книги из ГПНТБ / Хьюитт Дж. Кольцевые двухфазовые течения

4.2.ОДНОФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Вслучае однофазного течения баланс сил может быть написан для площади поперечного сечения канала, как это показано © уравнении (3.1). Подобный баланс сил может быть написан для любого элемента попереч­ ного сечения канала при усло­

Для течения жидкости и для течений газа при низ­ ких числах Маха влиянием ускорения, представленного вторым членом в правой части этого уравнения, как пра­ вило, можно пренебречь. Обычно хорошим приближени­ ем для изотермического течения является допущение о постоянной плотности потока по поперечному сечению канала. Уравнение (4.1) тогда приводится к следующей простой форме:

87

где to — касательное напряжение на стенке трубы. Сле­ дует отметить, что касательное напряжение имеет мак­ симальное значение на стенке и линейно убывает до ну­ ля на оси трубы.

Обычно информация о распределении касательного напряжения может быть использована при вычислении распределения скорости через соотношение между каса­ тельным напряжением и градиентом скорости. Для ла­ минарного ньютоновского течения

Средняя скорость V может быть получена из этого выражения путем его интегрирования следующим обра­ зом:

Ѵ = j r j* 2 W r = ■ ( ■ — Ч Г - ?ё) • (4.6)

о

Уравнение (4.6) — это соотношение Пуазейля для ламинарного течения.

На этой стадии полезно ввести следующие определе­ ния трех безразмерных параметров:

венно прилегающей к стенке, можно представить про­

Касательное напряжение в любой точке трубы пред­ ставляет собой скорость радиальной передачи осевой составляющей количества движения. При ламинарном течении эта передача осуществляется хаотически благо­ даря тепловому движению молекул; при турбулентном же течении флуктуирующее движение крупных клубооб­ разных масс ведет к более быстрой передаче количества

88

движения при данном градиенте скорости. По аналогии с уравнением (4.4) влияние турбулентности («клубов») состоит в том, что происходит возрастание эффективной вязкости до значительно более высоких значений. Вязкость при клубообразном движении изменяется в зависимости от радиального положения; в центральной области трубы перенос, обусловленный клубообразным движением, преобладает над молекулярным переносом.

Можно получить выраже­ ние для касательного на­

разится как р(uzür), и этот средний поток может быть приравнен касательному напряжению следующим обра­ зом:

также равно нулю, так как равно нулю среднее значе­

89

Пока не удалось получить удовлетворительных моде­ лей для расчета турбулентного касательного напряже­ ния, хотя бы таких, как представленная уравнением (4.12); задача турбулентного течения является одной из самых труднолоддающихся исследованию из известных в науке и технике. На основе работы Прандтля и Кар­ мана был получен класс полезных эмпирических соот­ ношений, позволивших представить профили скоростей в турбулентном течении в безразмерном виде. Эти соот­ ношения давали более точные результаты при расчетах

основу. Предпринимались непрерывные усилия усовер­ шенствовать и улучшить эти соотношения, в результате чего расчетчику приходится сталкиваться лицом к лицу с ошеломляющим разнообразием рекомендаций. По мне­ нию автора, дальнейшие усовершенствования этих ме­ тодов дают все меньший и меньший эффект.

длина смешения пропорциональна расстоянию от стенки:

где k* — универсальная константа, значение которой приблизительно равно 0,40. Для этой области вблизи стенки можно получить простое выражение для профи­ ля скорости, если принять, что т= т0. Комбинируя урав­ нения (4.13) и (4.14) и применяя это допущение, нахо­ дим, что

где С — постоянная. Другое выражение для длины сме­ шения было предложено Карманом; это выражение основывается на размерных аргументах и записывается следующим образом:

где k* также представляет универсальную постоянную, но значение ее равно 0,36, а не 0,40.

