книги из ГПНТБ / Лакин Г.Ф. Биометрия учеб. пособие

щается в уравнение прямой линии:

на одной прямой. Эта особенность отличает уравнения степен­ ной и показательной функций.

Для определения параметров этого уравнения служит следу­

из которых следует, что предварительно нужно рассчитать 2Igy,

В данном случае обнаруживается гиперболическая зависимость между переменными Х и У. Попытаемся найти эмпирическое уравнение регрессии для этих данных, исходя из общего урав­ нения степенной функции. Предварительно рассчитаем вспомо­ гательные значения (табл. 86).

Подставляя найденные значения в формулы, определяем пара­ метры:

20,12855 X 11,85338 - 20,21996 X 10,33390

10 X 11,85338 — 10,3339 X 10,3339

29,6404

2,5338,

11,7445

10 X 20,21996 - 10,33390 X 20,12855

10X 11,85338 - 10,3339 X 10,3339

-5,8068

= — 0,4944,

11,7445

откуда

lg ух — 2,5238 — 0,4944 lg х.

Рассчитанные по этому уравнению ожидаемые величины основного обмена (ух) приведены в последнем столбце табл. 86 и нанесены на график в виде плавной (выравненной) кривой (см. рис. 27). Видно,, что эмпирический и вычисленный ряды регрессии неплохо согласуются между собой. Следовательно, уравнение регрессии выбрано правильно.

Логистическая зависимость

Ростовые процессы* многих организмов, увеличение числен­ ности популяции во времени, как и некоторые другие ряды ди­ намики, характеризуются дифференциальным уравнением обще­ го вида:

£ - к г , ах

где К — средняя скорость, а л: — время, на протяжении которого совершается процесс. Решение этого уравнения приводит к формуле экспоненциальной функции

У == a e hx,

258

где а — численность особой в начальный момент времени, когда

ного пространства и времени; оно эквивалентно геометрической прогрессии размножения в указанных условиях.

Если же численность популяции возрастает в ограниченном пространстве, например, в условиях эксперимента, когда особи размножаются в аквариуме, или в другой замкнутой среде, воз-

Рис. 27. Возрастные изменения основного обмена у обезьян:

на оси абсцисс — возраст животных (мес.), на оси ординат — основной обмен в килокалориях на 1 кг веса за 24 ч

растание численности популяции (как и рост организма, совер­ шающийся при известных ограничивающих условиях) описы­ вается уравнением логистической функции

%L= K Y (A - Y ), dx

Здесь X — время, когда достигается половина окончательной ве­ личины (Л) признака (т. е. верхней асимптоты кривой).

Графически логистическая кривая похожа на Кумуляту — график вариационного ряда нормально распределяющейся со­ вокупности, когда на оси абсцисс откладываются значения клас­ совых вариант, а на оси ординат — накопленные частоты ряда.

В более удобной форме эта закономерность выражается урав­ нением Ферхюльста:

А

начальная величина признака, с которой начато его измерение; а и b — параметры уравнения, определяющие характер логисти­ ческой кривой.

Уравнение логистической кривой выражается в следующей логарифмической форме:

lg ( y - ~ - c— \ ) = a + bx.

Обозначив левую часть этого уравнения через lgz, получим па­ раболу первого порядка lg z = a + bx. Для определения парамет­ ров этого уравнения служит следующая система нормальных уравнений:

ны а + Ьх, которые равны теоретическим значениям функции, т. е.

(теоретических) значений УжТехнику расчетов, связанных с практическим использованием

уравнения логистической функции, легче усвоить из соответст­ вующего конкретного примера. Представим, что в аквариуме, т. е. в искусственно созданной ограниченной среде обитания, со­ держатся инфузории туфельки. Для опыта было взято 5 особей. На протяжении шести суток численность инфузорий возрастала следующим образом:

Будучи нанесены па график (рис. 28), эти данные обнаруживают характер логистической кривой. Найдем уравнение этой законо­ мерности, приняв А = 390 и С= 0. Для составления системы нор­ мальных уравнений предварительно рассчитываем величины Ex, Ex2, Slgz и ExX lg 2 (табл. 87).

260'

Рис. 28. Возрастание численности популяции инфузории туфельки в замкнутом пространстве:

на оси абсцисс — время (сут.), на оси ординат — численность популяции

Т а б л и ц а 87

По итогам табл. 87 составляем систему нормальных уравнений:

ния, а также и величину Л = 390, имеем:

Ію 1'6978-0'6375*’

По этому уравнению рассчитываем ожидаемые значения ух функции. Расчет показан в следующей табл. 88.

