Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4139 40 41 > Следующая >>>

при

всех

и ф е

25Таким образом,

(z) и / (z)

совпадают как

обобщенные

функции

из

25'.

Поскольку

/ (z)

и (как

это

можно

показать)

(z) — голоморфные

Т с

функции,

то

(z) =

/(z). Отсюда следует, что спра

ведлива

Пустъ g

u supp

g а

F а

при неко

Л е м м а

е= §'

тором а {т. е. g ЕЕ. Sc)-

Тогда ее преобразования Лапласа

в смысле определений

2 и 3

совпадают и имеет место равен

ство

F [е<и>Ъ g

(g),

z e

T °,

(I)] (а,)

где преобразование Фурье слева понимается в смысле

3.Обращение преобразования Лапласа

Оп р е д е л е н и е ^ Пусть С — открытый острый вы

пуклый

конус

в Л п

с вершиной

нуле.

Назовем

Н с

Т с

пространство, состоящее из всех

голоморфных в

функцийI

/I (z),Мудовлетворяющих оценкеI

Т с’

(Z)

{С’)

(1 + | z Ь (1 +

е=

для любого конуса

С',

компактного в конусе

С,

при неко

торых

и а, не зависящих от

С'.

Из результатов предыдущего пункта следует, что пре

образование Лапласа

отображает

Н с-

В этом пункте

мы построим обратное отображение.

Прежде всего

отме

тим,

что справедлива

[3],

стр.

275;

Тильман

Т е о р е м а

(Владимиров

Пустъ функция

голоморфна в трубе TGr

= J?n +

iCR,

где

C R = {у

: |

R } ,

—

связ

R (z)

[11])ный .

открытый

конус,

и удовлетворяет оценке=:

I/ (z) I <

М {CR.)

(1 +

2 G

т0’* ’

I* |р) I У И ,

для любого конуса С ' (с. С и числа R ' , 0 < R ' <Е R , при некоторых р и д, не зависящих от выбора С ' и R '. Тогда в § ' существует (единственное) граничное значение

	f (х)	=	lim		f(x + iy)	е	§(m)',	т = р +	q +	п +	3,
не				1
не			ѵ->о. /еС'						конус	С ' (с С
	зависящее от выбора конуса С '.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .						Фиксируем
и число			R ',	О	<E R ' < R -	Пусть / (z) — произвольная фун
кция, удовлетворяющая						условиям теоремы; рассмотрим

380

множество

функций

f v

Ѵ и

'• fv

(х )

/ (а: +

іу ) ,

Сд'}.

Каждая

е = з, а д а е т

регулярную обобщенную8' — функцию

из § ', так что

Покажем, что

ограничено в §(т >'

при пг =

р +

д +

и +

(напомнимсо,

что

§<т >').

R ' } ,

(at,

со,

{у

т> о

ісо£)

Введем в

координаты

ЕЕ

ЕЕ С":

| г/

| =

<1 1.

Функция

/о (ж,

/ (.г- +

удовлетворяетI

оценкег) I

Мо (С', Д')

I *

|р)

г 9.

Введем

/о (*,

СО,

'fc-i

fk (я, со, г) =

J fe/o (а;, со, г)

тогда

\ d t ! . . .

со,

t k),

, . . . ,

-f- 1;

d t kf 0 {х ,

(1 +

I а: |р) I

І к

[~^] (0 |,

* =

1, •••, ?

+ 1 ,

/ k (я, со, <) I ^ М 0

так что

f q+1 (х, со,

О I <

M q+1

(1 +

I р).

Используя очевидное равенство

—

/а

(х ,

со, /),

получим

і (со, V*) /о (*, <a,t) =

А;—1

/о (*» со, г)

гк ( а ,

ж)* /к (ж,

со,

г) + 11 (20

(®>

ѵ *)!

/о

со, 1),

г=о

где /° (0 =

I * (() =

7* [1] (0 =

5 * і • • • 't$-i

(С -

I f

(/«I,Таким

образом,

* =

1, •••, ? + 1 .

ф) =

5 / (ж +

ісоі) cp (х) d x =

= 5 /,+1 (*, со,«) (— і)9+1 (со, V*)9« Ф (х) da: +

/=0q

to) (CO, VO« ф (x) dx.

0 ir77-^ - J /(* +

381

Из последнего равенства и оценки для /ч+1 (я, со, t) по лучим

I(/®і. Ф) I<

QM q+11(со, Ѵ*)«+і ср IР + П + 2 +

m = p - \ - n +

q +

ср

•

ср ||р Hi-Hj+Si

1 = 0 Nt• M o •

(со,

V *)'

||р+п+2 <

ф Ё § ,

ограничено

откуда следует, что множество

$(т )',

при

теперь

ср e

F [ S l ;

тогда

(Пусть

ср (z) — целая

функция

хпри

любом

фиксированном

I ср

iy)

стремится

при | ж |

—

оо

быстрее

лю

бой степени

| -1.

силу теоремы

Коши — Пуанкаре

отсюда= следует,

что

/ (z' +

Ф (z')

c p e ^

Uv, Ф )

iy)y(x)dx

іу)

dz',

\f (x +

Im z'=y'

для любого допустимого

у'

С '

и любого

C r ',

при

чем интеграл

справа

не Сзависит' .

у'

е=

С' .

Очевидно,

от2L

последпее

выражение

имеет

предел

при г/

—>0,

С',

не зависящий от выбора

Далее,

плотно

плотно в §(р> при всех

так

что

плотно

§(">).

Таким образом, мы показали, что множество

ограни

чено

в банаховом

пространстве §(тп)'

имеет

предел на

плотном множестве

при

->0,

не зависящий

от выбора

С .

Отсюда в силу теоремы Банаха — Штейн-

хауса следует, что существует функционал

§(т )'

такой, чтоl i

іу),

ср (г))

(/ (ж),

ср (ж)),

ср е

( т >.

{ х

У—*0, 1J<=C'

Так как пространство § совершенно, то отсюда сле дует, что / (х + іу) -» / (ж) по норме при у -* 0 в некото ром §<')', I т, что и требовалось доказать.

П р е д л о ж е н и е 7. Пустъ f (z) удовлетворяет ус ловиям теоремы 1 и

g R & y ) = $

R > 0, у е с .

|.х|<Д

Тогда: 1) в 3)' существует lim gR (g, у) = g {|), не зава-

R -+ 0 0

382

сящий от выбора у ЕЕ С , и имеет место равенство

(g,	cp)		lim	(gR,	cp)		Im z==i/sC	/ (г) S [ф ] ( — г)	(2л>
(g,		=	Л—	(gR,		=	. 5	/ (г) S [ф ] ( — г)	, е р е ® ,
			Л—

где

£[ф ] (г) = § е{(г- 5)ф (I) dl;

2)построенная обобщенная функция g €Е 3)' однознач но расширяется до обобщенной функции g' е §', и имеет место равенство

где

(I)

F -1

[/] (|),

— граничное

функции

Фурье(

ЕЕ

значение

/ (z)

при

у —» 0,

существующее в силу теоремы

а преобразование

понимается в смысле § '.

g'.

отождествлять

З а м е ч а н и е .

Мы

будем

П рgе

д л о ж е н и е

Пустъ f

(z)

Н с и g

—

обоб

щенная функция, построенная в предложении

тогда

supp

F а,

где

число а определяется

F а (z)

оценкой для f

(см. определение 4).

Вспомним,

(учто,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

{£ : Цс (£) <

я}. ГДе

Цс (I)

sup

[—

|)L

Таким

{у

а;

F a

ѵергс

у 0

образом,

для

любого | 0

е=

найдется

е рг

такое,

что —

о, |о) )>

более у

того,

найдутся

числа

е )> О

U (Іо,

такие{I,

чтоI U— Іо

, | ) > а

для

всех

5 >

б) =

: I

—

(

теперь ф

< б } .

Пусть

такая,

что supp

ф С

( |0, б);

тогда

sup

I е((У<” 5)ф (I) I

{max | ф (|) |} е-(“+Е)'.

для

/ (z),

Используя

полученную

оценку

получим

/(*)$<-«>.

І ( е , ф > Н

1Ira

(х

I+

^ityi

[ е;-«*’

(

1Az)N -[е‘(у*

5d)l]

I J (1 +

1* P)N J

(2л)

< J

fP)e

(1 +

p)N max IФ (I) I • е~(“+Е)'

x mes

Ѵ + У <

M 2 (1 +

i2iV+P) e~tl,

383

где

п)

Последнее

выражение

[“ ~(Р +

стремится к нулю при

§—>•'

-f- оо. Так как (

, ср)

не зависит

от

то отсюда следует,

что (

ф)

В Нсилус • Спектральизвестных

свойствфункциейпространства

это означает, что supp

g а

F а.

нойО п р е д е л е н и е

Пусть

/ (z) е

S'c

функции / (z)

называется обобщенная функ

ция

такая,

что

/ (z)

[g] (z) =

(g (|),

el^>V).

Т е о р е м а 2.

Пустъ f

(z)

Н с ,

тогда у нее сущест

функция

d x

y e C ,

вует

единственная

спектральная

g(l)

lim

ёя(1,У)

р-Hz,

4(2 )

R —*co

R-+CO

У\ при этом

F a, где

предел понимается в смысле М«Д

supp

число а определяется

оценкой для

/ (z)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(см. определение 4).

Прежде

всего

отметим,

что

построенная в предложении 7 функция

в силу предложе

ния 8 и леммы 1

принадлежит 5 С. Покажем,

что эта функ

ция является спектральной

для / (z).

Пусть

ф ge 26,

тог

да из леммы 3 и предложения 7 имеем

(ё

(I), еі(г’

Ф (г)

(£), е-Ф'

V F

[ф] (£)) =

= 5 /

(х

іу) F

-1 [е~<и’

Ѵе(ѵ- V F

X) dx =

[ф] (£)] (

у <=C.

S /

Іу)

(x) dx,

Так как (g (|),

e* <*.£))

/ (z) — голоморфные

Т с

функ

Т с .

ции, то отсюда следует,

g^что ониg2

совпадают в

Докажем теперь, что построенная спектральная функ

ция единственная. Пусть

— спектральные функции

/ (z),

так

чтое* (5 ),

е ^ ’Ѵ) =

/ (z)

(z)

0 ,

те.

t e l (S) -


Тогда для произвольной функции ф е= 36 по лемме 3									имеем
0 =	$ tei (I) — gi (1),				V) ф (х) dx =			*>F[	ф] ©).
Когда фgiпробегает					= e^t e-i(V EF) - ft( S ) ,e ^				ф] ©).
Когда фgiпробегает					все 26,	[фі пробегает все 35,
так	что	=	g2	на 35. Так как 35 плотно в			S c ,	то отсюда
так	что			на 35. Так как 35 плотно в				то отсюда

384

следует, что gt =	gs на	всем		S c ,		что и требовалось
доказать.	Имеет	место			равенство
С л е д с т в и е .	g		іу)	=	F	[g]	(x),
lim	£ [ ] (а: +

V—»o, v e C '

(;предел и преобразование Фурье понимаются в смысле §').

Теорема 2 утверждает, что преобразование Лапласа отображает S'c на все Н с , и что существует обратное ото

бражение Н с	на S'c■ Это обратное отображение называет
ся обратным	преобразованием Лапласа и обозначается

й“1 [/]. Заметим, что на S'c и Н с можно ввести топологии таким образом, что преобразования £ и £_1 будут непре рывными.

4.Свойства преобразования Лапласа

Вэтом пункте мы рассмотрим ряд свойств прямого и обрат ного преобразований Лапласа, обычно применяемых в при ложениях.

Прежде всего введем на S c элементарные операции.

Сдвиг-,

пусть

€Е Sc и

£Е

определим функци

онал

равенством

(g(l),

h)),

(ff/n

ф) =

(Я(Е

— h),

cp (I))

ф ( і +

Ф е Не

очевидноположим ,

gh(E. S ’c',

(К)

gh болеетогдатого, имеетS cместо, причем

S c ;

П р е д л о ж е н и е 9. 1)

Пусть

е=

S c

ф £

ф Dееa

ф = (

D,a

ф);

ф),

ф (h)

(gh,

приII Ф||а> р ^

■ ^•Ц

||а0, Po’! фЦа+а,,, р+р0>

,^ 0 , р

0, 1, . . . ,

некоторых а0 и р 0, определяющих порядок обобщенной

функции g иМ~С>

не зависящем от

; в Sc

в слабом смыс

ле 2)

пусть

S c

и gv

{gv}v=i, г,... d

в S c

—>0

при

оо;

тогда

фѵ —>•0

при

ѵ —> оо.

лег

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Простыми

оценками

ко проверить, что

■ Ф (I +

Щ при Ah j —> 0 в S c .

Ф (£ + Л -(- Дк,) — ф (5 + Л)

dh.

Дh}

385

Отсюда

следует,

что

ф е С м

и что

П “ф

Qi)

(g(£),

D a

{ I

/Далеег ) ) .

имеем

цепочку

I1ф ||а,р =

sup

(1 +

|р) I

D aty (h)

I =

o |

(l +

|Ä|p)lte(É),öfo(É +

Ä ))l<

sup

loci<

)I =

•II

||aoiPo

sup

(1 +

(

Ip+Po) I ° афM

• g

|o|<P+Po

1 , ea0P a +p a0,0

0,P

o '

| | a + a

при некоторых

определяющих порядок обобщен

ной

функции

причем

при

выводе

было

использовано

предложение 2.

C l S c

стремится

нулю

Пусть

{gv}v=i, г,...

слабомv,

смыслеср)

при

-»

оо.

Это

означает,

что

supp gv d

F a,

. . .

при

некотором а,

не завися

( g

щем от V

S c ,

—> 0

рпри0

—> с»,

для

любой фиксиро

ванной ф ЕЕ

частности,

для

любой

ф Е І .

Отсюда

следуетgv,

чтоF aнайдется

такое,

что

все || gv |Ро конечны

и I gv |ро — 0

мпри

Vgv

оо.

Из

леммы

того,

что

supp

при

всех

ѵ =

2, .g v. Ц.,

следует,

что

a+c.po

(е)

Ра.

Таким

образом,

существуют

Ро

такие,

что

все

a„,

Ро

конечны и

иS c

Iа£

ѵ |

| а

ПРИ

-»•

оо.

силу

Sc-

выше

(Ф ѵ }ѵ = і,,

...

1Фѵ ||а, р ^

доказанного

||ao,PoII II

Ф |)a+a°, р+Ро-

Таким

образом,

|| фѵ ||

а, Р -»

при

ѵ -»■

при

всех

. . .,

т. е.

фѵ —•0

Дифференцирование:

пусть

g d

S c и

— произ

мультиипдекс.

вольный

Определим

функционал

D ag

равенством

g ,

ф )

( -

1)1“ ' ( g , №

)

, ф

S c -

Легко

проверить,

что

D ag

ЕЕ £с

что

дифференциро

вание

является непрерывной операцией в

Sc-

Умножение на функцию.

Класс

всех

функций ф £Е

—

6Е С(о°)

таких,

что

ф ф Е Sc для

любой

ф Е

и при

всех

II Ф ф

М. . .

выполняется

Sоценка

| | a ,p

' 1 ф

| | a + a ' ,p + p

' j

Сі

при некоторых М , а ' , р ' , не зависящих от ф , будем назы вать классом мультипликаторов в Sc и обозначать Л с-

386

Пусть g £Е Sc и ф ее Л с ', определим функционал ф g равенством

(Ф£, ф) = (g, фф), Ф Е S G.

Очевидно, ф£ ЕЕ S c , так что Л с является классом муль

типликаторов также и для S c -

Заметим, что все введенные выше операции линейны и в случае регулярных обобщенных функций совпадают с соответствующими операциями для обычных функций.

4.Свертка. Рассмотрим прямое произведение двух

пространств Я п и обозначим Е = (£, £'), Y = {у, у'), . . . ЕЕ

еX

P c x c (S )=

sup

[—

{Y,

В)],

{S: Цехе ( S ) <

а},

Уергсхс

|Ф||а,Р=

sup

(l + \E\P)\DM)(E)\,

Ф е 5 схс.

|А|«р.зек£

10.

Имеют

место

включения

П р е д л о ж е н и е

где

а'

F a

F ai

а*,

max

max {0; ö^} +

{ 0; а2}.

из

легко проверяе

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

мых

неравенств

Рсх с (В) <

max {рс © ; Pc (S')} <

max {0; рс (£')}•

max {0; рс (Ш +

П р е д л о ж е н и е

11.

Пусть

t p e S c ;

опреде

лим

Ф+ (S)

= cp (I

£');

тогда

Ф+

S c x c,

причем

М •

пустъ,

кромеIФ +

||а,Р

II ф |І2а,р,

где М

не зависит от

Л п

F а при некото

тогда0

того,

supp ф d

ром

а;

Л гпф\;

F at

а_ аі,

где а — произ

supp Ф+с

вольное число.

ПустьС

ф е 5 с

Д о к а з а т е л ь с т в о .

и Ф+ (S)

ф (! +

g').

Очевидно,

Ф+ е

и для лю

бых

а >

и р =

0, 1, . . .

||ф+|а,р =

sup

(і +

|В |Р)|і)Аф +(а ) | <

6')|.

|A |<p ,s <=k *

sup

(l +

|£|», +

|g'|p) P ? D ^ ( S

|a+a'/<p

(5;5')eF„x

387

Так

как

F a

(см. предложение 10), то, исполь

зуя

предложение

имеем

| +

F 2a,

| 1 — ?' | «С

<1 у-1 [4а +

£ +

I 1. Таким образом,

+ g o K

і|ф+ііа ,р < м 1.

sup

(l +

i s r +

i m

p ^

Им<Р-

< р

su p

кЛ ,па

(1Я +“ф

Cn)| лI=|р)мI - і ф Цво.р -

, - п е

F а

I')

Пусть теперь

supp cp d

ах

— произволь

ное число.

Выберем произвольное Е = (£;

supp Ф+ П

F ai

F а^аі.

