Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5117 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf
Скачиваний:
267
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
16.43 Mб
Скачать
☆

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И Н Т Е Г Р А Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ГЛ, XI

тогда

 

 

 

J*

1

+

 

|os 2*

 

d x = J

 

 

+

 

YCOS2x^dx =

 

 

J cos2x d x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=JT

 

 

J

 

J

 

Tcos2 x d x =

Y x

+

 

T j

cos^x^x'

 

 

Для нахождения

 

 

 

2 x dx

положим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx — z,

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

2x dx =

Y

J

cos

z

• у

dz = ^ J

cos

zd z —

 

 

 

 

■ i j cos

 

 

 

 

 

 

 

— —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinz +

C = - T

sin

+

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X +

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

Icos2 X dx — у

 

 

sin 2.x +

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

1 2 . Найти

J ]f a2 — x2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 )

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxx== aasin z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

z dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Y a 2

—

X2

=

|/a

2

—

a2 2 z = a Y 1

— sin

2 z — a

cos

z.

 

ТакимY

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

образом,

 

 

 

 

 

a

cos

z a

cos

zdz =

a2

J cos

2 z dz.

 

 

I

 

a2 — X2 d x =

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напишем:

 

 

 

 

Взяв J cos2 zdz из

примера

1 1 ,

 

 

C .

 

 

(3)

Из

 

 

J\/a2 — X2 dx =

CI2 (Y

 

Z +- j s in 2 z) +

 

 

равенства

(2)

находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

z

 

 

а

 

 

 

 

 

 

271

§ 108]

 

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е СП О С О Б О М П О Д С ТА Н О В К И

 

 

Кроме

того,

 

 

 

 

 

=

arcsin — .

 

 

 

 

 

 

 

sin

2z =

2

sin

z

cos

z

=

2

sin

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - J

l —/ 1sin-

4г -= =

- ^

- y V

- ; c 2

Подставив значения

 

=

а

r

 

 

а2

v

z

 

 

 

 

 

и sin2z в равенство (3), получим:

J У а2 — х2 dx — а2(д- arcsin

 

 

V °2 ~

 

2х2) +2

С =

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

=

-тг arcsin -^ + Y

/ а

 

— я

+ С.

 

2 —

X2 dx —

 

arcsin

+

у

2

—

х

2

+ С.

 

]/а

 

 

 

Ѵ^а

 

 

II. В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно, не произ­ водя подробного решения методом подстановки, как это мы делали в разобранных выше примерах, исполь­ зовать соответствующие формулы, помещенные в ниже­ следующей таблице (для постоянных k и п) :

1) Jekx dx = ^ e kx + С,

2) /а**Лг = і . ^ + С.

3)

Jsin kx dx =

— —cos kx +

C,

4)

Jcos kx dx =

y

sin kx +

C ,

 

5> U

r -

r ^

b

+ C'

С ’

 

6>

1

й Й 7 - - Т

с,в й* +

 

r ,\

I

/ &

dx

 

1n

 

n

I ~

7)

Jr

_

 

 

k

 

 

----= — arcsin

— X -f- <?,

 

 

,j2x2

1

.

n

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

272

 

 

эти

 

формулы

 

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

быть

выведены

 

[ГЛ. XI

Все

 

 

 

легко

могут

 

с

 

по­

мощью

подстановки

 

 

kx =

z

 

[для

формул

1

) —

6

)] и

 

 

=

z

 

[для

 

формул

7)—

8

)]

 

из

формул

(III) — (X)

§ 106

самими

 

учащимися.

Заметим, что при

 

k

=

 

1 и

п =

 

1

формулы

1

) —

8

)

обращаются,

соответственно,

в основные формулы

(III)J— (X)

§х 106.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

13.

Найти

 

cos

 

dx.

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеем

cos

 

х dx =

 

-

Р е ш е н и еС..

По

 

формуле

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

5 . 4

 

X

,

„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

г

sin —

4-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

'

14.

Найти

J

258

+

л:2 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р еdxш е н и е .

По

 

формуле

 

 

) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 +

 

„ —

 

1

 

 

arctg —

х -\- С =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8л:2

 

5 • 2 У 2

 

 

 

 

 

5

 

 

 

—

. - у - arctg ——— X +

С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

10/2

Б

5

 

 

 

 

 

 

>■ / (3 +

 

5л:)4 dx.

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J" (а +

bx)m dx.

I

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

^ V x

+

2 d x .

 

 

 

 

2 ^ А х - Ъ

dx.

 

 

f( 3 * + 1 ) 2

 

dx.

