Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5117 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
267
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

2S0

 

 

 

 

 

И Н Т Е Г Р А Л

 

 

 

 

 

[ГЛ. ХГ

Следовательно,

'

4 d

 

1

3

 

dz

 

 

 

 

V:\

d x

 

z

У ±

 

 

 

 

 

а

J+ _

+

г2

3

4

+ Z2

 

 

3

 

3

_

_1

 

 

 

 

 

9 + 16 2

1

3 j

 

 

 

3

 

 

_~ j

 

 

4

 

^

з

'yT =

Y

 

 

 

^

=

 

=

arctg z

(arctg 1 — arctg

 

 

 

 

 

 

 

” "з

 

 

 

 

~ ~ 4 \ ~ 4 ~ T j — 48 •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 I/ яЯ

 

я\\

яя

 

 

 

 

 

Упражнения

 

T

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

6"

 

Вычислить определенные интегралы:

 

 

I

X d x .

 

4

I

 

d x

 

1. I V 1 —

 

 

0

У з 7 + Т

 

fU—

 

fи

 

 

 

I

4.

. 5.

 

 

 

6. f .

—

2

( I

2 J x

)

3/

 

l

-

*

 

л_

 

 

 

J]

 

 

 

 

8.

4

s\x\2xdx,

9.

cos

 

dt.

+ 2

S- I (1— я)3dx.

 

ЗЯ

X .

 

2

 

-j A ) 2/ _я_ ( 8U

cos-r- dx.

о

10. j*3

c o s ^ ----x ^ d x .

n

9

SJI F E- '3-J

X

X 2 .

14.

vT

"• I -sfe- 12-я

1 +

dx

 

2 / 1 + A 2 '

 

 

 

 

x d x

J /1 6 + X2....

12

3A2 ЙА

17- 1

_J

15. f - 2- x d x

ie. Г-+ 2A3

-1

 

 

 

2 A dx

(2 A 2 + l ) 2

1

6 A 2

dx

 

19.

 

9

- y =

 

20.

■4

15A dx

 

 

 

 

Г

A rfA

• 1

 

(A 2 - l ) 3 *

 

1 + 2 A 3 1

 

j

 

V *

+

144

 

 

Я

 

 

— 7 dx.

 

—5

'I

 

23. JJl

 

A

dx

21. J

A

/

A 2

22.

J

(A 2 —

i) 3 A r fA .

 

A)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2yT

§ 112] ГЕО М Е Т Р И Ч Е С К И Й

СМ Ы СЛ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О

И Н Т Е ГР А Л А

281

24.

cos X dx

Г

cos X dx

26.

sin X dx

1 + sin X

J

sin3 X

cos'* X

 

 

 

л

 

6

л

з

27. J ecosx: sin X dx.

30.

ex dx

31.

ex

+

5 '

 

 

28.

J 4 sin3 x cos x dx.

 

0,4

 

•

2

 

 

dx

Y

У

dx

5

25л:2'

о

4

-

4 +

32.

 

 

29. J sin x cos2 x dx.

Ѵз

л:2

33.

dx

3 + x 2'

 

 

 

Ѵа

34.

 

 

 

dx

 

 

 

35.

J

 

dx

 

3ft

 

 

 

 

1,52

/ 9 - j t 2

’

 

V

а2 - л:2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«•

 

 

 

37,

J J^COS

X

—

cos3 X

dx.

 

38.

 

dx

 

JT

&

-

 

 

 

 

 

 

 

 

Jex + e-

 

40,

о+ДV R 2- X

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'.

-

J

112.

Геометрический

смысл

определенного

интегра­

 

R

 

§

 

ла. Пусть

 

дана

кривая, определяемая

уравнением

у

=

=

/(х),

 

причем

f(x)

—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

непрерывная

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xположительная

при рас­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сматриваемых

значениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис.

118). ВозьмемОР0 —на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой

точку М 0 с посто­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

янной

абсциссой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— а

 

и

точку

М,

меняю-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

висимости

 

от

изменения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсциссы

OP

=

X.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площадь фигуры

М 0М Р Р

0,

 

 

х.

 

будет

перемен­

называемой криволинейнойх

трапецией,Р Р

ной

величиной,

зависящей

от

 

Обозначим

ее через

S.

