книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

производится по критерию Фишера (F), который для фактиче­ ских данных берется как отношение факториальной дисперсии к дисперсии остаточной и затем оценивается по таблице Фишера для соответствующих степеней свободы k\ и /гг и принятого уров­ ня значимости Д = 0,05 или Я = 0,01. Нулевая гипотеза, т. е. предположение об отсутствии влияния организованного фактора на результативный признак, отвергается при условии, если фак­ тическое значение критерия Fф окажется равным или превысит его критическое значение, указанное в таблице . Фишера (табл. VII приложений). Это означает, что влияние организован­ ного фактора на результативный признак не случайно: оно обус­ ловлено различиями генеральных параметров по градациям дисперсионного комплекса. Если же ЯфСЕД, нулевая гипотеза сохраняется, и наблюдаемые между групповыми средними рас­ хождения признаются статистически недостоверными. Напом­ ним, что статистическая недостоверность фактически наблюдае­ мой разницы между средними показателями еще не служит окончательным доказательством того, что эта разница не имеет места и между генеральными параметрами комплекса. Возмож­ ность такой разности остается, и статистическая недостоверность выборочных различий оставляет этот вопрос открытым.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ОДНОФАКТОРНЫХ КОМПЛЕКСОВ МАЛЫХ ГРУПП

Однофакторным называется комплекс, в котором учитывает­ ся действие на признак только одного организованного факто­ ра Л. Однофакторные комплексы могут состоять из малочислен­ ных и больших групп, в градациях которых возможно равное и неравное количество вариант.

Дисперсионный анализ однофакторных комплексов, состоя­ щих из небольшого числа групп, проводится по следующей при­ мерной схеме:

1. Сгруппировав выборочный материал в комбинативную та­ блицу, находят средние величины: среднюю арифметическую все­ го комплекса, называемую общей средней (х), и частные или групповые средние (хг-) — по градациям фактора А.

2. Затем определяют общую сумму квадратов отклонений (Dy), равную сумме квадратов отклонений вариант от общей средней данного комплекса, т. е.

Dy — Е (Хі — х )2.

3. Далее вычисляют межгрупповую сумму квадратов (Де), равную сумме квадратов отклонений групповых средних от об­ щей средней, с учетом статистического веса (п) групповых сред­ них. При одинаковом числе вариант в градациях комплекса этот показатель рассчитывается по формуле

Dx = пЪ (хі — х )2.

267

А при разных числах вариант в градациях комплекса по следую­ щей формуле:

Dx = 2>[пі(хі — х )2].

4.Наконец, находят внутригрупповую сумму квадратов {Dz),

т.е. сумму квадратов отклонений вариант от групповых средних:

D z — 22 ( х і — X i )2.

Техника расчетов сумм квадратов отклонений упрощается, если использовать следующие рабочие формулы:

(2xQ2

Dz = 2х2 - 2

пА

Здесь X — варианты, входящие в состав дисперсионного комплек­ са; Хі — варианты, входящие в состав отдельных градаций или групп данного дисперсионного комплекса; х — общая средняя арифметическая; х А и х»— групповые или частные средние ариф­ метические; N — общее число вариант в данном дисперсионном комплексе; пА и гц — числа вариант по градациям и в группах комплекса.

Так как в дисперсионном анализе осуществляется равенство

DY = Dx + Dz,

внутригрупповая сумма квадратов отклонений определяется по разности

Dz = Dy — Dx.

5. Определив суммы квадратов отклонений, устанавливают

—N — а, где а — число градаций фактора А.

6.Отнесением сумм квадратов отклонений к соответствую­ щим числам степеней свободы определяются величины средних квадратов отклонений или дисперсий:

268

Так как межгрупповая дисперсия характеризует действие контролируемых факторов на результативный признак, ее назы­ вают факториальной дисперсией. Дисперсию же внутригрупповую характеризующую варьирование результативного признака под влиянием неконтролируемых факторов, принято называть оста­ точной, или случайной, дисперсией'. Внутригрупповое варьиро­

г

8. Заключительным этапом дисперсионного анализа является сравнение фактической величины критерия F<p с его стандартным значением по таблице Фишера (см. приложения табл. VII) для принятого уровня значимости (Р) и данных чисел степеней сво­ боды ( К х и K z ) - Обычно результаты расчетов сводятся в заклю­ чительную таблицу дисперсионного анализа (см. ниже).

