301

По обоим факторам и их взаимодействию что не по­ зволяет отвергнуть нулевую гипотезу. Приходится констатиро­ вать, что1независимое и совместное влияние факторов (возраста и физического состояния учащихся) на результативный признак (успеваемость учащихся) оказывается статистически недосто­ верным. Следовательно, оценить эффективность нового метода обучения можно независимо от влияния этих факторов на успе­ ваемость учащихся. Для этого необходимо сравнить результаты испытания разных методов обучения.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ ПРИЗНАКОВ

Дисперсионный анализ качественных признаков проводится по тем же схемам, которые применяются и в отношении количе­ ственных признаков. Разница заключается лишь в том, что коли­ чественные признаки характеризуются средними показателями — общей и частными средними арифметическими, тогда как качест­ венные признаки выражаются долями (т. е. относительными частотами) или в процентах от общего числа наблюдений. Как и комплексы, организуемые по количественным признакам, диспер­ сионные комплексы качественных признаков состоят из отдельных градаций, число которых может быть различным, различными бывают и числа вариант в отдельных градациях комплекса. По­ этому, как и в отношении количественных признаков, дисперси­ онные комплексы качественных признаков могут быть не только ортогональными, т. е. равномерными и пропорциональными, но и неортогональными. Как те, так и другие делятся на однофактор­ ные и многофакторные комплексы.

Однофакторные комплексы

Дисперсионный анализ однофакторных комплексов качествен­ ных признаков проводится в общем по той же схеме, которая бы­ ла описана выше применительно к анализу однофакторных комп­ лексов количественных признаков. Рабочие формулы для определения степеней свободы и расчета сумм квадратов откло­

результативный признак — относительной частотой или в процен­ тах от общего числа наблюдений, приводятся в следующей свод­

пп

сумму квадратов отклонений можно выразить следующей фор­ мулой:

302

Здесь т — число вариант, обладающих данным признаком;

т

р = ——'Относительная частота или доля вариант, имеющих дан-

п

ный признак; р% — доля вариант данного признака, выраженная

Рассмотрим следующий пример. В связи с миксовирусной инфекцией у детей измерялся уровень эритроцитарных аутоанти­ тел. Данные, характеризующие изменчивость уровня Г-агглюти- нина в зависимости от возраста детей, сведены в табл. 115. Нужно установить, достоверны или случайны различия, наблю­ даемые между здоровыми детьми и реконвалесцентами по титру Т-антител.

Т а б л и ц а 115

Чтобы определить суммы квадратов отклонений, необходимо

т. 2

сначала рассчитать вспомогательные величины Em и — . Рае-

гг

чет показан в табл. 116.

зоз

Т а б л и ц а 1 1 6

влияния миксовирусной инфекции на уровень 7’-агглютинина ока-

304

и Р = 0,05 в табл. VII приложений находим Fst = 2,3. Итак, с ве­ роятностью Р = 0,95 можно утверждать, что разница между здорОЕыми детьми и реконвалесцентами по титру Г-антител досто­ верна, хотя сила влияния инфекции не очень велика.

Возьмем другой пример. По данным Г. А. Скворцовой (1956), двигательная активность синиц разных видов характеризуется следующими показателями (табл. 117).

Необходимо оценить достоверность различий, наблюдаемых в двигательной активности у синиц, принадлежащих к разным сис­ тематическим видам. Для этого выразим видовые показатели в процентах от общей суммы прыжков (14 083) и подвергнем эти данные дисперсионному анализу. Как и в предыдущих случаях,

предварительно рассчитаем величины (р°/о)2 и 2 (2о%, )2 не­

обходимые для определения сумм квадратов отклонений. Расчет показан в табл. 118.

305

Сводим полученные данные в таблицу дисперсионного анали­ за (табл. 119).

Так как Тф> F st, нулевая гипотеза отвергается: разница в двигательной активности синиц оказывается статистически досто­ верной. Однако сила влияния видовой принадлежности синиц на их двигательную активность весьма мала, она выражается пока­ зателем:

Двухфакторные равномерные комплексы

Обработка двухфакторных ортогональных комплексов качест­ венных признаков осуществляется по той же схеме, которая при­ меняется при дисперсионном анализе двухфакторных равномер­ ных и пропорциональных комплексов количественных признаков. Суммы квадратов отклонений вычисляются по следующим рабо­ чим формулам:

действия AB—DAB— DX—DA—DB.

306