книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

где vt (X ')

£Е 8'

/

— D'£F

=

12

Ѵ[ (х") х[,

= 0

(d#"-1). Поэтому

к—1

(/еІЛіі, ф) =

(— 1)|к 1^ У'1(ж) еІЛ'»(Д*чр (X) dx

+ 2

iv i(x ") x{eiXlt, ф)-

о

1=0

t

Первое

слагаемое

ведет

себя

как

(1/1

t\k)

при

|

|

-ѵ

-э- оо в силуX того, что

s D \F)

=

st

(F)

=

0.

Остальные

(

|

слагаемыеvt быстро

убываютfeixt

при

|

оо,

поскольку

функции

( ")

не

зависят

от

Теорема

доказана.

Можно указать для

и оценку в некотором смысле

сснизунаправляющим. Именно, справедливавектором К, , напримерто для ,

любогоследующая

в

Т е о р е м а

9.

Если

sx (/)

=

к относительно

прямой

t-

направляющим векто­

пространстве

найдется

прямая с

ром к,

на которой

(1 +

1*1)fr—2-е

е

0

Ul

lim (feixl, ф)

Отметим еще раз, что тем самым мы получили оценку

поведения обобщенной функции

F

[/]

в смысле определе­

ния 6.

­

В заключение применим порядок сингулярностиf (отнох)

сительно направления к оценке двустороннего преобразо­

вания

Лапласа

обобщенной

функции.

Пусть

ее

[1]

М . J .

L i g h t h i l l .

Introduction

to Fourier

Analysis and

Generalized Functions.

Cambridge

Univ. Press,

London, 1958.

[2]

D. S.

J o n e s .

Generalized Functions. M cGraw -Hill,

1966.

[3]

J . L

a V о i n e.

Sur des

théorèmes

abeliens et

tauberiens de

la transformation

de

Laplace. Ann. Inst. Henri

Poincare,

Nouvelle sèrie,

vol.

IV ,

№ 1 (1966), section

A ,

Physique

théorique.

1.

Предварительные сведения

Введем обозначения:

х

=

(xlt

. . .,

х п), у,

£ ,. . . £Е

и

z =

(zlt

- .

zn)

— X +

iy

£Е

(у,

£) =

2

=

уЛі +

• ■• • +

уп £n.|x l = /(*.*). М = / М

+

|г/|2.

цс © =

г/sup [—

(у,

I)]

е р гС

С . Обозначим F a =

называется индикатрисой конуса

число;

[С*

=

{ £ :

рс

(Е)

^

0 }

—

сопряженный

конус (так

С'

как

С

— острый конус, то int С*

Фф )

и С* =

{£ : рс (£) )>

)> 0 }. Конус

с вершиной в

нуле

называется

компакт­

ным

в конусе

С ,

если

рг

Ü'

CZ рг

С;

при

этом

пишут

С'

(с

С .

*)

Для приложения II

см.

литературу см. на

стр.

306.

выпуклыйЛегко доказатьконус, тогдаследующее: найдется конус С" такой, что

П р е д л о ж е н и е

1.

Пусть С'

(с

С ,

где

С — острый

и(свсех

1)

у

(у,

а

у \•

при

некотором

б" ^ С"

С,

а

Іу)

—

что| £ |

число—

е

такое|

,

а >

0

найдется

е С ' ,

|

С "*;

у

| £

I

Pc

(I)

для2)всех

0

ее

Обозначим£ ЕЕ С,-I

2.

Пустъ

£

.Га,

ЕЕ ^ а>.

П р е д л о ж е н и е

при

г| е

ц =

- f

£',

г]' =

|

—

тогда

^ а+а',

а уFI р' I <[ 2 (а + а') +I'

| г) |

некотором

у > 0.

как

Ѵ2 (р +

е

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

т]')

= ^ Е

а,

а

Ѵ2 (г) —Г]')

=

е

^а',

ТО

имеем

у

е

рт С.

— Ѵ2 (у, 1] +

1]')<

а ,— Ѵ2 (у, г)

— т]') <

а',

Складываяу эти неравенства,

получаем — (г/, ті) ^

а(+у

а',

при всех

рг(уС,

,

т.

е.

р

ее

F a+a'.

Кроме того(у, ,из тех

у{,у,

же

неравенств

следует,

что

—

rj' ) ^

2а +

>ц),,

(?/. V )

<

2а'

+

у

т]),

так

что

|

г|'

| <

2а +

Г])

+

+

2а'

при всех

ЕЕ рг

С ,

т. е.

1

sup

I(у, іі')|< 2 (а + а') + |ті|.

sup

{у, т|')

/ерг с

Далее, так как

С

— открытый конус, то

|

|

=

sup| (у,

ре рг с. |и'|=і

=

у

0,

откуда

ѵерг с

rj')

|

у |

|.

Таким образом,

Т I 4' I <

|(г/,ті')|<2(а +

а') +

|т]|.

sup

2.

рерг с

Преобразование Лапласа

Пусть

С

— открытый острый выпуклыйПространствомконус

Л п

в

основныхс вер­

шиной

нуле.

1.

О п р е д е л е н и е

функций

S c

называется

пространство

всех

функций

Ф ЕЕ С(м)

с конечными полунормами а > 0 ,

р =

0 ,1 ,2 , ...

IIФНа,р =

sup

(1 +

|£|p)|-D“9(£)|>

|а|<р, &SFa

Sc

задается

счетной

мультинормой

Топология

в

1

Sc

— полное

счѳтно-

{ІМІр, р}р=о, , .. •• Легко доказата, что

М 6 ) =

11

£

р а+ф,

6= Fa+

Е,

о ,

£

< =

Ха

приводящей функцией.

нем(£) .

будемОбратноназывать, пустъ

8

и

Ха

произвольная

в

П р е д л о ж е н и е 3.

Ха ф Е Е 8 и

—

приводящая функция,-

тогдаср

GE £с

где числа МII ^вф||р^

М {X)

* I] ф

||а + Е ,

рі

Р

=

0>

!•> •• •

)

ф.

и г

зависят от выбора Ха и не зависят от

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первая часть

утверждения

очевидна,

вторая

следует

из

следующей

цепочки

нера­

IIвенств:= |a|<P

| I р) I

Da (Хац>)I <

ІІР

Sup (1 +

< M i

sup \D*Xa\-

sup

(1 +

|^|Р)|Паф |= М -|ф |а+Е,р.

N < P

|а |< Р . E f o t t

Пусть

Tc —

{г:

у

=

Im

z е С }

С.

Функция— трубае{

с базисомSc при

любомТогда справедливоz ( Тс , причем

имеет место оценка

П р е д л о ж е н и е

4.

(Z'E)

€ Е

ЕЕ

II ^ 5) L Р < м ( О • (1 + Iz р) (1 + I у и е“ М ,

z е= Т О ',

где С '

произвольный выпуклый конус,

компактный в ко­

нусе С .—

Пусть

С

— некоторый вы­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

пуклый конус,

С

(с

С

и г б

Т с '.

Имеем цепочку нера­

венств:

sup

(1 -Н £ |р)1(^)“ еі(г-5)І <

И

г'Ч |а,Р =

|а|<Р, 5еРа ■

<

(1 +

I z |Р)

sup (1 +

I І р) er<v> ö ^

<

(1 +

I z p) [sup

(1 +

\l

p)

ö + sup я (1 +

I i p) е-(У'

Щ.

где

C"

£eC”

SeFanc"

С

(с

С"

(с

С.

— произвольный конус такой,

что

В

силу

предложения

1,

—

(у,

I)

<

— |

у \ •

| £ |,

a F a Г) C l d

{|:FI

аII.

<

а/т}; кроме того,— (у,

|)

<

| у

| ■ а

при всех I

ЕЕ

+

Таким

образом[ s

,

М1

*

++

II е і ( г ’ 5) ||Vа <,

( !

1 2

|р )

Ѵu>)p <г*(

t> о

+ sup (1 +

fP)

е“М ] ^

My

С ')

(1 + I z |P) [(1у

-|-

eaM.

(

0<f<a/v

+

IУ И

+

e a |v |] <M{ C ) (1

+

%I |P) (1

+

I

|-P )

жение 3

Iи конечностьI

g d 8 ' ,

имеем

порядкаII II

Ik

М

II

g'

gg'

F a,

g'

g

8.

II

1|р0

так что

d

S'c .