••4.

 

 

 

 

 

 

 

 

* 5 .

 

 

 

* 6.

 

 

r (3x

+

 

l)2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

J -У+ü(2 -

—Зх)2 . '

J

 

dx

 

 

 

а 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

J \ + 2 х '

 

 

 

 

‘7-J

3 dx

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У"Зл: +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 4л:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

1.

j*

sin2x4*:.

 

 

®12.

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

3 — 4л: '

 

 

 

 

 

 

 

 

* 13.

 

 

 

 

“ 14.

 

 

 

cos^-^-ф +

2^ dcp.

 

 

 

 

 

 

 

Jsin (1 -

t)dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

J^cos-^-— sin 3xj dx.

 

 

-

16.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

J cos2 2л: ’

 

1?-I sin2 Зл:

- le-J

 

 

 

 

 

 

“le-

 

J

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

~зе dO.

 

§ 108]

И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е С П О СО Б О М П О Д С ТА Н О В К И

273

°

21.

r

2e

—T ®+i do.

4 22.

о 24.

V

' +

2 dt.

“ 25.

m.

 

3Ü2 dv

°’28.

^.30.

 

(2 -

o3)4 •

 

 

 

Xcos/ xX2 dx+ 1 dx.

«31.

 

 

 

1 +

sin X *

^33.

 

 

r

cos со da

 

 

^ 5 .

_

sin'1CO

*86.

3

3S.

j

sin а cos а da.'

/3 9 ,

£

40.

J

У

cos Ѳ sin Ѳ d0. ß 41.

dx

 

 

 

 

« 23.

 

^

2ex*

 

 

 

 

 

2x dx

 

 

 

f26.

Г

2te*dt

1

 

tdt

 

•

 

ъ

 

J

X2 dxl)2 *

 

+ x 2

 

 

 

29.

JГ) У2x3—

V

 

l - t+

 

 

J t2У12

2<3dt.

 

 

— 1

 

sin t dt

. sin ф dф

"3 4 .

\2

 

X

 

 

.

21

 

 

—3 cos ф '

^37.

cos

 

 

cos

 

dx

 

cos t dt

J-(2 —sin x)2

\|/" 1+ sin t

J sin3 ф cos ф dф.

I cos а (1 + sin а)2 da.

 

42.

j

X2 sin 3x3 dx. /

6?

j

 

44.

ctg X dx.

 

47‘ .

ex У\ + exdx.

 

 

 

5°.

_

cos 2x dx

 

1 + sin 2x

 

«-“ ■ .

dx

 

2 + dax 2 '

 

 

Г

 

 

" ■

J / 9 — а 2

 

 

j

sin ф cos ф dф

' 1

.И .

У1 + sin2 ф

 

62.

 

tg 2x dx.

43-

J

ecosxsin X dx.

 

J

ex dx

 

 

• 45.

1+ ex '

 

 

У e“

du

 

‘

-48.

 

 

J

 

 

 

 

2 + Ѵ 1

51.

Isin2 x dx.

 

J

dt

 

 

54.

5 +

4t2•

 

’

* 57.

J

du

2

60,

I

/ 9 - 4 u

 

2 x - 3

dx.

 

 

 

1

63.

 

л:2 — 3xdx.

 

I XX2 +

1

 

 

 

 

+

 

 

§

65.

ln X dx

66.

J V T + T ПX dx.

 

68.

dx

69.

X

 

t,

'

 

IТ +dxdx

 

 

 

 

7 '

 

71.

У 1 + cos X dx

72.

I 1+ cos X ’

» 46.

 

2ex dx

 

 

(2 +

e-r)2 *

■* 49.

 

xer?

 

 

 

dx.

 

 

dx

 

52.

j

4 +

 

x2 '

 

55.

 

 

dt

1

 

dQ

'58.

«

У1-4t2

cos X dx

 

 

У

-

sin24Ѳ2X .

61.

3

 

 

1+

 

± ^

-

64.

f У2Д\

- X 2

 

67.

 

sin3 X dx.

 

70.

1

Ух dx

 

1 + * ’

 

274

 

 

 

И Н Т Е ГР А Л

 

 

 

 

 

 

[ГЛ. XI

§ 109.

Определенный

интеграл.

Пусть в интеграле

 

 

 

J

2х dx =

X 2

+

С

 

 

 

 

аргумент

 

 

от

 

х

=

2

 

 

х = 4,

тогда прира­

изменяетсях

 

 

 

 

до

С

 

 

щение первообразных

функций

х2

+

в указанном про­

межутке значений

будет:

С) =

 

16 — 4 =

 

 

 

4 +

С

—

(22

+

 

 

12.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученное приращение первообразных функций назы­

вается

определенным

интегралом

и

обозначается сим-

J42а: dx.

