Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

Д о к а з а т е л ь с т в о . Свойства а), б), г) и д) легко проверяются. Свойство в) фактически доказано при дока зательстве леммы 2 (см. следствия 1 и 2). Обратимся

к свойству е). Пусть glj2 ЕЕ Sc-

Цепочка равенств, в ко

торойй

используетсяg i *

лемма2 ]

(4,z

доказывает) =

это(

свойствоg i * : g

(

Й [gi] (z) • Й [ga] (z).

= (gi © , еі(гД)) (ga ©), еі(2Д>) =

а M e

а и и e.

Справедливы аналоги

свойств а) —

е) для обратного преобразования Лапласа.

Из леммы 5 вытекают следующие свойстваw ЕЕ Т пространстс

ва

Н С'-

пусть

(z)

ЕЕ

Н с \

тогда е*(г-л) / ( ), za / (z), Z>a / (z),

/ (z +

к?)

ееЕЕ

при

любых Я ЕЕ

txfx

произ

вольном

мультииндексе

а;

кроме

того,

(z)

£2/2 (z),

/ i(z)-/2

(z)

Я с ,

при

любых /1)2

(z) е Я с

и произволь

ных комплексных числах £1)2.

результатов сле

Отметим также,

что

из

полученных

дует, что S c обладает структурой алгебры относительно обычных операций сложения и умножения на комплекс ные числа и свертки. Аналогично, Н с обладает струк турой алгебры относительно обычных операций сложения и умножения функций и умножения их на комплексные числа. При этом преобразование Лапласа осуществляет

изоморфизм алгебр S c и Нс-

5.Некоторые применения преобразования Лапласа

Вприложениях наиболее часто встречаются обобщенные

функции g

ЕЕ

такие,

что supp g d

= С * .

Множест

FS0' (С*).

во

Твсех таких функций обозначается

При

этом

й [б1' (С*)]

состоит из

всех функций / (z), голоморфных

и удовлетворяющих

оценке определения 4 с

= О

и обозначается

(

С )

(

см. [4]). Из полученных выше ре

зультатов

следует,

что

(С*) и

Н (С)

являются подал

гебрами алгебр Sc и Н с соответственно, причем преобра зование Лапласа осуществляет изоморфизм алгебр S ' (С*)

иН (С).

1.Ядро области Тс . Ядром трубчатой области Тс,

где С — открытый острый выпуклый конус в Я п с верши ной в нуле, называется функция

K c (z) = 5	z е Тс.
с*

390

Оно подробно изучено В . С. Владимировым и использует ся для получения интегрального представления Коши — Бохнера [4] (см., также [8], где это представление доказы вается для нового важного класса функций). Приведем

здесь ряд результатов из			[4].		К с
Из определенияS'		следует, что функция			К с (z)		является
преобразованиемК с Лапласа , характеристической							функции
Ос* (1) GE (С*)-		Отсюда	следует, что			(z) е Я (С).
Докажем для	(z) следующее представление:
К с (z) =		іпГ (п)	^	da	:	f C m
				/ \'/С

			рг С.	(2,6)

Поскольку слева и справа стоят голоморфные в Тс функ ции, то равенство достаточно доказать для z — іу, у ^ С. В этом случае имеем

К с (іу) — ^

^^er^V’^t^dtda =

С*

ргс* о

*"Г(«)

Из

доказанного представления следует,

ргС

что

функция

К с

(z)

голоморфно

продолжается в область

<ёп

{z: (z, о) =

удовлетворяет оценке

oSpr С*

I D*Kc (z) I <

I (у), z GE Г Д

d (у) —

где

а — произвольный

мультииндекс,

—

inf

(у, а)

— расстояние от точки

до границы С.

оергс*

К с

Н (С)

С помощью ядра

(z) строится интегральное пред

ставление для функций / (z) е=

где Zm (г) — некоторый (допустимый) полином,

—

обобщенная функция из 33&г (определение и свойства про

странства 3)<е, скг., например, в [4] пли книге Л . Шварца [12], гл. 11, § 8). Используя приведенное выше представ ление для К с (z), представлению для / (s) можно придать

391

другой

вид:

ds, z

тс,

/(*) =

где

f a (k

) — некоторая

весовая

[(г, сг)| - м п )

непрерывная

функция,

по б со значениями в

33<ег

к,

единственная

при фикси

Г { г ) .по

рованном полиноме

Преобразование Лапласа применяется для построения

интегральных представлении и других классов голоморф

ных функций (см.,

например, [13]).