Т а б л и ц а 88

Сравнивая вычисленные значения (ух) с эмпирическими (у), находим, что они достаточно полно согласуются между собой. Более наглядно это представлено на рис. 28, где на фоне эмпи­ рической кривой пунктиром изображена и кривая вычисленных значений ух-

В заключение изложения регрессионно-корреляционного ана­ лиза следует заметить, что в нашем распоряжении нет такого универсального метода, который определял бы выбор корреля­ ционного уравнения, позволяющего в каждом конкретном случае с максимально возможной точностью выравнивать любой эмпи­ рический ряд регрессии. Поэтому исследователю приходится ре­ шать этот вопрос самостоятельно, выбирая уравнение функции по своему опыту и усмотрению.

Исследователь также должен знать, что сами по себе мето­ ды корреляционного и регрессионного анализа формальны и не способны вскрыть биологическую сущность анализируемых с их помощью массовых явлений. Поэтому непременным условием успешного применения этих методов должен быть правильно поставленный, биологически осмысленный отбор фактов, умелая группировка и статистическая обработка собранного материала. «...Нельзя конструировать связей и вносить их в факты, — гово­ рит Энгельс, — а надо извлекать их из фактов, и, найдя, дока­ зывать их, насколько это возможно, опытным путем» '. Выясне­ ние причин, лежащих в основе корреляционных связей, — дело не математики, а биологии.

Несмотря на формальный характер методов корреляции и регрессии, они играют большую, хотя и вспомогательную, роль в биологических исследованиях. Показатели корреляции и регрессии не только позволяют измерять и анализировать ста­ тистические связи, но и прогнозировать возможные изменения сопряженных признаков, чего нельзя сказать о других биомет­ рических показателях, рассмотренных выше.

■ Э н г е л ь с Ф. Диалектика природы. Госполитиздат, 1950, стр. 26.

262

Корреляционный и регрессионный анализ нашел широкое применение в генетике и селекции. Методы корреляции и регрес­ сии позволяют планировать работу по направленному отбору и подбору животных и растительных организмов, выращиванию потомства с заданными свойствами. Антропологи, врачи, педаго­ ги и психологи используют методы регрессии и корреляции для выработки точных показателей физического развития человека. Немаловажный успех имело применение биометрических мето­ дов для обоснования научных принципов раскроя и стандарти­ зации обуви и одежды, изготовляемой для массового потребле­ ния. Помимо антропологии, генетики, медицины и различных направлений сельскохозяйственной науки, корреляционный и регрессионный анализ находит все более широкое применение в области зоологии, экологии, ботаники, физиологии и во многих других областях теоретической и прикладной биологии.

9**

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

СУЩНОСТЬ МЕТОДА И ЕГО ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ

Причинно-следственные отношения между явлениями слож­ ны и многообразны. В процессе их изучения возникают самые различные задачи, решение которых требует иногда и особого подхода и соответствующих методов количественного анализа фактов. Так, например, изучая влияние различных доз удобрений или сроков и способов внесения их в почву на урожайность сельскохозяйственных культур, исследователю приходится учи­ тывать целый комплекс факторов — регулируемых и нерегули­ руемых в опыте, от которых зависит конечный результат испы­ таний. В решении такого рода задач методы корреляционного и регрессионного анализа не дают должного эффекта. Неудовлет­ ворительным оказывается и метод парных сравнений средне­ арифметических показателей. При наличии целого комплекса выборочных средних их попарное сравнение становится делом обременительным, требующим большой вычислительной работы.

Впоисках нового более совершенного метода Фишер пришел

кплодотворной идее: оценивать результаты опытов не по сред­ ним арифметическим, а путем сравнения выборочных дисперсий,

вернее их отношений с критическими значениями критерия F. Отсюда и самый метод, разработанный Р. А. Фишером (1925), получил название д и с п ер си о н н о го а н а л и з а . В случаях комплексной оценки результатов наблюдений этот метод оказал­ ся более «экономным» и достаточно эффективным по сравнению с другими биометрическими методами, описанными выше. Так потребность в более совершенной организации сельскохозяйст­ венных опытов привела к созданию не только теории планиро­ вания полевых экспериментов, но и своеобразной методики ана­ лиза экспериментальных данных, которая в настоящее время применяется не только в биологии и смежных с ней областях знания, но и в технике, а также при решении некоторых вопросов психолого-педагогического характера.