 

волом

2

Приращение

 

F(b) F(a) любой

из первообразных функций F(x)-\-C при изменении ар­

гументаО п р е доте лXе

—н иае .до X — b называется —определенным

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

интегралом и обозначается

J f (х) dx.

аf(x) Ь.непре­

 

 

 

 

 

 

 

а

 

При этом предполагается, что функция

рывна в промежуткеь

значений аргумента от

до

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

J f (х) dx — F(b) — F (а).

 

 

 

 

а

b

 

 

 

 

 

 

Левая часть аэтого равенстванижнимчитаетсяпределомтак: «определен­определен­

ного интеграла,

 

 

 

b

 

верхним пределом.

 

ный интеграл от а до

 

эф от икс дэ икс».

 

 

Значение

называется

—

 

 

 

Для

 

 

значение

 

 

ь

f(x)dx

вычисления определенного интеграла

Из равенства (1) вытекает следующее

п р а в и л о :

нужно

найти

 

соответствующий неопределенныйаj"

инте­

грал, в полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы определен­ ного интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Чтобы подчеркнуть два действия при отыскании определенного интеграла — нахождение неопределенного

§ 109]

О П Р ЕД ЕЛ ЕН Н Ы Й

и н т е г р а л

275

интеграла и

подстановку пределов, — пишут формулу

(1) в следующем виде:

 

 

г

\ f (х) dx =

J

а

I6

F (х)\ = F ( b ) - F ( a ) .

Iа

+1

П р и м е р 1. Вычислить J (х23+ l)dx.

Р е ш е н и е . Согласно правилу имеем:

-1

 

= -5- + 1 + -Ö + 1 — 2 Т '

П р и м е р 2. Вычислить

Я| 4 cos х dx.

 

3

я Р е ш е н и е .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

•

п

 

.

тІТ\

ЯI4

cos xdx

=

 

4 sin

х 2

А(

- 8

 

 

я

 

3

 

 

 

 

 

 

_= 4 ^ і п т

 

і п

 

) =

=

4

(

1

-

 

3

 

— 0,865) =

4 - 0,135 == 0,54.

 

 

 

і р . )

« 4 ( 1

 

П р и м е р 3. Вычислить YJJ t Р е ш е н и е .

vT

i + x2

arctg

X

VT

=

r—

I-

dx

 

 

 

1

arctg У 3 — arctg 1 =

 

 

 

 

 

 

= f - T = i j - 0'262-

276

И Н Т Е Г Р А Л

[ГЛ. ХГ

§ПО. Основные свойства определенного интеграла,

В§ 105 мы рассмотрели четыре основных свойства не­ определенного интеграла. В подробных курсах высшей математики доказывается, что третьим и четвертым из них обладает и определенный интеграл. Кроме этих свойств, для определенного интеграла справедливо и следующее:

Если переставить пределы определенного интеграла, то его знак изменится на противоположный.

В самом деле, вынеся за скобку множитель — 1 в правой части равенства

ь

I f(x)dx = F (b )- F (a ),

получим:

&

J f(x)dx = - [ F ( a ) - F ( b ) ] .

а

Но разность в квадратных скобках есть тот же опре­ деленный интеграл, только с переставленными преде-

лами, т. е. Jа f(x)dx

ь

Следовательно,

Ь

а

J /{х) dx — —■J /(х) dx.

 

 

 

а

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнения

 

 

 

 

Вычислить определенные интегралы:

 

I

 

 

1 .

J2

X dx.

2.

j*з je2dx.

3.

J1x3dx.

 

 

dx.

 

 

 

о

 

4.

{ (2 *+ l)

 

5. Jo

1

 

 

 

2

0

 

 

 

 

6. +1

 

 

 

 

(3x2+ 1)d x .

 

 

7,

 

J 3(«2 +

l)du.

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

§ ПО]

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2

 

 

 

 

277

 

с в о й с т в а

о п р е д е л е н н о г о

и н т е г р а л а

 

 

 

 

 

 

У~х dx.

 

 

\ А]/X

dx.

 

ГУ х 2

\9 (Y~ +

 

dx

 

.

 

dx.

 

VJx l X3

8

I»

2я (1 + х 2)

 

9.

•

(х2 —

 

 

 

Ц - .

 

11.

1

 

12.

4

13.