Технику дисперсионного анализа легче усвоить из соответст­ вующих примеров. Возьмем следующий простой пример. Изуча­ лось влияние различных способов внесения в почву органических удобрений на урожай зеленой массы кукурузы. Опыт проводился на десятиметровых делянках пришкольного участка в трех вари­ антах, не считая контроля. Каждый вариант опыта имел трех­ кратную повторность. Результаты испытаний оказались следую­ щие (табл.89).

Т а б л и ц а 89

1 Напоминаем, что в некоторых руководствах под дисперсией понимается сумма квадратов отклонений, а средний квадрат этой суммы называется вариансой.

269

Подвергнем эти данные дисперсионному анализу. Сначала найдем сумму всех двенадцати вариант, составляющих этот

...+(27,0)2 ==8752,88. Далее возводим в квадрат групповые сред­ ние и находим сумму их квадратов: Етг-2 = (26,80)2+ (24,73)2 + + (27,73)2+ (28,07)2 = 2886,85.

Проделав эти предварительные расчеты, переходим к опреде­ лению сумм квадратов отклонений. Находим общую сумму квад­

kx= a—1=4—1=3. Для внутригрупповой дисперсии остается во­ семь степеней свободы: kz— (N—4) — (а—1) = 11—3= 8; или kz = N—а= 12—4 = 8. Находим значения дисперсий: общую всего

средними, показывающими эффективность различных способов внесения органических удобрений в почву на урожай зеленой массы кукурузы, оказалась статистически недостоверной.

270

Т а б л и ц а 90

Мы рассмотрели пример дисперсионного анализа равномерно' го однофакторного комплекса для малых групп. Переходим к дисперсионному анализу неравномерного однофакторного комп­ лекса, в градациях которого содержится неодинаковое число ва­ риант. Принципиальной разницы между схемами дисперсионного анализа равномерных и неравномерных комплексов нет. Прихо­ дится учитывать лишь те детали, которые связаны с различным статистическим весом групповых средних. Лучше показать эти особенности на соответствующем примере. На одной из опытных станций испытывалось влияние различных доз минеральных удобрений на урожайность озимой ржи. Результаты испытаний оказались следующие (табл. 91).

Т а б л и ц а 91

Общая средняя арифметическая этого комплекса х = 9,5 ц/га. Общее количество вариант Hn = N = 15, а их общая сумма — 2х = = 142,4. Сумма квадратов всех пятнадцати вариант составляет:

271

Так как комплекс неравномерный, межгрупповую сумму квадра­ тов отклонений рассчитываем с учетом «веса» каждой частной средней:

Определяем внутригрупповую сумму квадратов отклонений:

Dz = Dy — Dx = 33,05 — 27,31 = 5,74.

Находим числа степеней свободы: ky= \b —1 = 14, kx= 4— \=> = 3, &z=14—3=11. Определяем величины дисперсий:

Так как F$>Fst, нулевая гипотеза отвергается; в высшей сте­ пени достоверно, что разные дозы минеральных удобрений с раз­ ной силой влияют на урожайность озимой ржи.

Расчет межгрупповой суммы квадратов отклонений можно упростить, если вместо общей формулы воспользоваться следую­ щей рабочей формулой:

Dx = 2 ( 5 ? п < ) - ~ ^ - -

Так как 2х = хп, данную формулу можно выразить и в следую­ щем виде:

^Z xitii) 2

Dx — 2 (хі Щ)

лГ~

Достаточно квадраты групповых средних перемножить на их ста­ тистические веса, просуммировать результаты, чтобы по указан­ ным формулам найти сумму квадратов отклонений этих средних от общей средней всего комплекса: 4Х8,52+6Х 9,42 + ЗХ 122 + 2Х X82 =1379,16, откуда:

Dx = 1379,16- (142’4)2- = 1379,161351,85 = 27,31.