Дадим

аргументу

приращение

і =

Ах;

тогда

пло­

щадь 5

получит приращение AS,

равное криволинейной

282

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. XI

 

площади ММ\Р\Р. Проведя прямую MQ\\Ox, а также Л41 Л/ИOJC до пересечения с продолженной ординатой РМ , получим:

или,

 

 

площ. M Q P tP < AS <

площ. N M {P {P,

 

выражая

площади прямоугольников по формулам,

Но

 

 

Р М

•

РРу

<

AS <

Р хМ і

• P P ,.

 

(1)

 

 

 

 

 

 

P P {

=

А.г,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ^ і

=

f(x),

А.ѵ);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= / ( *

+

 

 

 

 

поэтому неравенства

(1)

перепишутся так:

 

 

 

 

 

f (х) Ах

< AS <

 

f (x

+

Ax) Ax.

 

 

Разделив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на положительную

полученные неравенства

 

величину Ал:, получим:

 

 

 

 

 

 

+

Ax).

 

(2)

 

 

 

 

f { x ) < j § < f ( x

 

 

 

 

 

Пусть

А х —

тогда

f(x

+

Ах)—*f (х).

Так

как

 

>0,

 

 

 

 

 

f

(

x

 

величина

д5

заключена

между

f(x)

 

 

и

Ах),

как

видно из

неравенства (2), то и подавно

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

AS

 

 

’ /(*)»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1іт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

lim

AS

 

 

Ах->0

 

 

функции

 

S; следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

-г------производная

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

dS

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- d 7 = f W '

 

 

 

 

 

(3)

 

 

от

 

 

dS =

f (х) dx.

 

 

 

 

Взяв интеграл

 

обеих

частей равенства (3), получим:

 

 

 

 

 

 

I

dS

=

J

f (х) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

S + C ^ j f(x)dx.

( 4)

§ 112] ГЕО М Е Т Р И Ч Е С К И Й

СМ Ы СЛ О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е ГР А Л А

283

Пусть

F (х

) — первообразная функция для дифферен­

циала

f(x)dx,

тогда

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

j

f(x)dx =

F(x) +

C2.

Сравнив равенства (4) и (5), получаем:

(6)

или

 

 

S - f С , =

^(*) +

С 2,

■ где

 

 

 

S =

F(x) +

C,

 

 

 

 

с = с 2- с ,.

 

Для определения С положим в равенстве (6) х — а, тогда, как видно из рис. 118,

будем

 

 

площ. MQMPP0= 5 = 0;

 

 

иметь:

 

Q =

 

F(a) +

C.

 

 

 

 

Отсюда

C =

— F(a)

и

равенство

(6) перепишется так:

 

 

S

 

 

 

 

 

=

F(x) — F{a).

 

 

 

Но по определению (§ 109)

X

 

 

 

 

 

 

 

F (х) — F (а) =

аJ

f (^) dx.

 

 

Следовательно,

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7)

Эта

 

 

S =

аJ f(x)dx =

F ( x ) ~ F(a).

 

 

формула

определяет

переменную

MплощадьQM\P\PQ

М0М РР0.

получить

постоянную

площадь

 

 

Чтобы

 

 

в промежутке значений

х

от

а

до

Ь

(рис. 119),

нужно

 

х

Ь\

 

в равенстве

(7) положить

 

=

 

тогда площадь

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0MlP lP0=

J

f (JC)dx = F(b) — F (а).

 

 

2 8 4

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

И Л. XI

Итак,

площадь фигуры

,

ограниченной

кривой y = f(x),

 

 

 

 

ь

 

а и х = Ь,

где {

(л:) >

0,

осью Ох и двумя прямыми х

=

 

 

 

 

 

 

выражается определенным интегралом

J f (х) dx.

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

Таков геометрический смысл определенного инте­ грала.

П р и м е р . Определить пло­ щадь фигуры, заключенной ме­ жду ветвью кривой у — х2, осью

Ох и прямыми х = 0 и х = 3 (см. рис. 120, где эта фи­ гура заштрихована).

Р е ш е н и е . Искомая площадь (рис. 120):

 

 

 

 

 

о

 

Т = 9.

 

§

113.

 

 

 

IX2 dx ■

 

 

Определенныйх а Ь. интеграл

как предел суммы.

Возьмем

функцию

y = f(x),

непрерывную

в промежут­

ке значений

от до

Положим

для

простоты, что

эта

функция в

указанном промежуткеМіМгРцРиположительная

и возрастающая.