8

О

 

14.

2

15.

V

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

X

 

~^=\ dx.

16.

I{Зх'- 2x- т

к )

‘7- /

19.

2х2 +

 

20.

4

dx.

J - ^ - d x .

22.

6 - І ^ Ѳ

d0.

23.

u - i ) 2 dx.

'8-/^ dx.

+1

21.J ( l - f F ) d * .

-1

24.cös ф d<p.

+T

25.

о

sin ф dф. 26.

о

2 dt

•27- llw-j28- J"I ™""-

cos2*

 

29.sin Ѳ d0. 30.

71

T

32.

. 34.

(e-r - cos x) dx.

(соэф + sin ф) dф. 31.

f —%— Ь sin x)V x .

 

\cos2x

 

ss- n

J(

+ _L dx% 36> ^5

2dx

 

 

, COSz X

 r A

dx.

 

 

 

sin- X )

0.!

 

35.

TлJ

* cos *

 

 

 

 

 

0ГY T = T * '

 

 

 

 

 

J

 

 

 

1

 

 

 

Y J

 

37.

 

3

dx

38.

2

dx

Y

I

 

L,f

2 V T

3

1 + x2

Vj

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

278

И Н Т Е ГР А Л

[ГЛ. XI

§ t i l . Вычисление определенного интеграла

с по­

мощью подстановки. Для вычисления определенного ин­ теграла с применением подстановки поступают так же, как указано в разобранных примерах § 108. Но в этом случае есть одна особенность, на которую нужно об­ ратить внимание.

Как мы уже выяснили, метод подстановки заклю­ чается в том, что для приведения заданного неопреде­ ленного интеграла к табличному выражают аргумент через новое переменное, затем находят неопределенный интеграл и полученный результат снова выражают через первоначально заданное переменное (аргумент). В слу­ чае же определенного интеграла нет необходимости воз­ вращаться к первоначально заданному переменному.

Разберем

несколько

примеров.

П р и м е р

1.

Найти

2

о

Р е ш е н и е.

Положим

тогда

 

 

 

 

:dx — dz,

 

 

( 1)

откуда

 

 

— 2а

—

dz

 

 

 

 

 

X d,x =

~ .

 

 

 

Так

как

 

мы ввели

новое

2

 

 

связанное

 

переменное,

с прежним равенством (1),

то границы изменения пере­

менного

z,

т. е. пределы

интегрирования

по

перемен­

ному

z,

будут уже другие.х

Они найдутся

из

равенства.

(1) заменой

аргумента

его

значениями 0 и

Сде­

лав эту замену, получим:

 

(нижний

предел),

 

 

 

zH=

1 — 0 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(верхний

предел)

 

§ 111)

В Ы Ч И С Л Е Н И Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О ГО

И Н Т ЕГР А Л А

279

X

Таким

образом, мы нашли, что пределам изменения

 

п

1

 

соответствуют

пределы

изменения нового

 

от 0 до

 

2

переменного

 

з

Заменив

в заданном инте­

 

от 1 до — .

грале Г— X2 и X d x их выражениями через новое пере­ менное и изменив соответственно пределы интегрирова­ ния, можем записать решение данного примера следую­ щим образом:

1

 

 

 

3

 

 

d z \

 

 

3_

 

 

 

3

 

2

5х dx

 

Г

\

 

2 7 _

 

5

4

dz

 

T

4

 

Г

 

 

 

J

г3

 

f

 

 

J

z ~ Z d z

=

0J

(1 -.V '2)3

13

1

 

43

 

2

J

Z3

 

 

I

. \

35

5

z2

5 (

1

~ 4

 

 

5

2-2

Т

 

1

 

 

-

’l

5 /16

 

2

- 2

 

 

4

 

I

4

9

 

\

9

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

Г »3 dx

П р и м е р 2. Найти J 9 + 16.V2 • Уз

4

3

Р е ш е н и е . Вынесем множитель -тг за знак инте-

9

грала:

43

 

 

4

 

 

 

1

 

4

 

3

dx

 

3 Г

 

dx

 

ѵт

dx

 

 

3

,

j

3

 

3

9 + 16л;2 -

9

, 16

 

Г

 

Уз

 

 

УзJ

1 + т *

 

 

 

J

 

Положим

 

T

x=sZ;

 

 

 

(2)

тогда Y d x =

dz,

откуда

 

dx =

-^dz.

 

 

 

 

 

4

3 .

Находим

новыеУ зпределы:У з

zB=

 

2„ =

'

 

 

 

¥

. T =

1-
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности