книги из ГПНТБ / Хайков А.З. Клистронные усилители

и отсюда К= ( — 1 ) м , а

м

е№ ' = WXp'f

+ 1 — р?{N~M)

П

''"с'1 / ( р ' ) 2 +

' ~ р ' + W c '

. = ,

« с / / ( р ' ) 2

+ 1 + р' -

i /с :

Уничтожив иррациональность в знаменателе,

получим

м

'1 / '( P T +

'~(p'~i/'-'')]2,

=

[ ] / ( р ' ) 2

+ 1 -

р ' ] 2("-А"ПU c

(8.34)

' = 1 '

'«c2 a(p')2 +

i ] - ( p ' - i / c < ) 2

Л(

П " ? " ( ^ l

= [ V W + T + P ' J 2 ( " - Л 0

! ~ ^ ~ i | C f ! ] • С 8 - 3 5

' П с И ( Р ) + 1 ] — ( Р — I ' c )

С помощью этих в ы р а ж е н и и

найдем, что

c h W

=

^ l

.

,

(8.36)

где

Л 2 л ' ( р О

и

^2 M(P'J — соответственно

полиномы

степеней

2N и

2Л1

( р а д и к а л ы в числителе

при сложении

елу

и Q~W

взаимно

унич­

т о ж а ю т с я ) .

Таким

образом,

потенциал

црототипного

поля

опре­

делен.

Теперь на

основании

в ы р а ж е н и я (8.23)

м о ж н о

непосредственно

найти аппроксимирующую

функцию

F(р')

=

eW '"=

L

~ E

'

,

,х

,

(8.37)

*2М

(Р')

и эта функция при р'—\0.'

будет

иметь вид характеристики

Чебы-

шева.

F(p')

Полюсы

функции

определяются

ка к корни

уравнения

Aw(Р)

+ ± 1

Т ^ - А м

(Р') =

°.

(8-38)

полюсам функции

W(p')

соответствуют к о р н и этого уравнения, ле­

ж а щ и е в левой полуплоскости р'.

В ур-нии (8.38) коэффициенты перед нечетными степенями бу­

дут м н и м ы м и

и корни уравнения,

л е ж а щ и е

в левой

и правой

полу­

плоскостях,

к а к и

следовало

о ж и д а т ь , располагаются

симметрично

относительно мнимой оси. Поскольку необходимо

учитывать

зави­

симость нулей функции *¥(р')

от полюсов

этой

функции,

истинное

значение полюсов

4f(pf)

м о ж е т

быть найдено

методом

последова­

ным трансцендентным уравнением, так как его коэффициенты

зави ­

с я т от значения корней. Комплексные корни алгебраических

урав ­

нений высоких степеней т а к ж е

определяются методом последова­

тельных д р и б л и ж е н и й . Отличие

в р а с с м а т р и в а е м о м случае

з а к л ю - .

чается в том, что после определения к а ж д о г о п р и б л и ж е н и я

корней

щеобходимо уточнять значения коэффициентов уравнения .

Расчет­

ные соотношения, п о з в о л я ю щ и е

определить коэффициенты

уравне -

ния для клистронов с различным числом

резонаторов, д а н ы в

П р и ­

л о ж е н и и 1. В П р и л о ж е н и и 2 приведены

т а б л и ц ы - п а р а м е т р о в

ре­

теристики

Ч е б ы ш е в а

для функций тока и

усиления. Эти

т а б л и ц ы

д л я широкого класса

значений

электрических и геометрических

па ­

р а м е т р о в КЛ'НСТрО'НОВ

'бы­

ли

.рассчитаны

с

помо ­

щью ЭВМ .

В '.к а>ч естве п р им ер а н а

рис. 8.13а оплошными ли­

ниями

п о к а з а н ы

ампли­

тудная

и

ф а з о в а я

•харак­

теристики

тр ехрезон ато р -

ного

клистрона,

пр и

е =

=Ю,1,

Ci = o2 +i; &o-

Пунк ­

тиром

п о к а з а н ы

характе ­

ристики

для

обычного

тр ехкаск адн ого

у сил ите-

ля .

Д и а г р а м м а

нулей и

полюсов

д л я р а с с м а т р и ­

-f

ваемого с л у ч а я и з о б р а ж е ­

5)

на на рис. 8.11136. Стрел­

ками

п о к а з а н о

смещение

•0,5"

полюсов

от первоначаль ­

ных позиций, (которые со­

ответствовали

полюсам

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

&

функции

усиления

обьгч

Рис.

8.13

ного

усилителя,

и

смеще ­

ние нуля,

первоначально

полюса Ъ2.