 

фигуры

 

ограничен­

Рассмотрим

площадь

 

ной

дугой

М\Мч

графика

данной

функции, прямыми

 

 

§ 1131

 

О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е ГР А Л

КАК П Р Е Д Е Л

СУМ М Ы

28 5

х =

а

и

X == b

и осью

Ох

(рис. 121).

Эта площадь

 

 

ь

.(§ П2)

 

 

S = f f ( j c ) d j c .

 

(1)

а<

Разделим отрезок

п

равных частей, каждую

Р\Р2 наЛх,

из которых обозначим

через

и в концах полученных

отрезков восставим

перпендикуляры до пересечения

с кривой.

ПроведяМ іМиз 2Рконцов2Рі

этих

перпендикуляров

прямые, параллельные оси

Ох,

мы

можем представить

 

в

площадь

фигуры

 

 

 

виде

суммы

площадей

прямоугольников

Sи суммы

площадей криволинейных

треугольников.

Обозначив

 

первую

 

сумму

через

S u

а вторую — через

2,

напишем:

S2J

 

 

 

 

откуда

 

 

5 =

5i -f-

 

 

 

 

 

 

 

S — S , = S 2.

 

 

 

(2)

Если

 

O P{ = a

 

и

OP2=

b,

 

 

TO

P lM l = f ( a )

 

и

P2M2 =

 

/(&).

 

 

286

 

 

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. XI

Пусть абсциссы

 

точек

 

 

 

N 2, N3,

. . . .

Nn-i будут соот­

ветственно

 

 

 

Х\)

Xty

#з> •••>

Хп—[у

 

 

 

 

тогда ординаты этих точек будут

 

 

 

 

 

 

Сумма

f ix

i),

 

f{x2),

f (дез), . . . .

 

 

 

,).

 

 

площадей

всех

прямоугольников

 

 

S , = / ( a ) A x +

 

/(*1)A* +

f( * 2)A* + . . .

Н -/(л:я_,)Аде;.

условимся для такой суммы употреблять запись:

где Б

 

 

 

 

 

S l =

IаInx )Ax ,

 

 

 

 

 

(3)

(сигма) — общепринятый

в

 

математике символ

суммирования.

А х -* О

 

 

п

отрезка

 

РіЯ 2

S 2

 

 

Если

число

делений

 

 

 

неограниченно

увеличивать, то

 

 

 

 

 

 

и величины Si

и

 

станут пере­

менными. Покажем,

что S 2 при

этом

условииОх,

— величи­

на бесконечно малая.ABCD,Для этого передвинем криволи­

нейные

треугольники

параллельно

 

оси

 

расположив

их в прямоугольнике

 

 

AD

основание которого

и высота

 

 

 

 

 

 

-

 

 

—

Ах

 

 

 

 

 

 

 

AB =

Р 2М2

 

 

= f ( b ) - f

(а).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я,Л4,

 

 

 

 

 

 

 

Площадь прямоугольника

A B CD

будет равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\f(b) - f(a)\Ax .

 

 

 

 

 

Как видно из рис. 121,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

Sa < [/ (& )- / ( а ) ] А*.

 

 

 

Если

Д х -*0 ,

 

то

[}(Ь

 

 

f(a)]Ax

 

как произведение по­

 

 

 

) —

 

 

 

 

стоянной на бесконечно малую есть величина бесконеч­

но

малая, а потому согласно неравенству .(4) S 2 также

бесконечно малая величина.

 

 

 

 

 

Таким образом, в левой части равенства (2) мы

имеем

разность между постоянной

S и переменной

Si,

а

в

правой — бесконечно

малую.

Следовательно,

по

определению предела (§ 43)

lim

Si,

 

 

 

 

S =

 

 

 

Дх-»0

§113] О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е ГР А Л К АК П Р Е Д Е Л СУМ М Ы 2 87

или согласно равенствам

(1) и (3)

 

ь

 

 

ь

 

аJ[

f {x)dx =

&X->0 S\f(x)Ax .

(5)

 

lim

а

Сумма, стоящая под знаком предела в равенстве (5), называется интегральной суммой.

Таким образом, определенный интеграл с конечными пределами равен пределу интегральной суммы, число слагаемых " которой неограниченно растет, а каждое слагаемое стремится к нулю.

Можно показать, что к тому же результату мы при­ дем, если возьмем функцию положительную и убываю­ щую в рассматриваемом промежутке значений х, или положительную, но на одних участках возрастающую, а на других убывающую, или, наконец, отрицательную функцию, т. е. такую, график которой расположен ниже оси Ох.