У равнения в свертках.

Системой уравнений в сверт

системуZ

вида

ках

называют

и =

где

(glt

. . .,

gw) — заданный(33')N, Z

ІѴ-векторZ im

из

V)N

(т. е. все g, е

1 , . .

N ),

и = (иѵ

. . .,

uN) —

из

|| — заданная

неизвестный. . .,

ІѴ-вектор

-/Ѵ-матрица из

(3)')NxN

(т. e. все

Z lm

SD',

l, m

= 1,

N )i

везде

ÜУ

3)' (Лп).

такому

виду при

водятся, например, системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При иссле довании систем уравнений в свертках успешно при меняется преобразование Лапласа. Наиболее подробно

исследованы

линейные

пассивные

системы,

т. е.

системы

пассивности

уравнений в свертках,

в которых

матрица

вещественна

и удовлетворяет

условию

0, cp ее

33n,

^ <Z * cp, ср>

где

-с*

выпуклый конус

— некоторый открытый острый

Л п

с вершиной в нуле

а,

Ь> =

+ . . . +

aNbN

—

скалярное

произведение

(в этом

случае

говорят,

что

матрица

задает

пассивный

оператор

Z*).

Такие

системы

часто

встречаются в математической

физике

(линейные термодинамические системы, теория электри ческих цепей, рассеяние электромагнитных волн, теория

элементарных		частиц	и		т.	д.) и	подробно изучены
В . С. Владимировым			[6].	В		случае	одной независимой
переменной	п =	І и конуса			С	= (0, +	оо) линейные пас

сивные системы были изучены ранее рядом авторов (см.,

например,	цитируемую в		[6] литературу).
В статье [6] показано, что из условия пассивности сле
дует, что	supp	Z CZ С*	(т. е. supp	Z lm	d	С*	для всех-

392

I, m

. .

и Z

(g')N* N,

T. e. Z GE (5' (C*)lWxW.

\Z]=

Поэтому

матрица

обладает

преобразованием Лапласа

[Я (C)lNxJV

(т. e.

все

\Zlm

Кроме

1ЕЕ Я (С)).

того,

из

пассивности

следует,

чтоZ матрица

S[Z](z) +

+ £

[Z]*

(z) положительно определена при всех z

ее

Г 0.

Пусть теперь

пассивный

оператор

* —

невырооюденный,

т. е.

clet £

[Z]

при

всех

z е

Г с ; тогда

существует

(единственный в классе невырожденных пассивных опера

торов) обратный оператор		А * .		Иначе говоря, при этих
условиях существует	Zединственное решение уравнения
	*	А	=	18,

где I — единичная матрица, а А — неизвестная N X N - матрица из \S' (C*)]NxN, задающая невырожденный пас сивный оператор А * . Это решение А называется фунда ментальным решением исходного уравнения в свертках.

Поясним этот результат на примере уравнения

rpeZ	g	Z * и =		g,
		— заданы, a u — неизвестная			обобщенная функ
	и S '
ция из		(С*), причем Re £	\Z\	(z) >	0, z	ё	К . Послед

нее условие выражает свойства пассивности и невырожден

ности оператора

Z * .

Справедлива

Пустъ

голоморфна

Т е о р е м а

(Владимиров [5]).

/ (z)

области

Т с

Im / (z) > 0 ,

z е

T g.

Тогда f

(z) EE

H q-

Так

как

Re £

\Z)

> 0 в

T c,

то

функция / (z) =

(z)'

голоморфна и Re/(z) >

0 в

T G.

Согласно при

веденной выше теореме отсюда следует,

что / (z) £Е Я

(С).

тогда

определена

обобщенная

функция

4 ® = ®"1 Ы г г ] ® e S '( C " ) .

Очевидно, А (£) является решением уравнения Z * А = = б. В силу известных свойств преобразования Лапласа это решение единственное в классе невырожденных пас

сивных

операторов.

Пустъ

(в

голоморфна, f

(z) =£ 0

С л е д с т в и е .

/ (z) —

Arg / (z)

ограничен в

T G

теорем.е

0 -< Arg / < ; я).