вычисленного д л я исходного

значения

К а к

видно

и з

этого рисунка, из - за н а л и ч и я н у л я в высокочастотной части

частот ­

ральной

частоты. О д н а к о

амплитудно - частотная характеристика;

имеет все п р и з н а к и чебышевской

аппроксимации .

8.4. Характеристика Баттерворса

Если требуется получить характеристику Баттерворса

(макп-ь

•мально плоскую амплитудночастотную характеристику)

функции

усиления

или тока, удобно

воспользоваться предельным

переходом

д л я решения,

соответствующего характеристике Ч е б ы ш е в а . В этом

случае мы

д о л ж н ы положить, что дл я характеристики

Ч е б ы ш е в а

п а р а м е т р ы

е и Q0 одновременно стремятся к

нулю. Тогда

согласно

ф-ле (8.23) экспоненциально - потенциальная

функция д л я

кванто ­

ванного

распределения

з а р я д о в

и искомая

а п п р о к с и м и р у ю щ а я

функция F(р)

определяются следующим в ы р а ж е н и е м :

F (р) = eWQ = lim

.

(8.39)

И з

этого в ы р а ж е н и я

легко

получить

ф-лу (8.24)

дл я случая,

к о г д а

все нули F(p)

находятся

в бесконечности,

если

найти

пре­

дельное значение

комплексного

потенциала прототипного поля, ко­

торый

при этом

определяется по ф-ле (8.11). Д л я клистроиного

усилителя

часть нулей F(p) р а с п о л а г а е т с я

в конечных

точках пло­

скости р н экспоненциально - потенциальная

функция

прототипного

поля

определяется

в ы р а ж е н и я м и (8.34)

или (8.35). Чтобы

найти

предельное

значение c\\W, рассмотрим

как изменяются величины

e w

и

e~w.

Если ширину полосы аппроксимации характеристики Чебышева

устремить

к нулю, то в

соответствии с в ы р а ж е н и я м и

(8.29)

пара­

метры, определяющие положение нулей на плоскости р,

Яо * 1 -* УЧ -+Ql = Н ЙО , 2 - Q0

•

Производные параметры, определяемые п о ф-лам

(8.33),

Тогда,

используя в ы р а ж е н и я

(8.34)

и

(8.35),

получим, что при

Йо-*-0

e - v

if

(JP.)m

П

,е *'_* 0.

(8.40)

\ а а

)

(р- С() (р + а)

П р и условии, что

S o - 0

функция

F(P)

=

-

,

(8.41)

Д щ ( Р ) ~ П (

p

- y + c d .

(8.42)

i=i

И з последних

в ы р а ж е н и й

видно,

что при р = с,

функция F(p),

как

и следовало

ожидать, о б р а щ а е т с я

в нуль. К р о м е

того, при раз ­

ложении F(p)

в р я д Тейлора

около

точки Q = 0 мы получим, что

F(Q)

— l—Q2N±...,

что и соответствует

характеристике Баттервор -

lim

< P - C < H P + ^ >

= - 1

или при p — \Q

F (Я) =

Ц т , - '.

Если

принять,

как

обычно,

что относительной

расстройке

Qo

соответствует уровень половинной мощности, то получим,

что по­

стоянная

K—Q^~2N

. Более

удобно вновь

ввести

п а р а м е т р

неравно­

мерности

1г, определяемый

из условия

(7.23)

-в полосе

аппроксима­

ции. Тогда

/ < = M 2 ~ 2 W

и

для

многокаскадного

усилителя

получим

ф-лу (8.24). Сохраним

то ж е

значение

К дл я

случая произвольного

р а с п о л о ж е н и я

нулей. Тогда

F (Р)

=

—

•

(8.43)

В2М (р')

П р и

этом

| x

F ( ± Q o ) \ 2

ф \ +h,

так как из-за

несимметрии

нулей

функция

[ X F ( Q ) | 2

т а к ж е

несимметрична . Запись в ф о р м е

(8.43)

и з б а в л я е т

от

необходимости

определять

величину

К д л я

к а ж д о г о

частного

значения нулей функции х¥(р)

и, кроме

того, величина

Q0

оказывается

непосредственно

связанной

с

относительной

полосой

усиливаемых

частот при

заданном

уровне

неравномерности,

хотя

в общем с л у ч а е

и не равна

ей.

Полюсы функции х¥(р)

определяются

методом

последователь ­

ных п р и б л и ж е н и й

как корни

уравнения

(Р'Г

+ ( ~

lf+M

~

В2М

(р')

=

0,

(8.44)

л е ж а щ и е

в левой

полуплоскости р'.

Расчетные

соотношения

д л я

клистронов

с

различным

числом

резонаторов

приведены

в

Прило ­

ж е н и и А .