15

272

Еще больше упрощается расчет вспомогательных значений, необходимых для определения сумм квадратов отклонений, если выборочную совокупность, подвергаемую дисперсионному анали­ зу, сгруппировать так, чтобы градации контролируемого факто­ ра располагались по вершинам столбцов комбинативной табли­ цы, как об этом сказано выше. Покажем это на том же примере влияния различных доз минеральных удобрений (фактор А) на урожайность озимой ржи (результативный признак X). Расчет вспомогательных величин приводится в табл. 92.

nA

Получился тот же результат, что и в первом случае. Ход дальней­ шего анализа показан выше.

273

Д ИСП ЕРСИ О Н Н Ы Й АН АЛ И З О Д НО ФАКТО РНЫ Х КО М П ЛЕКСО В БО Л ЬШ И Х ГРУПП

При обработке однофакторных комплексов более сложного состава, группируемых в виде корреляционной таблицы, суммы квадратов отклонений рассчитываются по следующим рабочим формулам:

Возьмем соответствующий пример. На 50 опытных делянках ис­ пытывалась урожайность озимой ржи в зависимости от количе­ ства вносимых в почву органических удобрений. Урожай на де­ лянках, как и следовало ожидать, сильно варьировал (табл. 93).

Т а б л и ц а 93

274

Необходимо выяснить, достоверно ли влияние различного коли­ чества органических удобрений на урожайность этой культуры. В табл. 93 наряду с данными эксперимента определены вспомо­ гательные величины, нужные для расчета сумм квадратов откло­ нений. Значения рх получаются от умножения частот (р) на чис­ ла (х) по градациям результативного признака. Например, величина рх = 85 получена следующим образом: 2Х 18+ 1X 17+ + 2X16 = 85 и т. д. Величины хпх получаются в результате пере­ множения значений результативного признака (х ) на суммы час­ тот (пх) по строкам комбинативной таблицы. Например, величина хпх= 120 получена умножением х = 20 на пх= 6 , т. е. 2 0 x 6 = 1 2 0 и т. д. Остальные действия понятны из табл. 93.

Подставляя найденные вспомогательные величины в соответ­ ствующие формулы, находим значения сумм квадратов отклоне­

= 49, kx= a—1=5—1=4, kz = N—а = 50—5=45. Дисперсии комп­ лекса определяются обычным способом:

для kx=4, kz— 45 и уровня значимости Р = 0,01. Нулевая гипоте­ за отвергается; влияние органических удобрений на урожайность озимой ржи оказалось в высшей степени достоверным.

Вспомогательные величины, необходимые для определения сумм квадратов отклонений, проще вычислить по способу услов­ ного нуля, описанного в предыдущих главах. Этот способ особен­ но ценен при наличии в дисперсионном комплексе многозначных чисел. Применим его к только что рассмотренному примеру (табл. 94),

275

Т а б л и ц а 94

Фактор А : кол. удобрений (ТІ г а)

Урожай

Из табл. 94 видно, что техника расчета вспомогательных значе­ ний принципиально та же, что описана выше. Поэтому нет необ­ ходимости в дополнительных комментариях к табл. 94. Подста­ вим найденные значения в формулы и определим величины сумм квадратов отклонений:

^(pa)2 VZnxa\2

Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что и вы­ ше, а расчет оказался проще.

Преобразование многозначных и дробных чисел

Результаты наблюдений, подвергаемые дисперсионному ана­ лизу, нередко выражаются многозначными и дробными числами, что создает неудобства в работе, так как при перемножении и возведении таких чисел в квадрат получаются огромные величи­ ны. Чтобы упростить действия с многозначными числами, их можно превратить в числа немногозначные. Для этого следует воспользоваться теми свойствами среднеарифметической и дис-

276