книги из ГПНТБ / Хьюитт Дж. Кольцевые двухфазовые течения

Майлзом {252], состоит в том, что, сохраняя допущение о невязкой жидкости, в то же время допускают сущест­ вование профиля скорости. Такое приближение будет более точно описывать реально существующие условия

будет двигаться быстрее, чем волна. С другой стороны, вблизи поверхности раздела волна будет двигаться быстрее, чем газ; таким образом, на каком-то расстоя­ нии от поверхности существует слой, называемый «кри­ тическим слоем», в котором газ и волна имеют совер­ шенно одинаковые скорости.

Изображенный в системе координат, движущейся с волной, профиль скорости имеет вид, показанный на рис. 6.5, причем критический слой находится в точке с нулевым значением скорости.

При течении невязікой жидкости закон Бернулли вы­

* Читатель обратит внимание на то, что член, характеризую­ щий гравитационный напор, в приведенном выше уравнении, выра­ жен не явно. Однако поскольку речь идет о движении текучей сре­ ды, изменение поля давления от того состояния, которое имеет место, когда жидкость находится в покое, является важной переменной и удобнее воспользоваться относительным давлением р ~ ( р —рgz). Это относительное давление используется во всех дальнейших выво­ дах этой главы.

157

или в подвижной (связанной с потоком) системе коор­ динат

где s — расстояние, измеряемое вдоль линии тока. Из этого уравнения можно видеть, что изменение скорости частиц потока 6и вследствие малого изменения давле­ ния 6р равно:

Р(и — с)

Таким образом, для линий тока возле центральной линии, где и—с велико, изменение скорости, обусловлен­ ное изменением давления, будет мало и может быть легко отнесено за счет небольшого расхождения линий тока в случае замедления или сближения их в случае ускорения (см. также рис. 6.4). Совсем иное положение существует вблизи критического слоя. Здесь и—с при­ ближается к нулю и поэтому небольшое изменение дав­ ления будет приводить к очень большим изменениям скорости; последствия этого явления будут рассмотрены ниже. Величина области, на которую, как можно пред­ полагать, распространяется это влияние, — «области кри­ тического слоя» будет зависеть от градиента скорости, нормального к линии тока в критическом слое.

Для того чтобы определить влияние изменений ско­ рости, которое происходит вблизи критического слоя, рассмотрим случай движения частиц по линии тока, отстоящей от поверхности раздела фаз несколько даль­ ше, чем критический слой. Когда частицы проходят от пучности по направлению к впадине волны, они по­ падают в область более высокого давления, так что бр положительно и скорость частиц должна уменьшаться. Необходимое большое изменение скорости может быть только у тех частиц, которые при движении оказались ближе к критическому слою, чем их первоначальная ли­ ния тока. Их остаточная поступательная скорость вносит их в область еще большего давления, так что они про­ должают приближаться к критическому слою и в конце концов пересекают его (рис. 6.6). Сделав это, они вхо­ дят в область, где течение имеет обратное направление относительно волны, и тут происходит обратный процесс. Таким путем возникает серия «вихрей», центры которых находятся на пучностях волны (рис. 6.7). Теперь остает-

158

ся определить влияние, которое критический слои оказы­ вает на давление у поверхности раздела фаз. При усло­ вии, что область критического слоя тонка (т. е. градиен­ ты скорости велики), форма линий тока в газовом потоке снаружи этой области будет очень похожа на форму линий тока для случая Кельвина — Гельмгольца, описанного выше, так же как и результирующие гра­ диенты давления. Имеются, однако, дополнительные со­ ставляющие, возникающие от действия вихрей в пре­

профилю критического слоя (см. рис. 6.7). В частности, в самом критическом профиле газ течет вдоль нормали. Следовательно, должен существовать дополнительный градиент давления в направлении, нормальном старым линиям тока, вызывающий это движение газа.

Майлз [252] показал, что присутствие критического слоя вызывает изменение нормального давления в фазе с наклоном волны. Это означает, что градиенты давле­ ния в области критического слоя будут иметь форму, показанную на рис. 6.8. Эти результаты должны затем

159

быть рассмотрены совместно с результатами в форме, показанной на рис. 6.3, чтобы получить полное решение для нормального напряжения, действующего на поверх­ ность раздела. Майлз выразил свое решение для ампли­ туды давления на поверхности раздела в фазе с накло­ ном волны таким образом:

где /о — определяющая (эталонная) длина, например радиус трубы. Штрихи у символов означают диффе­ ренцирование по п, а индекс с означает, что значение величины вычислено для критического слоя. Значения ßi в функции положения критического слоя показаны на рис. 6.9 для случая логарифмического профиля скорости. Эта зависимость показывает, что вклад в нормальное напряжение пренебрежимо мал, если координата поло-

Наветренная сторойа -■ волны

Максимальный, наклон

Пучность или впадина

Зр/дп

Расстояние от поверхности раздела

М иним альны й наклон.