В качестве примера на рис. 8.14а сплошными линиями

показа ­

ны а м п л и т у д н а я

и ф а з о в а я

характеристики клиетронного

усилителя

д л я

частного

случая п—3,

h=\

и с±='б2 + i£2o-

Д и а г р а м м а

нулей и

полюсов

д л я

этого

примера

и з о б р а ж е н а

на

рис. 8.146.

С т р е л к а м и

п о к а з а н о

с м е щ е н и е

нуля

и полюсов

от позиций,

соответствующих

первым

приближениям .

8.5. Линейная

фазовая, характеристика

В

ряде

случаев, когда

не ставится

з а д а ч а

получения

м а к с и м а л ь ­

но возможной

ширины полосы

пропускаемых

частот,

м о ж е т

ока­

заться полезным,

чтобы

ф а з о в а я характеристика

усилителя

была

м а к с и м а л ь н о линейной. Иногда такую

характеристику

называют

характеристикой Томсона. В

некоторых

р а б о т а х

она получила

на­

з в а н и е характеристики

Бесселя .

М е т од получения линейной фазовой характеристики

или, что то

ж е

самое,

максимально плоской

характеристики

времени

запазды ­

вания д л я многокаскадных

усилителей

и д л я пассивных

цепей

был

р а з р а б о т а н

Томсоном |[80]. Идея

метода

заключается в том, что па­

раметры л е п и

определя ­

ются

из

условия

равенст­

ва н у л ю

2 N—1

производ ­

ной от

ф а з ы

п о

частоте

(начиная

с о второй

про ­

изводной)

л р и

одном

оп­

ределенном значении

час­

тоты. Трудности

решения

задачи синтеза цепи клис-

тронного

усилителя,

ввя­

занные

с

тем,

что

нули

функции усиления

(тока)

могут

быть

р а з м е щ е н ы

произвольным

образом на

1— г

п ло око сти

коми л ек оно й

частоты, н е п о з в о л я ю т не­

-1

посредственно

найти

ус­

-0,5

ловия

получения

линей­

ной

фазовой

характери ­

стики.

Однако,

к о л ь

ско ­

-/

-0,5

0,5

1,5

Я'

ро р е ш е н и е для многокас­

кадного

усилителя

име­

Рис. 8.14

ется,

оно

может

быть в

первом

приближении

ис­

пользовано для усилителя

на

многорезонаторном

(клистроне.

Тог­

лены п а р а м е т р ы цепи, могут быть линеаризованы,

и окончательное

решение находится методом последовательных п р и б л и ж е н и й .

Функция усиления для обычного /^-каскадного

усилителя

может

быть представлена

в

виде

ч?(р) =

N

K

l

-

PN

(8.47)

bk)

(Р)

П

(Р

й=1

где

Ki

и Кг — некоторые

постоянные,

a PN(P) — полином

степени

N.

Если данный полином в ы б р а н таким

образом, что

PNP

BN

(8.48а)

где

р

.(х)=

у

(" + -У-

(.

(8.486)

я в л я е т ся

полиномом

Бесселя,

ф а з о в а я

характеристика

функции

xV(p)

будет максимально

линейной [23]. Последние соотношения по­

зволяют

определить

значения

полюсов

Ьк функции хУ(р).

Будем

считать, что коэффициент

Ki в ф-ле (8.47)

выбран р а в н ы м

единице

и, кроме

того, что при р—0

j 4х (0) | =

1. Тогда

д о л ж н о выполняться

условие

П

=

(8-49)

Полюсы функции с .максимально линейной фазовой характери ­

стикой при н о р м а л и з а ц и и

такого

в и д а

п р и н и м а ю т

значения,

при­

веденные в табл . 8.3 дл я разных

N (81].

Т а к а я ж е

н о р м а л и з а ц и я

д л я

характеристики Б а т т е р в о р с а

отвечает

условию Л = 1 , т. е. поло ­

са отсчитывается на уровне

половинной

мощности. В случае линей-

Т А Б Л И Ц А

8.3

N

Ч

N

1

—1

4

—0,9047+10,2709

2

_—0.8660+Ю.5000

—0,6572+Ю,8301

Ь

—0,9265

3

—0,9416

—0,8516+Ю, 4427

—0,7456+10,7114

—0,5906+Ю,9072

ной фазовой характеристики п а р а м е т р

Q0 теперь не 'будет

опреде­

лять

относительную

расстройку,

соответствующую

А = 1 . Сравнить

полосы

усиления на р а з н ы х

уровнях

можно с п о м о щ ь ю рис. 8.15,

где

приведены

амплитудно -

и

фазо - частотные

характеристики,,со ­

ответствующие

линейной

фазовой характеристике

(сплошные ли­

нии)

и

характеристике

Баттерворса .

Пр и н о р м а л и з а ц и и

(8.49)

усиление, соответствующее

этим

двум

видам

характеристик,

од и

наково.

Функция

усиления или тока

4f(p)

дл я усилителя

на многорезо-

наториом клистроне при p =

iQ

м

м

= К П(Р-<*).

П[в

+ i ( Q - 0

)]

(8.50)

¥(£)

=

К

П

(Р-Ьк)

П[вА

+

« ( 0 - Й * ) 1

IP =

i a

fe=i

Ф а з а

функции ^( . Q )

м

(8.51)

(Q) =

arg Y (Q) = £

ф с

.(Q) -

£

<р4 k (Q),

i = i

fe=i

Тогда

в -области, л е ж а щ е й

вблизи точки

Q ' = 0 ,

ф а з о в а я

харак ­

теристика

будет

максимально

приближаться

к

идеальной

фазовой

характеристике:

(так как постоянная

с о с т а в л я ю щ а я

ф а з ы

не

имеет значения,

мож ­

но считать, что при Q' =

0

Ф . у = 0 ) .

Уравнения

(8.53)

на

основании

в ы р а ж е н и я

(8.52) могут

быть

записаны

следующим

образом:

N

Л/

=2 -3 --2 N -

( 8 -5 4 )

5 ? Й ( - У № Г =

J]Ф*7(-Ц)(V- v

4=1

i = l

Из

этой

системы

уравнений

д о л ж н ы быть определены

парамет ­

ры полюсов lk и Q'I,

( & — 1 , 2,

N).

Функции

вида <рЭД (—in)

яв­

ляются

рацио-налыными

д р о б я м и от аргумента

Н а п р и м е р ,

1

гг,(2) I.

t

. \ _ _ J L i * _

Р й ( - 6 . ) = - т ^ - .

Ф й ( - 6 * ) =

0 + Й ) 2

<3>,

П

2 ( 3 ^ - ' )

т ( 4 ) /

^

41 S f e (

1)

(1 + Ш 3

0

( 1 + Й ) 4

n(S) С—

: 4! ( 5 | £ - 1 0 £ * Ы )

( 6 ) /

t ,

61

( 3 ^ - 1 0 ^ + 3)

т( .6 2 (— Ы =

-

+ Ш 6

и т. д.

Ъ к К

W

3(1

Поэтому ур - ни я (8.54)

являются

нелинейными

алгебраическими

уравнениями . Решение такой системы уравнений облегчается,

если

предположить, что оно мало отличается

от соответствующего ре­

шения

дл я

функции

усиления

многокаскадного

усилителя.

Тогда

значения п а р а м е т р о в

полюсов последней можно использовать в ка­

честве первого приближения решений системы

ур-ний (8.54),

а са­

ми уравнения могут быть линеаризованы .

Будем считать, что положение нулей и, следовательно,

величи­

ны, стоящих

в п р а в о й части ур-ний

(8.54), известны. Тогда

разда ­

Тэйлора,

и

у д е р ж и в а я члены только первого порядка малости,

получим,

~~

* й (~ b

)

W

=

( -

о) (Q'koy +

Здесь

|ЙО и

Q 'fto — параметры, з а в и с я щ и е от параметров полюса

b'ko, который определяется

из табл . 8.3.

У ч и т ы в а я, 'что

получим систему уравнений

IN

[ - Ф ^ " ' » ( - 6» о) (Q'koy А Ы + V v ФДО ( ~ 6* о) ( Q M r ' A Q/e =

решение находится

методом

последовательных

.приближений,

так

к а к

после нахождения

поправки

на

положение

полюсов

функции

Чт(р)

нужно уточнить

положение

нулей

и т. д. Чтобы

определить

все

неизвестные

и

A.Q'i; ,

число

которых

равно

2N,

система

ур-ний

(8.55) д о л ж н а

быть дополнена уравнением,

которое связы­

вает

параметры

резонаторов

с параметром

амплитудно-частотной

характеристики

Qo. Д л я упрощения

решения

сначала

м о ж н о

счи­

тать, что какой - либо

один из параметров

полюсов

функции

х¥(р)

известен. Так, если функция

Чт(р)

является

функцией

усиления,

можно

положить, что з а д а н о

Q V

так как затухание выходного

ре­

цепи и когда она соответствует

клистрону в целом. В первом вари­

анте результирующая ф а з о в а я

характеристика, р а в н а я сумме фа­

линейной

в центральной части. Д а ж е если считать, что в

выходной

цепи за

счет использования дополнительных резонаторов

удалось

лителя

в целом, т. е. д л я функции усиления, а не

тока.

После того как будут найдены п а р а м е т р ы gf l

и Q'h, следует вы­

числить

амплитудно-частотную характеристику:

9*

259