Тогда

/ (z)

и l l f

(z)

принадлежат Н {С).

S' (С*)

Используя это следствие, легко показать, что всегда

существует фундаментальное решение

ее

урав

нения

в свертках

если

ЕЕ

удов

(С*)

летворяет

условию:

\Z) Ф

— ограничен

Arg £ [

393

в Т°. В частности, линейное дифференциальное уравне ние с постоянными коэффициентами

Р (Ш) и =

(С*),

имеет единственное фундаментальное решение из

если

Р (z) ф

0 в

Тс .

Обобщенные функции, связанные со световым конусом

9].

Приведем

преобразования

Лапласа некоторых

[3, 4,

функций,

часто

встречающихся

квантовой

теории

поля.

Обозначим

(£0,

хл->

•

•> хп)>

У ,

• • • ЕЕ

J? n+1;

z = (z0,

zlt

. . . ,

zn)

tën+1;

z I

z0g0—

— Zili — . . .

— Z„£n;

z2 =

zz;y-fc =

(y : y2 > 0 ,

y„ ^

0};

Г т =

{г/ : У2 =

т г , У о ^ О } .

S [Ѳѵ+ ] (z) — ядро

Вычислим

прежде

всего

/£у+ (z)

области

Тѵ+.

Имеем

z<=TV+.

v+(z) =

ѵ+

Ку+

Так как

— голоморфная

Тѵ+

функция

то доста

точно вычислить ее при

іу,

ее

V*.

Полагая z =

ipvt

0 < р

|/лу2 <

оо, ѵ е Г ^

получим

где Cn =

m =

^ e_v5d£ не зависит от v E

ГІ в силу лоренцевой

инвариантности

подынтегрального

выражения.

Простые

ѵ+

дают

С п

= 2пя(п-1>/2

((п

1)/2).

Таким

вычисления

ГКу+

образом,

получаем

выражение для

(z):

K v+ (z) = 2пл<"-і>/2 Г ((re + 1)/2) [ - z2]-<n+1)/2.

В случае		реального пространства-времени ге = 3; при
этом	Kv+	(z)	=	8 я [z2]-2.
Вычислим теперь преобразование Лапласа инвариант
ной меры		8т	на гиперболоиде				Гт,	гег		0. Имеем
3)т (г) = й [8т] (z) = $ е^Ѳ (g0) б (£2 -										т?) dg, z e=
	Как и в первом случае,					получим			тгп'2/п.11_1
S m (ІУ)		Г	e ~ PlmQ		W 6 (** -		m 2) ^
		=	5					=		V O l i W

394

со

где (и) = ^ e_uchtpshn_1c|)dcp. Вспоминая известную фор-

мулу для функции Макдональда

К а (и) =

оо

e~uch4> chacp <3ср,

Re и ]> О,

получим

Ко

IW (и)

/(1)

(и)

(и),

И« (н) =

- ^

= 4

^ 1

(“ )•

Для более высоких

легко получить рекуррентную фор

мулу:

/(П+2) (“ ) =

(і£г -

1{п)

(И), и = 2, 3, . . .

Таким образом, 2)m (z) =

fiß j-

1{п)

(,и Ѵ""—

z S

Г ѵ+.

2),

В частности, при

п — 3

имеем

L -

(2) =

у — Z “

( т / = " ? ) , Z <ЕЕ 7^+.

Из полученного выражения следует,

что

D m (z)

голоморф

но

продолжается в область

— {z: z2 ф

0},

назы

ваемую

расширенной

трубой.

квантовой

теории

поля

используются обобщенные функции ü\n (х) и D (m (х), яв ляющиеся граничными значениями D m (z):

(Х) = Т^ТТГ	lim	Dm(* + iy),
(2it)	„ _ 0л;еу±

где предел справа понимается в смысле §'. При т = 0 можно воспользоваться следующим легко проверяемым равенством (см., например, [3], стр. 347):

О Ѳу+ = 2 (п — 1) 6J, п > 2,

где 6q — инвариантная мера на				Го-		Используя		эту фор
мулу,	получим		( g o рп) -і-Дпб -и=/а / „ I■		л2		(□ дѲѵ+_ 1( g	) =1 )	J
_		$				\
Do (z)	=	* * Ѳ	( l2) d l		é *			d l
	z2

При п — 3 имеем D 0 (z) = — 2n/z2.

