книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

І квадратично интегрируема на 0 < І°о , то поставлен­

стив, что сигнал / может быть обобщенной функцией, и бу­ дем искать в качестве решения такую последовательность

ветствующих преобразованию Лагерра обобщенных функ­ ций, равным некоторому неотрицательному четному

в точке = — 1/2. Таким образом, свойства 1) и 2) выпол­

зование Якоби и сделав замену переменных. Предположим

/ — ► С О

преобразование Лапласа функции х (t) + 1 является ра­ циональной функцией, имеющей нуль на бесконечности, все полюсы которой лежат в левой половине 5-плоскости (Re s < 0 ) , исключая простой полюс в начале координат. Существует множество способов, в помощью которых мож­ но построить такую функцию х (t) -f 1, подходящим обра­

340

зом выбирая точки расположения полюсов и нулей ее пре­ образования Лапласа (Земанян 113], [14]). Пусть t (ж) обозначает функцию, обратную функции ж (t). Делая за­ мену переменных в формуле для распределений на интер­

ж ( ) является конечной линейной комбинацией действи­

{/jv}, где /іѵ задано выражением (4), также дает решение нашей задачи.

Отметим, что если мы возьмем

ж (t) — 1 — 2е~р1, 0 < £ < ° ° і

где р — действительное положительное число, то преобра­

341

простые действительные полюсы, расположенные в точ­ ках вида — 7??.р, где т — неотрицательное целое число. Справедливо п более общее утверждение, а именно; если в X (t) входят только действительные экспоненты, то F n (s) может иметь только действительные полюсы. Если же мы позволим X (t) содержать затухающие синусоидальные экспоненты, то окажется, что Fn (s) может иметь как дей­ ствительные, так и комплексные полюсы.

З а д а ч а 9.10.1. Показать, что двустороннее пребрааованпе Лапласа выражения (3) есть рациональная функция, имеющая нуль при s = оо и только один полюс кратности /V + 1 + а/2, расположенный в точке s — — 1/2. Как и раньше, порядок а обоб­

щенных функции Лагерра фп считается равным неотрицательному четному целому числу.

9.11. Применение преобразования Лежандра: внутренняя задача Дирихле для единичной сферы

J Іреобразоваппе Лежандра может быть использовано для решения следующей внутренней задачи Дирихле для единичной сферы. Выберем сферическую систему коор­ динат

{(г, Ѳ, а) : О ^ г < 1 , О ^ 0 ^ л , О ^ о с < 2л}

и предположим, что искомая функция ѵ не зависит от коор­ динаты а (т. е. V — V (г, 0)). Полагая р — cos Ö, мы можем переписать уравнение Лапласа в виде

Далее, потребуем, чтобы функция ѵ (?■ , 0) оставалась огра­ ниченной в некоторой окрестности начала координат г = 0. Пусть, наконец, Л ' — пространство обобщенных функций, соответствующее системе 4а (см. п. 9.8) для пре­ образования Лежандра, и / (р) £Е Л '. Наложим гранич­ ное условие

Чтобы формально получить решение, мы сначала приме­ ним преобразование Лежандра 11 по р к дифференциаль­

ному уравнению (1). Переставляя операции U и г D\ и полагая

V — V (г, //) = U V (г, arccos р), п = 0, 1, 2, . . .,

342

T L ~ p

Из теоремы 9.6.1 вытекает, что (/, фп) имеет медленный рост; это означает, что существует постоянная С и целое число к, для которых

I (/. Фп) I < Спк, п = 1, 2, 3, . . .

Кроме того, известно, что

I D l Р п (р) I < и»«, - 1 < р < 1, » = 1, 2, 3, . . .

343

n -V оа, а другие множители ограничены полиномами от п. Отсюда мы видим, что (6) — обычная, причем гладкая, функция и что оператор Лапласа можно применить к (6) почленно. Поскольку функция гпф„(р) удовлетворяет урав­ нению (1) в обычном смысле, то, как легко показать, то же самое справедливо и относительно функции (6).

Всилу сказанного мы можем перейти к пределу при

г— 0 под знаком суммирования и прийти к заключению,

Функция (/, ф„) имеет медленный рост (теоремы 9.5.1 и 9.6.1), а (фп, ср) быстро убывает (леммы 9.3.2 и 9.3.3). Поэтому правая часть равенства (8) равномерно сходится на 0 < г < 1, и мы можем перейти к пределу при г 1—0 под знаком суммирования. Тогда

С О

обобщенных функций для системы 4а (см. п. 9.8). Показать, что полученное решение удовлетворяет требуемым условиям.