90

Комбинируя уравнения (4.3), (4.13) и (4.16) и инте­ грируя при граничных условиях (du/dy)— ѵоо при у— >-

— >"0 и и —Ммакс при у=Го, получаем следующее выраже­ ние:

= - т г К 1 ~

(4.17)

Уравнение (4.17) известно как «закон дефекта ско­ рости» Кармана и дает результаты, достаточно близкие к экспериментальным данным о профиле скорости как для шероховатых, так и гладких труб. В действительно­ сти уравнение (4.16) не вполне применимо к круглой трубе, хотя его часто используют при расчетах. Еще бо­ лее близкое согласование с экспериментальными данны­ ми о профиле скррости может быть получено путем рас­

В уравнении (4.18) постоянная k* имеет значение, равное приблизительно 0,40. При турбулентном течении в области, близкой к стенке, где мало клубов, профиль скорости может быть представлен уравнением (4.10), в то время как в области, близкой к центру трубы, фор­ ма распределения скорости может быть вычислена с по­ мощью уравнения (4.18). Другим приближением для профиля скорости возле оси трубы может быть парабо­ ла, уравнением которой являются первые два члена ря­ да Тэйлора, описывающего действительный профиль в этой области [271]. К параболической аппроксимации можно также подойти с помощью уравнения (4.18) пу­ тем раскрытия логарифмического члена.

Следующим шагом в анализе турбулентного течения с использованием закона дефекта скорости является

обеспечение связи между уравнениями (4.18) и (4.10),

аэто можно сделать, если взять произвольную величину

у+, к которой, как было принято, применимо уравнение (4.10) и которая использовалась в уравнении (4.15).

Значение постоянной С получают путем сопоставления уравнения (4.15) с уравнением (4.10) при подходящем

91

В области 5<//+<30 ни уравнение (4.10), ни уравне­ ние (4.19) не дают достаточно точных результатов; вследствие этого Карман предложил другое уравнение для указанной области. Таким образом, профиль скоро­ сти для турбулентного течения в гдадких трубах пред­ ставляется уравнениями (4.10), (4.20) и (4.19), а имен­ но:

уравнениями, часто называют «универсальным профи­ лем скорости». Было предложено множество других со­ отношений простого вида; очень содержательный обзрр этих соотношений приведен в работе [271].

Интересным, заслуживающим упоминания вкладом в эту область исследования является работа Дейслера [91], который создал модель для ламинарного и буфер­ ного слоев на основе экспериментального закона распа­ да клубов, проникающих в эти слои. Для турбулентного течения уравнение (4.4) может быть модифицировано и

лентной области (//+>30) Дейслер использовал модель Кармана, для которой е представляется следующим

где п — постоянная, имеющая значение 0,10. Из уравне­ ния (4.23) можно видеть, что вязкость клубов прибли­ жается к нулю по мере уменьшения расстояния до стенки.

92

4.3. П Р И М ЕН ЕН И Е ЗАКО НОВ О Д Н О Ф А ЗН О ГО ТЕЧЕНИЯ К РАСЧЕТУ К О Л Ь Ц ЕВ О ГО Д В У Х Ф А ЗН О ГО ТЕЧЕНИЯ

Для ламинарного кольцевого течения с жидкой плен­ кой анализ относительно прост и легко осуществим, если может быть точно установлено распределение касатель­ ного напряжения. Установить распределение напряже­ ний можно непосредственно по значению касательного напряжения на поверхности раздела фаз. Распростране­ ние этого подхода на турбулентные пленки дает менее точные результаты не только потому, что однофазные эмпирические модели не лишены недостатков, но и по­ тому, что (возможность их непосредственного применения к течению пленок сомнительна.

4.3.1. Вычисление касательного напряжения на поверхности раздела фаз

Касательное напряжение на поверхности раздела фаз можно определить, пользуясь значением потери давле­ ния, полученным из экспериментальных измерений. Для этого нужно составить баланс сил на цилиндрическом элементе трубы, охваченном межфазной поверхностью раздела. Баланс аналогичен тому, который приводит к уравнению (4.1) и по форме аналогичен балансу коли­ чества движения, выведенному для двухфазного тече­ ния в гл. 3. Главная разница между этим вновь полу­ чении балансом сил и тем, который представлен урав­ нением (3.8), состоит в том, что рассматриваемый эле­ мент в двухфазном потоке ограничен поверхностью раз­ дела фаз, а не стенкой трубы. Принимается, что толщи­ на пленки в рассматриваемом элементе постоянна и что изменения поперечного сечения газового ядра отсутст­ вуют. Это допущение не может быть точным, так как сдвиг на поверхности раздела фаз возрастает, а толщи­ на пленки уменьшается с уменьшением давления и уве­ личением скорости газа вдоль канала. Однако для слу­ чаев, представляющих наибольший практический инте­ рес, это обстоятельство не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на локальные балансы сил. Резуль­ тирующее уравнение для касательного напряжения на поверхности раздела фаз имеет вид:

93

интегралов в этом уравнении, были рассмотрены в гл. 3. Уравнение (4.24) является основным уравнением для вычисления касательного напряжения на поверхности раздела фаз, однако данные, необходимые для решения, очень скудны, если не отсутствуют вообще. Обычно при практических решениях прибегают к широким, до неко­ торой степени упрощающим допущениям, наиболее про­ дуктивное из которых состоит в том, что течение считают гомогенным с одинаковой скоростью во всем газовом ядре. Это допущение может иногда оказывать сущест­ венное влияние на вычисление члена, описывающего влияние ускорения, так как в системах с двухфазным течением профиль скорости течения газового ядра вытя­ нут (см. гл. 5) . В случае принятия допущения о гомоген­ ности течения получаем следующее выражение для зави­ симости скорости в газовом ядре от полной массовой

Рассматривая теперь второй член в правой части уравнения (4.24), можно исследовать отдельно течения газа и уносимой жидкости, что приводит после интегри­ рования к результату

и вводя их в уравнения (4.25), получаем:

94

Принимая, что плотность не зависит от осевого по­ ложения в пределах интервала öz или от радиального положения (это следует из предположения о гомогенно­ сти течения), найдем, что гравитационный член в урав­ нении (4.24) равен сумме весов двух фаз. Объемная до­ ля жидкости у в газовом ядре определяется просто из уравнения

получаемое в результате принятия допущений о гомо­ генности газового ядра, охарактеризованных выше, та­ ким образом, получается следующим:

Можно модифицировать это уравнение п соответст­ вии с конкретными потребностями, которые могут воз­ никнуть при решении практических задач. Пример, ко­ торый имеет и некоторую практическую ценность, помо­ жет наглядно проиллюстрировать процесс решения.

Рассмотрим случай испарения или конденсации одно­ го компонента, имеющего скрытую теплоту парообразо­ вания к. Принимается, что в системе имеет место коль­ цевое течение с нулевым уносом жидкой фазы, а тепло­ вой поток от стенки к потоку равен Ф (в случае конден­ сации Ф отрицательно). Используя допущение о нуле-

95

вом уносе жидкой фазы, получаем из уравнения (4.31), что

Уравнение (4.35) представляет собой простое выра­ жение для определения касательного напряжения при при­ нятых условиях (нулевой унос, постоянный тепловой по­ ток по периферии канала). На первый взгляд может по­ казаться, что касательное напряжение увеличивается в процессе конденсации и уменьшается в процессе испа­ рения. Это не совсем верно, так как полный градиент давления изменяется в ответ на изменение осевого коли­ чества движения, происходящее от изменения расхода пара. Как будет показано в гл. 10, касательное напря­ жение часто приблизительно равно его значению при адиабатном течении при тех же условиях течения.

4.3.2. Распределение касательного напряжения в пленке жидкости

Рассмотрим случай вертикального кольцевого двух­ фазного течения с равномерным расходом жидкости по периферии, одинаковой толщиной пленки и с гладкой поверхностью раздела газ — жидкость, как показано схе­ матически на рис. 4.3. В этой осесимметричной системе направление вверх принято положительным. Уравнения, которые выводятся ниже, непосредственно применимы к положительному направлению течения, но они также могут быть применены как к однонаправленному, так и

96