Подветренная сторона волны

П олож ение критического слоя

Рис. 6.8. Дополнительная компонента градиента давления, нормальная поверхности раздела и обу­ словленная влиянием критического слоя.

жения критического слоя больше, чем l/k или Х/2л. Другое следствие, вытекающее из уравнения (6.6), за­ ключается в том, что вклад в нормальное напряжение отсутствует, если профиль скорости имеет отрицатель-

160

пуіо кривизну в критическом слое (т. е. и"с<0). Это условие является недостаточным в случае осесимметрич­

близко к поверхности раздела. Поскольку наличие кри­ тического слоя ведет к появлению синусоидальной со­ ставляющей давления в фазе с наклоном волны, резуль­ тирующая сила воздействует на волновую поверхность с последующей передачей энергии. Таким образом, вол­ на будет расти, если скорость передачи энергии больше, чем диссипация энергии в результате вязкого взаимо­ действия внутри пленки жидкости. Подробный анализ описанного выше явления, основываясь на явлении кон­ векции вихрей, представлен Лайтхиллом [228].

В однонаправленном кольцевом течении максималь­ ная скорость в пленке жидкости обычно имеет место на поверхности раздела фаз. Это означает, что критический слой не может существовать в пленке жидкости, если он уже существует в газовой фазе. В противоточном те­ чении с волнами, движущимися вниз, в одном направле­ нии с пленкой, критический слой может существовать или отсутствовать в обеих фазах.

6.4. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ

Для более четкого понимания механизма передачи энергии от газовой фазы в случае, когда принимается в расчет вязкость, полезно рассмотреть пример течения около неподвижной твердой волновой граничной поверх-

ности. В этом случае не существует критического слоя и скорость газа у граничной поверхности равна нулю. Как и в предыдущих случаях, наличие волновой гранич­ ной поверхности вызывает уменьшение давления в ме­ стах пучностей и возрастание в местах впадин. Таким образом, когда газ обтекает пучность волны, он входит

в)

Рис. 6.10. Влияние вязкости на линии тока вблизи волновой поверхности раздела.

в область противодействующего градиента давления. Вследствие вязкостных эффектов в пограничном слое вблизи поверхности раздела сил инерции оказывается недостаточно, чтобы преодолеть этот градиент, и поэто­ му происходит отрыв, сопровождаемый поворотом тече­ ния с подветренной стороны волны (рис. 6.10,я). Этот отрыв приводит к тому, что линии тока располагаются дальше от поверхности раздела, особенно при наличии фазового угла относительно волны. Как следствие, уста­ навливается нормальное напряжение в фазе с наклонов

162

полны, обусловливая повышенное давление с наветрен­ ной стороны пучности волны и пониженное — с подвет­ ренной стороны. Для газожидкостных систем, где крити­ ческий слой достаточно удален от поверхности раздела (т. е. за пределами влияния вязкого пограничного слоя), создается положение, которое в системе координат, дви­ жущейся со скоростью волны, выглядит так, как это показано на рис. 6.10,в. Скорость волны выше, чем ско­ рость газа, прилегающего к поверхности раздела, так что отрыв потока теперь будет происходить с наветрен­ ной стороны волны. Это приводит к установлению пони­ женного давления на наветренной стороне волны и по­ вышенного давления — на подветренной стороне. Если такое состояние поддерживается, энергия должна отни­ маться от жидкой фазы, и волны будут постепенно га­ ситься, если только не будет поступать достаточно энергии в результате возникновения вихрей в критическом слое.

Существуют также промежуточные случаи, когда кри­ тический слой находится близко к поверхности раздела фаз. В этих случаях (рис. 6.10,6) все еще может суще­ ствовать небольшая область отрыва на наветренной сто­ роне волны. Однако критический слой, занимающий по­ ложение, при котором скорость равна нулю, в данном случае тоже можно рассматривать как форму гранично­ го слоя, показанного на рис. 6.10,а, вызывающего эф­ фект, аналогичный эффекту неподвижной твердой по­ верхности, рассмотренному выше. Таким образом, тип поведения с областью отрыва может иметь место на под­

слое). Происходящее явление отрыва фактически нару­ шает симметрию этих вихрей, в результате чего линии тока вихрей сжаты с наветренной и растянуты с подвет­ ренной стороны волны. Суммарный эффект, как и преж­ де, состоит в сдвиге линий тока далеко от поверхности раздела и от области критического слоя, что вызывает возникновение результирующего нормального напряже­ ния в фазе с наклоном волны.