395

Л И Т Е Р А Т У Р А

[1]

L . S с h w а г t z,

Transformation de

Laplace des

distribu

tions, Medd. Lunds Univ. mat. Semin.

(Supplementband),

[2]

196,

1952.

Supports dans

la transformation de

Laplace,

J . L .

L i o n s ,

[3]

J . Analyse

M ath .,

2, 369,

1952—1953.

функций

многих

В.

С .

В л а д п

и p о в, Методы теории

комплексных

переменных, «Наука»,

1964.

[4]

В.

С.

В л а д и м и р о в, Обобщение

интегрального пред

ставления

Коши —

Бохнера,

Изв. А Н

СССР , серия матем.

33,

90,

1969.

[5]В . С. В л а д и м и р о в, Голоморфные функции с неотри цательной мнимой частью в трубчатой области над конусом,

[6]

Матем.

сборник

79,

128,

1969.

пассивные

системы,

В. С.

В л а д и м и р о в ,

Линейные

[7]

ТМФ 1,

67, 1969.

Обобщенные

функции с

носите

В. С.

В л а д и м и р о в,

лями, ограниченными со стороны выпуклого острого конуса,

[8]

Сиб.

матем. ж. 9, 1238,

1968.

Копш —

Бох

В. С.

В л а д н м и р о в,

представлении

[9]

нера,

Изв. А Н СССР ,

серия

матем.,

1972

(в печати).

Н . Н .

Б о г о л ю б о в

Д . В.

Ш и р к о в, Введение

[10]

теорию

квантованных

полей,

М ., Гостехиздат, 1957.

И . М. Г е л ь ф а н д

и Г.

Е .

III и л о в,

Обобщенные функ

ции,

вып. 2, М .,

Фпзматгиз, 1958.

[И ]

Н . G . Т і 1 1 m а п п,

Darstellung

der

Schwartschen

Dis

tributionen durch

aualytisho

Funktionen,

Math.

Zeit.

77,

[12]

106,

1961.

Théorie

des

distributions,

t. I — II, Paris,

L. S c h w a r t z ,

[13]

1950—51.

В . В . Ж а р и н о в,

пред

В . С.

В л а д и м и р о в

ставлении типа Поста — Лемана — Дайсона, ТМФ 3,

305,

1970.

АЛФ АВИ ТН Ы Й УК А ЗА ТЕЛ Ь

Автоморфизм 44, 45 Аналитичность преобразования Вей-

ерштрасса 212

— — Ганкеля 186

------- К 230

------- Лапласа 82, 129

------- Меллина 107

Армстронг (Armstrong Н . L .) 340 Асельтин (Aseltine J . А.) 250

Бельтрамп (Beltrami E . J.) 7 Бенедетто (Benedetto J . J.) 68, 305 Блекман (Blackman J.) 284

Боас (Boas R . P . Jr.) 214, 244, 333 Бохнер (Bocher S.) 7

Брага (Braga C. L . R .) 307 Бремермап (Bremermann II. J.) 7 Буи (Bouix M) 307

Ватсон (Watson G . N.) 103, 198, 333

Вейерштрасса преобразование обоб щенных функций 264

—— обычное 256

—— п-мерное 267

Видлунд (Widlund О.) 307

Виленкин Н . Я . 307

Волерс (Wohlers М. R .) 7

Ганкеля преобразование конечное

336

—— обобщенных функций 181, 187, 213

—— обычное 163, 177

—— произвольного порядка 205

Гарнир (Garnier Н . G .) 68

Гаусса преобразование ( с м . Вейершт расса преобразования)

Гегенбауэра полиномы 332

— преобразование 332

Гельфанд И . М . 28, 135, 212, 307 Гиртц (Giertz М.) 307

Гонзалес Домингес (Gonzalez Do minguez А.) 256

Гриффит (Griflith J . L .) 7, 212 Гуревич (Hurewicz W .) 249, 252, 314

Дадли (Dudley R . М.) 16 Даупс (Dauns J.) 284

Дебнат (Debnath L.) 32?, 334, 335, 345

Дельта-функция 35

Джоупс (Jones D . S.) 7, 68 Димовски (Dumovski I.) 194

Дили ряд 333 иткпн В . А . 194

итциан (Ditzian Z.) 284

Дифференцирование параметрическое

Долежал (Dolezal V .) 61, 68 Долф (Dolph С. L.) 335 Дюран (Durand L .) 7

Единственность преобразования Вейерштрасса 265

------- Ганкеля	171
------- К 243
------- Лапласа	95, 130

—— Меллина 142 свертки 299

—— связанного с ортонормальными разложениями 322

Жерарди (Gerardi F. R .) 250

Замыкание 10

Земанян (Zemanian А . Н .) 50, 54, 68, 121, 164, 185, 194, 212, 215, 257, 285, 306, 307, 341