Известно, что биологические признаки варьируют под влия­ нием самых различных причин, включая и те факторы, которые учитываются в эксперименте. Величина общей вариации призна­ ка может быть измерена суммой квадратов отклонений отдель­ ных вариант от средней арифметической всего комплекса на­ блюдений. Эту величину, как было показано выше, можно раз­ ложить на части или доли, одна из которых отражает влияние на признак учитываемого в опыте фактора (или факторов), а другая определяется влиянием на тот же признак неучитывае­ мых экспериментатором («случайных») причин. Соотношение

264

между этими источниками варьирования выражается уравне­ нием

рактеризует величину общей вариации признака, т. е. варьиро­ вание его значений вокруг средней арифметической всего ком­ плекса наблюдений; второй член уравнения, обозначаемый сим­ волом Dx, отражает долю общей вариации, относящуюся к варьированию частных или групповых средних (ж*) вокруг общей средней (ж),-и третий член этого уравнения, обозначае­ мый символом Dz, служит объединенной характеристикой варьи­ рования значений признака внутри отдельных групп, т. е. возле частных или групповых средних (жі) данного комплекса. Оче­ видно, в общем комплексе наблюдений будет выполняться равенство Dy— Dx+Dz.

Отнесением сумм квадратов отклонений к числам степеней свободы получаются дисперсии, которые служат оценками влия­ ния различных факторов на признак. Таким образом сущность дисперсионного анализа сводится к разложению общей диспер­ сии некоторого комплекса наблюдений на его составляющие части, из которых и выясняется влияние отдельных факторов на изучаемый признак. О достоверности оценок судят по критерию Е-Фишера. Если результаты дисперсионного анализа оказыва­ ются статистически достоверными, переходят к оценкам расхож­ дений между групповыми средними (по критерию ЕСтьюдента, или критерию Е-Фишера), а также и к измерению силы влияния отдельных факторов на изучаемый признак.

Дисперсионный анализ проводится как на малых, так и на больших выборках, на однородном и биологически неоднород­ ном материале, когда в одном и том же комплексе объединяют­ ся результаты наблюдений, проведенных на особях разного пола, возраста, видовой или расовой принадлежности и т. д. Этот ме­ тод оказывается одним из наиболее мощных и эффективных ме­

т о р а м и . Например, вес, рост, физическое состояние организма или целой популяции, все это — признаки. А такие средства воз­ действия, как дозы лекарственных или токсических веществ, дозы вносимых в почву удобрений, рационы кормления животных или нормы питания людей и т. п. относятся к категории факторов. Факторы делятся на контролируемые, в опыте, или организован­

265

ные, и неорганизованные, или неконтролируемые, действие ко­ торых на признак не регулируется.

Организованные факторы принято обозначать большими бук­ вами латинского алфавита — А, В, С и т. д., а результативные признаки — через X, У и т. д. Обычно каждый из факторов и результативный признак представлены некоторым количеством подразделений (групп), называемых г р а д а ц и я м и . Они обо­ значаются теми же буквами, что и факторы — А и А2, А3 ... или В], В2, В3 ... и т. д. Градации факторов определяются степенью их воздействия на результативный признак, например, дозами испытываемых веществ, влиянием на урожайность сельскохозяй­ ственных культур сортовой или видовой принадлежности и т. д. Отдельные подразделения результативного признака, например повторности одного и того же опыта, на которых выясняется дей­ ствие регулируемого фактора (или факторов), составляют гра­ дации результативного признака. В зависимости от цели и содержания эксперимента учитываемые признаки могут рас­ сматриваться и как результативные и как факториальные и вы­ ражаться не только абсолютными единицами меры или счета, но и в баллах, индексах и т. п. показателях.

Выборочная совокупность, организованная определенным образом для изучения эффективности действия организованных факторов на результативный признак, называется статистиче­ ским, или дисперсионным, комплексом. Структура такого ком­ плекса определяется числом градаций, на которые подразделя­ ются организованные факторы и учитываемый в опыте признак. Форма дисперсионного комплекса дается таблицей, в которой число столбцов равно числу градаций одного или нескольких организованных факторов, а по строкам откладываются града­ ции результативного признака (если они имеются). Таблица дисперсионного комплекса может быть построена и иначе, что будет показано ниже на конкретных примерах.

В зависимости от числа учитываемых факторов, по которым

неравномерно — различают дисперсионные комплексы равномер­

между факториальными суммами квадратов отклонений, тогда как в неортогональных комплексах это равенство нарушается (см. ниже).

Дисперсионный анализ проводится по некоторым общим схе­ мам, которые будут рассмотрены ниже. Оценка достоверности влияния организованного фактора на результативный признак

266