На волновую поверхность раздела фаз могут также оказывать воздействия касательные напряжения. Они состоят из установившегося касательного напряжения, которое не оказывает дополнительного суммарного воз­ действия на волну, и напряжения возмущения, возника­

<1

обсуждался выше. Например, в случае, показанном на рис. 6.10,а, будет действовать дополнительное касатель­ ное напряжение, направленное вверх с обеих сторон вол­ ны. Такие влияния вязкости были проанализированы Брук-Бенджамином (39]. Как и раньше, нормальное на­ пряжение в фазе с перемещением волны является вели­ чиной, которая как первое приближение вычисляется па основе анализа Кельвина-— Гельмгольца. С другой сто­ роны, амплитуда нормального напряжения в фазе с на­ клоном волны описывается уравнением

164

по становится очень малой, а затем и отрицательной при больших значениях.

Выражение для нормального напряжения в фазе с наклоном волны содержит два члена, первый из кото­ рых не зависит от числа Рейнольдса газовой фазы, а вто­ рой зависит от числа Рейнольдса и, следовательно, от вязкости. Величина обоих членов сильно зависит от по­ ложения критического слоя, и ни один член не играет существенной роли, если критический слой удален от по­ верхности раздела фаз более чем на длину волны.

Брук-Бенджамин получил также приближенные вы­

ного напряжения отстает на 30° от изменения поверхно­ сти раздела фаз; таким образом, максимальное каса­ тельное напряжение имеет место в точке Я/12 от пучно­ сти на наветренной стороне волны.

Для больших значений Z0 выражение (6.11) имеет вид:

означает, что изменение касательного напряжения опе­ режает изменения поверхности раздела на 45°. Теперь ма­ ксимальное касательное напряжение имеет место в точке Я/8 от пучности на подветренной стороне волны и дейст­ вует в направлении, противоположном действию устано­ вившегося касательного напряжения. Оба эти результата находятся, таким образом, в соответствии с физическим описанием, данным выше.

При выводе своих результатов Майлз и Брук-Бенд­ жамин ограничивались случаями, в которых волны име­

ли большую длину, т. е. ky = 2nylX были малы. Таким образом, за исключением случая, когда дело идет об очень малых амплитудах волн, это ограничение подра­

165

зумевает большую Длину волны и малые значения к. Сравнивая уравнение (6.11) для касательного напряже­ ния с уравнением (6.5) для нормального напряжения, можно заметить, что вклад в силы, стремящиеся изме­ нить форму волны, от флуктуирующего касательного на­ пряжения будет значительно меньшим, чем от нормаль­ ного напряжения.

Уравнения Брук-Бенджамина для ß2 и Ts могут быть также применены к течению в трубе в том случае, если радиус трубы больше длины волны.

Если силы, действующие на волну, проинтегрировать по длине одной волны с целью определения дополни­ тельной результирующей силы, с которой газовая фаза воздействует на поверхность раздела, результирующий вклад от касательного напряжения оказывается равным нулю. Дополнительная сила (которую можно рассмат­ ривать как функцию трения, вызываемого сопротивлени­ ем формы) является результатом нормального напряже­ ния в фазе с наклоном волны. Эта дополнительная сила может быть причиной очень сильного возрастания эффек­ тивного значения коэффициента трения.

Смит и Тейт [320] провели сравнение эксперименталь­ ных результатов Конобеева и Жаворонкова [211] для дополнительных потерь давления или коэффициента тре­ ния, вызываемых твердой волновой граничной поверхно­ стью с вычисленными значениями, полученными с ис­ пользованием соотношений Брук-Бенджамина. Согласо­ вание результатов получено в пределах порядка величин, как и для случая, когда Смит и Тейт сравнивали собст­ венные результаты для течения газа над толстой плен­ кой жидкости с данными теории.

6.5. П Р И М Е Р В Ы Ч И С Л Е Н И Я У С Т О Й Ч И В О С Т И П О В Е Р Х Н О С Т И

Р А З Д Е Л А

При изучении устойчивости поверхности раздела к малым возмущениям всегда принимается, что наклон поверхности раздела везде мал. Это допущение означа­ ет, что уравнения движения текучих сред могут быть линеаризованы с последующим упрощением методов решения. Это упрощение становится возможным, так как любую обобщенную форму возмущений можно теперь рассматривать как сумму ее Фурье-компонентов, и по­ этому необходимо только рассмотреть устойчивость обоб­ щенной синусоидальной волны.

166