Изоморфизм 44, 45

Исихара (Ishihara Т.) 68

Каутц (Katuz W . Н .) 340

Компактное множество 11

Конт (Conte S. D.) 335

Кореваар (Korevaar J.) 68, 307, 324

Костюченко А . Г. 307

Кох (Koh Е .) 185, 215

Коши	последовательность 24, 28,
37,	41

К-преобразование обычное 214

— — обобщенных функций 228

Куин (Queen W . С.) 257 Купер (Cooper J . L .) 68

Лавуан (Lavolne J.) 68

Лагерра полиномы 330

—преобразование 330

—система 311

—функции 89, 311, 330

397

Лайткилл (LiglithUl М . J.) 307 Лакшманарао (LaUshmanarao S. К.)

335

Лапласа преобразование обобщенных функций п-ыернос 128

—— — — правостороннее 115, 301, 326

—— обычное двустороннее 68

------------ «-мерное 121

— — — правостороннее 68, 113, 120, 299

Лафлпн (Laughlin Т . А .) 143, 149

Лежандра полиномы 331

— преобразование 331

Лернер (Lerner R . М.) 340 Ли (Lee Y . W .) 340

Ливерман (Liverman Т. Р . G.) 68

Лионе (Lions J . L.) 164, 206 Ловерье (Lauwerier Н . А.) 7

Майер (Meijer С. S.) 214, 218 Майерс (Myers D . Е .) 68 Мак-Каллп (McCully J.) 322 Маколи-Оуэн (Macauley Owen Р.) 164 Мак-Роберт (MacRobert Т . М.) 333

Меллер Н . А . 194 Меллпна преобразование обобщен

ных функций 141

—— обычное 135

Миллер (Miller J . В.) 68

Множество выпуклое 127

—плотное 23, 30

Мультинорма 19 Мультипликатор 64

Мунстер (Munster М.) 68

Носитель непрерывной функции 13

— распределения 54

Область определения преобразования Вейерштрасса 263

------------: К 228

—— — Лапласа 80,128

—— — Меллина 142

Обобщенная функция 59

— — , зависящая от параметра 65

— — , преобразуемая^ по Вейершт-

рассу 263

------- — по Лапласу 78, 125

—— — по Меллину 141

—— — по правостороннему пре

образованию Лапласа 115

—— регулярная 60

—— сингулярная 60

—— , сосредоточенная на множест

ве 66 Обращение преобразования Вейерш


—	трасса 265,			267, 268		191,	208
	—	Ганкеля		163,	180,
-------		К	218, 243, 244, 268
—	—	Лапласа		94,	99,	119,	301

—— Меллина 142, 147

—— свертки 299

—— , связанного с ортогональным

разложением 321

— — Стилтьеса 304

Окрестность 20, 37 Оператор дифференциальный обоб

щенный 48, 63

—обратный 43

—самосопряженный 316

Оператор сдвига обобщенпый 48

— сопряжепный 46 Операционное исчисление для пре

образования Вейерштрасса 267

—— — — Ганкеля 191, 210

----------------- К 248

—— — — Лапласа 96

—— — — Меллина 148

—— — — , связанного с ортонормальным разложением 327

Описание преобразования			Вейершт
расса		266
-------	К	244, 247
— — Лапласа 96, 130			118
------- —		правостороннего

— — , связанного с ортонормальным разложением 325

Ортонормальное разложение функции обобщенной 321

—------ обычной 210

—— — основной 315 Отделяющая система норм 19

Парихар (РагШаг К . S.) 136 Парсеваля равенство для ортонор-

мального разложения 310

— — — преобразования Ганкеля

163, 185

Пенди (Pandey J . N.) 299

Первообразная НО Подпространство 15

Поллард (Pollard Н .) 284, 333

Полнота ортонормальной последо вательности 310

Полунорма 18 Последовательность ортонормальная

310

— сходящаяся 16, 21, 22, 28, 37, 41

Поста — Уиддера формула 310 Предел сходящейся последователь

ности 16 Преобразование I 220

—— , связанное с ортонормальным разложением 321

—— , — — — —, и обратное к

нему 321 Прикосновения точка 22

Произведение скалярное 308, 318 Пространств счетное объединение 28

— — — строгое 29 Пространство гладких быстро убы

вающих функций 27, 330

—евклидово 11

—линейное 14

—мультинормированпое 20

—основных функций 58

—полное 25, 28, 37, 42

— с секвенциальной сходимостью

16, 17

—— с »-сходимостью 17

—сопряженное 34, 40

—счетно-мультинормированное 21

—Фреше 25

Прудников А . П . 194

Распределение 42, 52

—медленного роста 40, 330

—регулярное 53

—с компактным носителем 55

—сингулярное 53

—сосредоточенное на множестве 54

Рсберг (Rehberg С. Е.) 68

398

Регуляривация меллпновского типа

154

Решепие фундаментальное 133

— элементарное 133 Рнсса — Фпшера теорема 310

Руни (Rooney Р . G .) 256, 257

Самнер (Sumner D . В .) 284

Свертка 100, 131

—меллпновского типа 151, 155 Свертки преобразование обобщенных

функций 290

—— обычное 284

—ядра 284

Скотт (Scott Е . .1.) 335

Собственные значения 309

— функции 309 Соболев С. Л . 7

Сривастав (Srivastav R . Р.) 136 Сривастава (Srivastava К . N.) 335

Стилтьеса преобразование обобщен ных функций 304

— — обычное 302

Тайно (Tanno Y .) 284 Темпл (Temple G .) 307 Тнльман (Tillman Н . G.) 7

Титчмарш (Titclimarsli Е . С.) 333

Топология 20

—индуцироваппая 27

—слабая 36

Трантср (Tranter С . J.) 335

Труба 128

Уиддер (Widder D . V .) 7, 256, 257,

269,	284,	285,	301
Уолтер (Walter G . G .) 307
Увстон (Weston J . D.) 68
Феньо	(Fenyo		I.) 164
Филипе (Phillips R . S.) 256
Фокс (Fox С.) 284						свертки
Формула		преобразования
105,	131				типа		154,
— — — меллиновского
156		преобразования				операций
Формулы
для	преобразования Вейерштрасса
266		Ганкеля			178,		183,
------- — ---------
209			К	229,	230,		233
----------------------
------------	---------	Лагерра			322
------------------		Лапласа 85

Формулы преобразования операций для преобразования Меллина 144

Фреше пространство 25

Фридман (Friedman А.) 50, 54

Функционал 32,1 40 Функция быстро убывающая 13

—гладкая 13

—действительнозначная 12

—квадратично интегрируемая 13,

307

— комплексповначпал 12

— локально интегрируемая 12

—медленного роста 13

—обычная 12

—собственная 309

—1+ (0 80

Фурье — Бесселя ряд 333 Фурье преобразование конечное 328

Фурье система 311, 318, 329

Фын Кан (Fung Kang) 135

Хаггинс (Huggins W . Н .) 340 Хапмо (Haimo D . Т.) 284

Хилл (Hille Е .) 256

Хилла преобразование (сзі. Вейерш

трасса преобразования)

Хиршман (Hirschman I. I.) 7, 256, 257, 260, 284, 285, 322

Холевннски (Cholewinski F . M .) 284 Хорват (Horvâth J.) 7, 50

Чебышева полиномы 332

— преобразование 332

Черчилл (Churchill R . V .) 335

Шар 20

Шварц (Schwartz L.) 7, 50, 52, 54, 68, 164, 249, 252, 307

Шварца неравенство 309

Шенберг (Schönberg М.) 307 Шилов Г . Е . 28, 135, 212, 307

Эйлера дифференциальное уравнение

148

Эрдейи (Erdelyi А .) 214 Эренпрейс (Ehrenpreis L .) 212

Эрмита полиномы 330

— преобразование 330

Якимовскп (Jakimovsld А.) 284

Якоби полиномы 331

— преобразование 331

Янг (Young Т. V .) 340

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