Тогда,

одной

стороны

рс

(£ + £') >

а,

а с

другой стороны,

Нс (? + ?') < Нс (?) + Нс (?') < ах + (а — аг) = а.

Полученное

противоречие

показывает,

что

множество

supp Ф+Г| Ді, X

а_аt пустое.

Пусть

S c ' ,

используя лемму 1,

легко пока

зать,

что

определено

тензорное произведение

ft Е

S'cxc

причем

supp

g2 d

F Ui

X F a.,

если

supp gl,

Сверткой

двух

обобщенных

О п р е д е л е н и е

функций

g2 ЕЕ S с

назовем

функционал

g2,

за

даваемый

равенством

(gi *

ga,

ф)

(gi

g2, Ф+) =

(gi (?)

ga (?')> Ф (? +

?')).

любых gi

и g2 ЕЕ S c

Ф е

»5с-

Л е м м а

Для

свертка gy

supp

gi * ga CI

определена,

принадлежит

S c ,

F a&at,

если

supp g1)2 d

F a

„

имеет

место равенство

(gi

* ga, ф) =

(gi (?), (ga (?'),

?'))),

Ф e

S c .

следует,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из предложения 11

что

свертка

* g2

действительно

определена

на

всех

gxSc-

функциях

ср е=

Далее,

так

как

е £схс> то

при

некоторых

а и р

норма

|| gx

gafla.p

— конечна.

Отсюда и

из предложения 11 имеем

ga•

||а,р ■ || Ф+ ||а,р <

I (gi * ga, ф) | =

| (gi

ga, Ф+) | <

I gi Xм

так

что

g 2

ЕЕ S c -

II gi X ga||a,p' ІІФІкр.

Линейность

очевидна.

Пусть

388

теперь supp gu2 d F ai при некоторых a1)2 и пусть cp d d S c такая, что supp cp d Л п \ F Ui+at. В силу предло

жения

11, supp

Ф+

FT-n

F ai

5 0г>

так

как

supp gx X g2 d 5 0l X

5 Qa, TO (gx * g2 , ф) =

(?! X

g2, ф +) = 0.

Отсюда

следует, что

supp

* g2 d

ai+a

Равенство

(gx * gs,

cp)

( ^

(|), (g2(£')>

(£ +

|'))),

tp E iS c i

следует из определения тензорного произведения

ипредложения 9.

Пр е д л о ж е н и е 12. Свертка обладает следующими

свойствами в Sc-

коммутативность);

а)

8і * ёъ —

gi * gi

(

б)

gi *

(gi

g3)

(gi *

gi)

* g3

gi *

* gs

ассоциа

(

тивность

дистрибутивность);

в) (gi +

g2)

* g3 =

gi * g3 +

g2 * g3 (

);

* gs —

H g i

* g2)I

—

произвольное, комплексное

(^gi)

число-,

F)a ( g i * g t) = { D

agx)

gx* D ag2,

а — произволь

ныйД)мультииндекс;

в S e)

пустъ

{gv}v=i,2, ... d

S ’c

npu

c в слабом смысле;

тогда

gv * g —у 0 при

слабом смысле при любой фиксированной g v —>- oo б 5c

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойства

5 с -

а) — д) легко про

веряются.

Рассмотрим свойство е). Пусть {gv}v=i,2, ... CZ 5с

и gv—v 0

при

V ■— оо в

5с

в слабом смысле. Это озна

чает, что существует число

такое,

что

supp gv d

Р а

при

всех

V =

. . .

что

V—►lim(gv,СО

ср)

для

всех

ср d

Sc-

Поэтому

силу

предложения

после

довательность

(фѵ (£) = (gv (£'),

ср (£ +

£'))}

стремится к

нулю

5с при

—>■

оо.

Отсюда и из леммы 4 следует

свойство е).

свойств преобразования

Перейдем теперь к изучению

Лапласа.

Для

удобства объединим их в

виде

леммы.

Л е м м а 5.

Преобразование

Лапласа

обладает

сле

,1>2

(z),

M"",

дующими свойствами в S c :

а)

£ Igft] (г)

e*(z-

[g]

б)

£ [.D ag] (z)

—

(—

iz)a

[g] (z),

произвольный

—— произвольный

мулътииндекс;

a £

[g]

(z),

в)

£ К i£)a g (I)] (z)

мулътииндекс;

[g]

г )

£ [б*<ш- Vg (I)]

( z) =

(

u>),

T G;

t2g2](z)

д)

£ Uigi +

[gil (z)

[g2] (z);

е)

£ [gi * g2l (

[ g j (z) £

[g2] f z).

389

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 4139 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