Полученный вывод показывает, что интегрирование можно рассматривать как процесс суммирования, т. е.

нахождения

целого

сложением его

частей.

В

связи

с этим Sинтеграл,

и получил свое название от латинского

слова integer (целый), да и

символ

его

(удлиненная

буква

которой

обычно обозначается сумма)

связан

с вышеуказанным

свойством

определенного

интеграла.

В

главе X II

мы

подробно

остановимся

на

приложе­

нии формулы

(5).

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Г Л А В А

 

XII

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 114.: )

 

ПРИЛОЖ ЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

 

 

 

 

> Площади

фигур. В

§

1 1 2

мы

 

доказали,Ь,что

если /(л

0

в

промежуткеy = f(x),значений

Охл: от а до

 

то

площадь фигуры, заключеннойа

между= Ь, графиком кривой

 

 

 

 

 

 

=

и

 

х осью

 

 

 

и прямыми

 

 

 

 

 

X

 

 

 

ь определяется

по

 

 

 

 

 

формуле

 

S = j f ( x )

dx.

(О

 

 

 

 

 

 

Можно показать,1

 

 

 

 

 

 

 

что в случае

 

 

 

 

 

/ ( * ) < О

 

формула

(

) дает отри­

 

 

 

 

 

цательное число,

 

абсолютная

ве­

 

 

 

 

 

личина

которого

 

определяет

ис­

 

 

 

 

 

комую площадь, т. е.

 

 

2

 

П р и м е р Ох1.

НайтиО

иплощадьВ

 

J f(x)dx

(

)

фигуры,

 

заключеннойу =

между осью4х

и кривойОх

у =

х2

—

4х

(рис.

122).

 

 

 

Р е ш е н и е . Точки

 

пересечения

параболы

 

4.

= X2

—

с

осью

имеют

абсциссы,Ох,равные 0 и

Как видно из рисунка 122, искомаях =

площадьх = 4,(она

за­

штрихована)

ограничена

Охсверху осью

 

 

 

снизу пара­

болой, слева и справа прямыми

 

0 и

 

от

ко­

торых параболах

и ось

 

отсекают

отрезки нулевой

длины. Заданная функция отрицательна в промежутке

значений

от 0 до

4; поэтому,

 

применяя

формулу

(2),

§ 114]

П Л О Щ АД И Ф И ГУР

289

 

получим:

4

5 = (X2 — 4х) dx

V

о

 

П р и м е р

 

2

у. Найти площадьх фигуры,

 

заключенной

между кривой

 

=

х 3,

прямыми

=

—

1

,

х =

2

и осью

Ох (рис.

123).

ИскомаяВОС, площадь,

как

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

Р е ш е н иA

еO.D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видно из рисунка, состоит из двух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

площадей

 

 

 

 

и

 

расположен­

 

 

>1

и

 

 

 

 

ных по

 

разные

 

 

 

 

 

 

Ох.

 

 

 

 

1

Н

ц

 

 

 

 

 

стороны осих

 

 

 

 

 

 

Ч

 

 

 

 

В

 

 

 

у

 

 

X3

 

 

 

 

 

от 0 до

 

 

 

 

 

F

 

 

 

2

промежутке значенийD

 

 

 

 

 

С

 

II

 

 

 

функция1

 

 

=

 

A Oположительна,

по­

 

 

А

Л

 

 

 

этому

площадь

 

 

вычисляем

 

по

 

 

 

 

о

 

2

 

формуле

( )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

“

.

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S AOD

 

0j' X3 dx =

 

2

2 4

 

 

 

 

і

Рис.

123.

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

о“

“

 

 

4*

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

В

промежутке значений

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

 

от — 1 до 0 функция

 

 

 

 

X3

отрицательна,

поэтому

 

по

формуле

 

(2)

имеем:

 

 

 

 

 

Sßoc —

 

0

 

 

 

 

 

 

 

_

1I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1Jх 3 dx —

 

 

X4

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

—1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, вся искомая площадь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*5 =

S A0D +

 

S B0C = : 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р 3. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у = х2 и у = х (рис. 124).

Р е ш е н и е . Заданные линии пересекаются в начале координат и в точке Л ( 1 ; 1 ) (координаты точек пере­ сечения находим, решив совместно уравнения обеих

!0 И. Л. Зайцев

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности