книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

Персии, о которых говорилось выше (см. четвертую и пятую гла­ вы). Опираясь па эти свойства, дробные и многозначные числа можно переобразовать в числа немногозначные следующим об­ разом:

1. Каждую варианту комплекса уменьшить на одно и то же произвольно взятое число А. Обычно берется число, близкое к величине минимальной варианты комплекса.

2. Каждую варианту комплекса можно разделить на одно и то же подходящее число К, например, на 10, 100 и т. д.

3.Каждую варианту комплекса можно умножить на одно и то же положительное число К, что позволит избавиться от дро­ бей. Например, умножая числа 0,11, 0,16,' 0,31 на К = 100, полу­ чаем целые числа 11, 16, 31, с которыми удобней оперировать, проводя дисперсионный анализ.

4.Возможны и двойные преобразования многозначных и

дробных чисел, что достигается делением или умножением раз­ ности X—А на другое, произвольно взятое одно и то же число К.

Так как преобразование исходных чисел сказывается на ко­ нечных результатах дисперсионного анализа, суммы квадратов отклонений и среднеарифметическую комплекса приходится ис­ правлять. Как это делать и в каких случаях какие исправления вносить в указанные величины, показывает следующая сводка (табл. 95).

дисперсии (а2) и другие показатели, кроме средней (х), не нужно. Продемонстрируем способы упрощения дробных чисел на при­ мере испытания различных доз минеральных удобрений, вноси­ мых под посевы озимой ржи, который рассматривался выше (см. табл. 92). Минимальная варианта этого комплекса равна 7,5. Уменьшим каждую варианту выборки на А = 7. Получим следую­ щие значения: 8,0—7=1,0; 8,2—7 = 1,2; 11,0—7= 4,0 и т. д. Что­ бы освободиться от дробей, умножим полученные числа на К — = 10. В результате получим двухзначные числа: 10, 12, 40 и т. д., на них и рассчитаем вспомогательные значения, нужные для оп­ ределения сумм квадратов отклонений. Расчет показан в табл. 96.

277

Т а б л и ц а 96

Градации фактора А (дозы удобрений)

Находим суммы квадратов отклонений, уменьшая конечный результат в К2 раз, т. е. делим его на 100, поскольку варианты увеличивались в 10 раз:

Сравнивая полученные результаты с теми, которые были по­ лучены раньше, убеждаемся в полном их совпадении. Дальней­ шие расчеты отпадают, так как они проделаны выше.

Рассмотрим следующий пример. На одной из опытных стан­ ций испытывалась урожайность шести местных сортов пшеницы. Опыт проводился в четырехкратной повторности по каждому сорту. Результаты оказались следующие (табл. 97).

278

Данные, приведенные в табл. 97, показывают, что сорта по-раз­ ному реагируют на одинаковые условия выращивания. Подверг­ нем эти данные дисперсионному анализу, а предварительно пре­ образуем многозначные числа следующим образом. Минималь­ ная варианта комплекса равна 23,0. Уменьшим каждую варианту на Л =22, а затем уменьшим результаты на /С = 10, что освободит от дробей. Преобразованные таким способом значения признака

279

Рассчитываем суммы квадратов отклонений:

межгрупповой дисперсии — Кх — а — 1 = 6 — 1 = 5 , внутригрупповой дисперсии — Kz = N — а = 24 — 6 = 18.

Находим величины дисперсий и сводим результаты дисперсион­ ного анализа в итоговую таблицу (табл. 99).

Т а б л и ц а 99

Поскольку F$>Fst д л я первого и второго уровней значимости, нулевая гипотеза отвергается с вероятностью Р = 0,99; разница между сортами по их урожайности в вышей степени достоверна.

Сравнение средних показателей дисперсионного комплекса

Дисперсионный анализ сразу охватывает весь комплекс на­ блюдений и позволяет оценить достоверность или случайность различий, наблюдаемых между групповыми средними, в этом за­ ключается его преимущество перед так называемым дробным методом анализа выборочных данных, когда достоверность раз­ ницы оценивается между отдельно взятыми парами средних по­ казателей. В то же время рассмотренные схемы дисперсионного анализа не дают представления о конкретных средних показате­ лях, о достоверном преимуществе одного или нескольких из них. Поэтому в завершение дисперсионного анализа исследователь,

280

когда этого требует опыт, должен оценить достоверность разли­ чий, наблюдаемых между средними арифметическими дисперси­ онного комплекса. Это можно сделать с помощью критериев Фишера (F) или Стьюдента (/), рассмотренных в предыдущих главах. Для оценки разности между двумя средними х\—х 2 = D в дисперсионном комплексе критерий Фишера определяется по следующей формуле:

где oz2— остаточная дисперсия. При одинаковых числах вариант в градациях комплекса, в сравниваемых группах, т. е. при п\ — = п2, эта формула упрощается:

Z

Числа степеней свободы равны: Кі = \ и Ki = Kz\ причем Кі берет­

Находим разность между групповыми (сортовыми), средними и общей средней всего комплекса:

Бросается в глаза большая прибавка урожая по сравнению с об­ щей средней пятого сорта. Определим достоверность этой раз­ ности. Имеем: хі = 32,2—х —27,5 —4,7 ціга, откуда Д2 = 4,72 = 22,1, оу2 = 4,4 ціга. Так как в группах комплекса содержится одинако­ вое количество вариант (п = 4), критерий Фишера рассчитаем по второй формуле:

22,1

По табл. VII для /Сі = 1 и К2 = Кг= 18 и Р = 0,01 находим Fst — = 8,3. Видно, что F<fr>Fst, следовательно, нулевая гипотеза не со­ храняется; пятый сорт достоверно превосходит по урожайности средний урожай по всем шести испытанным сортам этой куль­ туры.

Оценим ту же разность по критерию Стьюдента, который, как известно, определяется отношением разности к ее средней ошибке и оценивается по таблице Стьюдента (табл. V приложений) по числу степеней свободы К = Кг—1 и принятому уровню значимо­ сти (Р). Применительно к дисперсионному комплексу средняя ошибка разности между средними арифметическими определяет­ ся по формуле

где т~ — выборочная ошибка частной средней (ж»), определив-

XI

мая по формуле

Если число наблюдений в отдельных группах комплекса не­ одинаковое, выборочная ошибка разности между средними опре­ деляется по следующей формуле:

ГПг>= Ох

где о / —- остаточная дисперсия, а /іі и п2— количества вариант в сравниваемых группах.

Применительно к рассматриваемому примеру выборочная ошибка групповых средних по урожайности разных сортов пше­ ницы равняется:

Ошибка разности между средней урожайностью пятого сорта и общей урожайностью испытанных шести сортов пшеницы (D — = 4,7 ц/га) определяется следующим образом:

mD = ф2 X 1Л = У2,2 = 1,5 ц/га.

Критерий Стьюдента t = —— = 3,1. По табл. V приложений для

К=Кг—1 = 18—1 = 17 и Р = 0,01 находим tst = 2,9. В данном слу­ чае £ф>4<, что опровергает нулевую гипотезу и дает основание подтвердить ранее сделанный вывод о достоверном преимущест­ ве пятого сорта по сравнению со средней урожайностью по шести испытанным сортам пшеницы.

282

Равномерные комплексы при наличии малых групп

Дисперсионный анализ двухфакторных равномерных комп­ лексов, состоящих из сравнительно небольших групп, проводит­ ся примерно по следующей схеме.

1.Все варианты дисперсионного комплекса суммируют. Най­ денную сумму возводят в квадрат и относят к общему числу на­ блюдений.

2.Затем каждую варианту комплекса возводят в квадрат и находят сумму квадратов (Их2).

3.Далее переходят к расчету сумм квадратов отклонений. Их можно рассчитать по следующим рабочим формулам (в на­ шей символике):

(Их)2

общая для всего комплекса — DY = Их2 — -— ; межгруп-

N

& х ) 2

по взаимодействию факторов AB — DAB = Dx —

N’

—DA — DB.

Здесь X — отдельные варианты дисперсионного комплекса; Ихі — сумма вариант по градациям комплекса; ИхА — сумма ва­ риант по фактору А; Ихв — сумма вариант по фактору В; пА — число вариант по фактору Л; пв — число вариант по фактору В; П{ — число вариант в отдельных клетках таблицы; N — общее число вариант, составляющих дисперсионный комплекс.

4. Определив суммы квадратов, устанавливают степени сво­ боды, которые равны:

для общей дисперсия — kY= N—1, дисперсии по фактору Л — кА= а—1, дисперсии по фактору В — kB = b—1, по взаимодейст­ вию факторов AB — kAB= (а—1) (Ь—1) = &а Х&в, остаточной или

285

и остаточная, отражающая действие на результативный признак

лице Фишера (табл. VII приложений) для соответствующих сте­ пеней свободы и принятого уровня значимости.

7. Завершив первую часть анализа, определяют силу влияния факторов на результативный признак и делают соответствующие выводы.

Рассмотрим конкретный пример. На четырех породных груп­ пах одновозрастных коров изучалось влияние микроэлементов на жирность молока. Испытывались три препарата, каждое испыта­ ние имело трехкратную повторность. Результаты опыта оказа­ лись следующие (табл. 100).

Из табл. 100 видно, что средние арифметические породных групп неодинаковы: они варьируют от 2,6 до 3,9% жира в молоке. Нужно выяснить, случайны или достоверны различия между ни­ ми, т. е. оказывают ли влияние на жирномолочность породные свойства животных. Вместе с тем необходимо установить, оказы­ вают ли влияние на результативный признак (жирномолочность) различные препараты микроэлементов и как это влияние увязы­ вается с породной принадлежностью коров.

Обозначим через Л-фактор «микроэлементы», а через В — группы коров по породности и подвергнем результаты опыта дис-

286