книги из ГПНТБ / Хьюитт Дж. Кольцевые двухфазовые течения

Уравнение стационарной волновой поверхности раз­ дела может быть написано как

волны должен быть малым, записывается следующим

где 0( ) обозначает порядок величины. Если теперь волна движется со скоростью с, уравнение для поверх­ ности раздела принимает вид:

то уравнение поверхности раздела становится таким:

^/1

Это означает, что если с/>0, то амплитуда волны возрастает по экспоненциальному закону в зависимости от времени, если С/<0 — амплитуда волны уменьшается по экспоненциальному закону в зависимости от времени, если С/ = 0, — амплитуда волны остается постоянной.

Задачу устойчивости межфазной поверхности разде­ ла можно, таким образом, рассматривать как опреде­ ление тех значений параметров течения и движущихся оред, при которых Cj положительно для данного числа волн k. Этот метод будет проиллюстрирован на приме­ ре рассмотрения неустойчивости Кельвина — Гельмголь­ ца в кольцевом течении. При этом будет принято, что волновые возмущения осесимметричны, и поведение га­ зовой фазы будет рассмотрено в первую очередь.

167

Возмущения поверхности раздела сопровождаются колебаниями скорости и давления в газовой фазе. Так как течение осесимметрично, то скорости могут быть представлены с помощью функций потока Стокса1 в виде

где -ф(г) служит для получения решений при установив­ шемся течении, а второй член применяется для расчета возмущений, вызываемых волновой поверхностью. В аналогичном же виде может быть выражено давление:

Подстановка этих выражений в уравнение движения2, исключение установившегося решения и пренебрежение членами второго порядка в «возмущенных» величинах приводит к уравнениям

Исключение р из этих уравнений дает уравнение Орра-Зоммерфельда в цилиндрических координатах:

1 Эта форма функции потока определяется таким образом:

2 В осесимметричном течении уравнения движения в цилиндри­ ческих координатах имеют такой вид:

168

Это уравнение должно быть решено так, чтобы удов­ летворялись граничные условия, относящиеся к данной задаче. В этом уравнении все члены, зависящие от вяз­ кости, содержатся в выражении в правой части уравне­ ния так, что эквивалентное уравнение для невязкой сре­ ды будет иметь вид:

- Л Ч ) ? = °- (6.26)

Вторая группа из членов в левой части уравнения определяет влияние критического слоя, поскольку будет видно, что этот член является доминирующим, когда Uq приближается к с. Для неустойчивости Кельвина — Гельмгольца установившаяся скорость uq не изменяет­ ся по сечению газовой фазы, и соответствующее урав­ нение для функции потока записывается так:

гОно имеет общее решение:

где /і и Кі — модифицированные функции Бесселя пер­ вого порядка.

Радиальная составляющая скорости находится из уравнений (6.20) и (6.27) и равна:

Теперь условие осевой симметрии требует, что ради­ альная составляющая скорости была равна нулю на оси трубы, что в свою очередь означает, что В должно быть равно нулю. Тогда

Другая постоянная интегрирования вычисляется из граничного условия на поверхности раздела, уравнение которой имеет вид:

Как упоминалось выше, течение в случае невязкой жидкости однородно и скорость в осевом направлении равна (ÜG—с) во всех точках, включая поверхность раз-

169

Дела. Поэтому с точностью до 'приближения первого по­ рядка составляющая радиальной скорости на поверхно­ сти раздела равна:

Сравнение уравнений (6.29) и (6.31) показывает, что

(6.32)

Л (кп)

где использованы п = ( г 0—т) и такая же степень при­ ближения. Таким образом, из уравнения (6.27)

Амплитуда колебаний составляющей давления может быть выведена из уравнения вида (6.23) для невязкой среды:

где постоянная интегрирования исключена в соответст­ вии с условием о том, что возмущающее давление *р'= О при / = 0 . Хотя это и не абсолютно точно, но вполне приемлемо, так как колебания давления на оси оказы­ вают влияние второго порядка.

Нормальное напряжение, создаваемое действием га­ зовой фазы на поверхности раздела, направлено нару­ жу и перпендикулярно поверхности, так что

Как и следовало ожидать, этот результат показыва­ ет, что газовая фаза создает нормальное напряжение, которое на 180° отличается по фазе от перемещения вол-

170

ны. Для очень больших отношений радиуса к длине вол­ ны /0(£?<)< 1 и отношение h(kri)/h(kfi) стремится к единице. Уравнение (6.37) тогда приводится к эквива­ лентному выражению для бесконечной газовой среды:

в случае бесконечной газовой среды, имеющей ту же скорость газа. Для меньших величин k?i это отношение быстро уменьшается; однако этот анализ не будет пра­

Было уже установлено, что для линеаризации урав­ нения движения составляющие скорости возмущения

используется переменное расстояние г/= (г0—г). В этом случае уравнения движения приводятся к виду:

171

где D = d/dy *.

Комбинирование этих уравнений с целью исключения

К иу применимы также граничные условия:

иу= 0 при у = О

иу = — ikm (иL — с) ет при у = т.

Эти граничные условия дают возможность опреде­ лить А и В; конечное выражение для амплитуды функ­ ции возмущенного потока будет иметь вид:

172

Используя «невязкую» форму уравнения (6.41), по­ лучаем амплитуду возмущений давления:

(для исключения постоянной интегрирования было использовано условие о том, что р' у твердой стенки равно нулю). Амплитуда нормального напряжения, дей­ ствующего на поверхность раздела, в результате дви­ жения в жидкой фазе тогда равна:

Случай бесконечно глубокого слоя жидкости соот­ ветствует большим числам іkin и в этом случае уравне­ ние (6.48) приводится к виду

На рис. 6.13 показано, как отношение NiLjN.Loo изме­ няется в зависимости от изменения km. Пленка жидкости

при кольцевом течении в общем случае тонка, так что для длинных волн km будет мало. В этом случае урав­ нение (5.48) очень точно аппроксимируется для km < 1 выражением

173

Подстановка уравнений (6.37), (6.48) и (6.52) в урав­ нение (6.51) даст следующее характеристическое урав­ нение для движения волны:

Для длинных волн и нормальных условий кольцевого течения уравнение (6.53) может быть упрощено и при­ ведено к виду

pL ( \ — c f km - f pG (WG — c f — ak. (6.54)

Это уравнение 2-й степени относительно с. Его реше­ ние:

Таким образом, с будет всегда действительной вели­ чиной при условии,что

Если это условие не удовлетворяется, действительная и мнимая части скорости волны таковы:

~2~kmPLaL + Pg“g

(6.57)

~2 km?L+ Pg

1/2

[4 " p£ ?Gkm (aG ~ ад г — ak (f~r ?Lkm+ Po )

И наоборот, уравнение J6-59) может быть переписа­ но таким образом, что оно будет давать число волн для

174

безразличію устойчивых волн при данной относительной скорости и толщине пленки, т. е.

Для растущих волн скорость возрастания амплитуды пропорциональна еkcI t [см. уравнение (6.19)]. Число волн

для максимальной скорости роста, таким образом, удов­ летворяет условиям

с максимальной скоростью роста, которое представляет решение уравнения

Экспериментальные наблюдения волн в воздушно­ водяном подъемном кольцевом течении показывает, что р* ^ k m , так что

Таким образом, волны максимальной скорости роста имеют длину волны, которая приблизительно в два раза больше длины безразлично устойчивых волн.

Уравнение (6.59) показывает, что не существует кри­ тической скорости газа, ниже которой волны не будут расти, так как независимо от величины расхода жидко­ сти (и, следовательно, т) k может быть всегда подобра­ но так, чтобы удовлетворить этому уравнению. Уравне­ ние (6.60), однако, дает результаты, которые подтверж­ даются экспериментальными наблюдениями. Это значит, что длина волны безразлично устойчивых волн быстро понижается с увеличением расхода газа.

Наблюдения за переходом от области устойчивых волн к области растущих волн были проведены ХоллТзйлором и др. [146], Неддерманом и Шерером [262] и Холл-Тэйлором [144]. Эти результаты показывают по­ нижение критического числа Рейнольдса жидкости с воз­ растанием вязкости жидкости и с уменьшением поверх-

175

постного натяжения. Некоторые результаты показаны на рис. 6.14. Эти кривые могут быть получены из уравнений типа выведенного выше, если только имеется дополни­ тельная информация, на основании которой можно опре­ делить либо к, либо т в области перехода. Даже тогда мало вероятно, что простой подход, описанный выше, даст возможность определить наблюдаемый в экспери-

Рис. 6.14. Влияние вязкости на зарождение волн.

ментах переход. Можно ожидать улучшенного согласо­

учесть влияние вязкости и критического слоя. Такая по­ пытка была сделана Холл-Тэйлором [144], однако его результаты являются лишь предварительными. Другие аналитические методы исследования устойчивости, при­ менимые к вертикальным системам, приводятся в рабо­

кольцевого течения. Анализ устойчивости стоячей вол­ ны в вертикальной пленке жидкости был также пред­ ставлен Шерером и Дэвидсоном [311].

6.6. СКОРОСТЬ в о л н ы

Перед тем как приступить к анализу скоростей волн в вертикальном кольцевом течении, рассмотрим специ­ альный случай, касающийся скоростей волн в стекаю-

176