З а д а ч а 9.11.2. Рассмотрим задачу о распространении тепла в одномерном неоднородном стержне. Этот процесс описывает­ ся дифференциальным уравнением

344

стержня считаются обсолютно изолированными. Отметим, что функция а (1 — х3) представляет собой теплопроводность стерж­ ня, с — постоянная, зависящая от плотности и удельной теплоем­ кости стержня, а слагаемое (рг + ѵ) D xv описывает распределен­ ный источник тепла внутри стержня. Показать, что дифференциаль­

9.12, Применение первой формы конечного преобразования Ганкеля: задача Дирихле для полубесконечного цилиндра

Конечное преобразование Ганкеля оказывается полезным при решении различных граничных задач для областей с цилиндрическими границами. В этом и следующем пунктах мы приведем два соответствующих примера; первый посвящен задаче Дирихле.

345

Отметим, что эта задача полностью аналогична рассмот­ ренной в п. 5.8. Однако там областью изменения был

(0, 1) и мы используем первую форму конечного преоб­

где А (п) не зависит от z. Используя преобразование гра­ ничного условия 1), получаем

A (n) = G (и) ^ (g, ф„).

И наконец, вычисляя обратное преобразование для функ­ ции (3), мы получаем желаемое решение

где

У 2rJo(V .

J M

Удостоверимся теперь в том, что и (г, z) — действительно решение уравнения (1). Прежде всего, справедливы фор­ мулы

346

и

где К — некоторая постоянная (см. Янке, Эмдѳ и Леш [1]). Кроме того, из соотношения (5) и теорем 9.5.1 и 9.6.1 следует, что G (п) — О (пр) при п —> оо для некоторого целого числа р , тогда как е~упг = О (e~nnZ) равномерно на Z z < оо при любом фиксированном Z > 0. Заметим, наконец, что

D rJ О(УпГ) = —IJnJl (УпГ),

D p -Ji (УпГ) = УпГJo (УпГ).

в формуле (4) под знаком суммирования. Таким образом,

после чего все слагаемые обращаются в нуль. Поэтому мы можем заключить, что функция (4) удовлетворяет диф­ ференциальному уравнению (1) в обычном смысле.

Установленная равномерная сходимость ряда (4) по­ зволяет нам перейти к пределу под знаком суммирования при z со, г -> 1 — 0 или г —► -{-0; в действительности это можно сделать даже для ряда, состоящего из абсолют­ ных величин членов ряда (4). Отсюда непосредственно

Но функция G (и) имеет медленный рост, в то время как (Фш ф) быстро убывает при п -> оо. Поэтому ряд в (6) сходится равномерно на 0. z <Со°, и мы можем перейти

Ö47

к пределу под знаком суммирования при z -> -|-0; тогда

со

{и(г, Z), Ф (г)) - » 2 G («) (Фи. Ф) = (g. ф)-

7Ѵ=1

Таким образом, граничное условие 1) выполнено. Этим завершается проверка того, что (4) действительно является

вбесконечном цилиндре с условием излучения

Вэтом пункте мы решим уравнение теплопроводности, записанное в цилиндрических координатах, для области, имеющей вид бесконечно длинного цилиндра единичного радиуса. Мы будем искать обычную функцию ѵ, которая зависит от радиальной переменной г и времени f, но не зависит от Ѳ или z, и удовлетворяет дифференциальному

348

уравнению

В качестве начального условия мы потребуем, чтобы при t —' -|-0 функция V (г, t) сходилась в некотором смысле к обобщенной функции / (г); в качестве граничного усло­ вия мы потребуем, чтобы при любом фиксированном ' > 0

где а — действительная положительная постоянная. Если V обозначает температуру внутри цилиндра, то условие (2) соответствует излучению тепла поверхностью цилиндра.

Для решения этой задачи можно использовать вторую форму конечного преобразования Ганкеля нулевого по­

рядка;^ при этом мы прежде всего положим и = )f r v ,

ствующему системе 56 (см. п. 9.8). Дифференциальное

При этом подразумевается, что t имеет любое фиксирован­ ное положительное значение, и предел на 0 < ; t <[ оо по­ нимается в поточечном смысле.

Пусть теперь U обозначает преобразование, соответ­ ствующее системе 5Ъ (п. 9.8); положим

U (п, t) = U и (г, t), п — 1, 2, 3, . . .

Оператор U преобразует дифференциальное уравнение (3) к виду

349