Поскольку

Ха

(£) =

1

при

\

d

F a+Slz,

d

g

являет­

а supp

то

=

на

Таким образом,

8

ся расширением

на

Sc-

В

силу плотности в

в

S c

это

щей функции

Ха.

Отсюда и из полученного выше неравен­

ства следует,

что

I

g'

||о+£,

Po

^

• g

||р„

с произвольным 8

I

завершает дока­

0.

Это неравенство

зательствоg и g'.предложения.

мы

будем

отождест­

З а м е ч а н и е .

В

дальнейшем

влятьS c

можно ввести различные топологии. Так,

напри­

В

мер,

слабая

топология вводится

следующим

образом:

слабая

окрестность

нуля

в

пространстве

Sc

Sзадается

с помощью конечного множества

{фь}л:=і

jv CT

с

и чи­

сел eft

0 какI

совокупность всех

g d

S c

таких,

что

. . . .

(ff, Ф а)

I <

£/м

А: =

1,

-ZV-

Можно доказать ряд свойств пространства

Sc-

В част­

ности,

S c

полно

относительно

слабой

сходимости. Это

следует из полноты пространства

Sc-

Кроме того,

можно

доказать, что

если

последовательность

g

^ ( с л а ­

бо) сходится

в

S ’c

к

обобщенной функции

d

S c,

то

supp

go

d

F a,

V

=

1,

2, . . .

при

некотором

a

> 0.

' О п р е д е л е н и е

2.

Преобразованием

Лапласа

g

d

Sc

называется функция

8 [g]

обобщенной

функции(g

/ (z)

=

8

[g] (z)

=

(g),

с«'-*)),

2 d

T c .

преобразования Лапласа отличаетсяі

от принятого в кни­

ге Зѳманяна наличием множителя

в экспоненте.

Используя предложение 2 и простые оценки, легко

доказать следующее

Пустъ

Е

Тс \

обозначим

П р е д л о ж е н и е 5.

z 6

' K ® “

i(z,Z)HAzkZk

i(ZiZ)

* =

‘ ..............*

--------- - д г - 5---------- sf-« * -® .

тогда

і|)дГк —>■

0

в Sc при

Д

zk

0.преобразование

Лапласа

Пустъ

Л е м it а

2.

е =

/ (z) —

/ (z) —

обобщенной функции g

Sc',

тогда

голоморфная

в Тс функция и имеет

I / (*) I <

место оценка:

z е=

Т * , (1)

М

(С )

(1 + I г П (1

+ I у I

S

Ik, Po ‘II

^Azk

||o0, j)0—>0,

^ II

при

Azfc->0,&

= 1, . .. ,тг.

Отсюда следует,

что / (z)

имеет все частные производные,

причем

= (« f

f i

)

.

=

( i U 8), ««'•Ч-

Таким

^

образом,

/(z)

голоморфнаТ

по каждой

переменной

в отдельности и,

следовательно,

в силу фундаментальной

теоремы Гартогса голоморфна в

с .

Оценка (1) легко вы­

D*С л е д с т в и е 1.

/ (z) =

D a (g

(I),

ö*(*. *>) = ((£ 6)- jr (g), ei(z, И), z e

Г с.

fs

F

g] X

у

ЕЕ С

и Ф ЕЕ §

имеем

причем при любом (z) =

g

(

),

(fs(x,

у ) ,

Ф

{х))

=

{F

(I)]

(ж),

ф(ж))

=

( e -[«-<"> *>

=

^ V g ( t ) ,

П ф і© ) .

интегральнуюПростыми оценкамисумму длялегкофункциидоказать

через

пустъ

П р е д л о ж е н и е

6.

Обозначим

■S8 (ф (а;))

ф (z) Е

ф

(х)

Е § .

Тогда

2) и

^ф (х) dxj ф (|) —> 0

в §

при б -*• 0.

еі(-х<

е'(х’

[iSg ( 5)ф (х)) — ^

Используя это предложение, получим

11з (ж, У), Ф (х))

=

(e-fo* ^ g

(І), 5 еі(л'' 5)ф {*) d x ) =

=

(g (6),

Ха

(6)

е-(ѵ<

5) 5

Оф (х)

dx)

=

=

$

(g

(6).

К

(I) е1

( x ) d x = \ f ( x

+ iy)

ф

(х) dx,

(г-«) Ф