книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

где Ln (х) — обобщенные полиномы Лагерра:

Как всегда,

W Г(» + 1)Г 0/-» + 1)’

Функции ф„ (х) называются обобщенными функциями Лагерра (прилагательное «обобщенный» используется здесь в ином смысле); число а будем называть их порядком.

Наконец,

К “ — п.

Система, рассмотренная в примере 9.2.2, является част­

ным случаем этой и получается из нее при а — 0; L® (.г-) — это обычные полиномы Лагерра.

3. Преобразование Эрмита:

где Н п (х) — полиномы Эрмита:

Здесь, как и в дальнейшем, [п/2] обозначает либо п/2 либо (п — 1)/2, соответственно тому, четное или нет число п. Далее,

А,п = — 2п.

В этом частном случае пространство -Л оказывается совпа­

330

дающим с пространством § быстро убывающих основных функций, а Л ' — с пространством $' распределений медленного роста. Доказательство этих утверждений дано в приложении к специальному отчету, цитированному

вработе Земаняна [12].

4.Преобразование Якоби:

числа, удовлетворяющие неравенствам а Д> — 1, ß Д> — 1.

где

2а+р+1Г(и + а + 1)Г(д + р + 1)

І п ~ ; t l ( 2 n + a + ß + l ) r ( n + a-4-ß + l) ’

a P n ’ ß) (ж) — полиномы Якоби:

где Р п {х) — полиномы Лежандра:

771=0

К = п (п + 1).

Этот случай получается из преобразования Якоби, если положить а = ß = 0.

331

где Тп (X) — полиномы Чебышева:

Іп/21

771=0

Кп = — тг2, 7і = О, 1, 2, . . .

Эта система получается из системы, соответствующей преобразованию Якоби, при а = ß = —1/2.

Ас. Преобразование Гегенбауэра:

где w (X) — (1 — х2)р~'‘г и р — действительное число, при­

К = — П (п + 2р).

Чтобы получить эту систему, нужно положить а = ß =

=р — Ѵг* в системе Якоби.

5.Конечные преобразования Ганкеля. Название этих преобразований объясняется тем, что их ядра содержат

функции Бесселя, а интервал / — конечен. Порядок р функций Бесселя считается действительным числом и называется порядком преобразования. Относительно фор­ мул и свойств, приведенных ниже, см. Бейтмен и Эрдейи

332

til, т. II, а также Боас и Поллард [1], Мак-Роберт [і|, Титчмарш 121, Ватсон [1], гл. 18.

5а. Первая форма'.

а через г/р,п обозначены все положительные корни урав­ нения /р (у) = 0, причем 0 < y p ,t < у р ,2 <Ур,з < • • •!

К— Уѵ-м-

Вэтом случае разложение (2) называется рядом Фурье — Бесселя порядка р для функции и /.

ЪЬ. Вторая форма:

I = (0, 1),

где через zp,n обозначены все положительные корпи урав­ нения

Здесь р — любое действительное число. Далее,

/ЯД?

2^ 1* (гіѴ, пх) Кр (м;р,пЬ) — Кр (wp, „х) J р (гср, пЬ),

где Ур — функция Бесселя второго рода и порядка р,

333

а через иу)П обозначены все положительные корни урав­ нения

Наконец,

—НУ.П'

За д а ч а 9.8.1. Используя первую форму конечного преоб­ разования Фурье, найти в соответствующем пространстве Уі' все ре­ шения следующих, дифференциальных уравнений:

сительно других результатов этого типа для обычного преобразова­ ния Эрмита см. Добнат [2].)

нию Эрмита. Для каких значений а справедливо каждое из следую­ щих утверждений?

a) (4) не имеет решений в УІ'\

b) (4) имеет единственное решение в У&'\ c) (4) имеет более чем одно решение в У і':

Найти все решения в У і', если они существуют.

334

З а д а ч а 9.8.5. Пусть / е й ' (/), где I = (— 1, 1). Устано­ вить для преобразования Якоби формулу преобразования операции, соответствующую отображению

ных случаях, а именно для преобразований Лежандра, Чебышева и Гегенбауэра.

(Ряд других свойств соответствующих обычных преобразований

Отсюда, согласно операционному исчислению, построенному в п. 9,7

единственность конечного преобразования Ганкеля (теорема 9.5.2). Объяснить это противоречие и показать, вычислив левую часть формулы (5), что эта формула верна.

З а д а ч а 9.8.7. Используя первую форму конечного преобра­ зования Ганкеля, где на р, налагается условие — 1/2 < р. < 1, най­ ти решение и следующего дифференциального уравнения:

(Sji + Sp + 2) и (ж) = x ' t ^ , 0 < ж < 1.

Единственно ли это решение в соответствующем пространстве?

9.9. Применение конечного преобразования Фурье: задача Дирихле для иолубесконечного канала

Оставшаяся часть этой главы посвящена приложениям некоторых из преобразований, перечисленных в преды­ дущем пункте. Прежде всего мы применим конечное пре­ образование Фурье к решению внутренней задачи Дирихле

335

Мы желаем найти обычную функцию и = и (х, у), удов­ летворяющую в R уравнению Лапласа

Как обычно, мы сначала получим решение формально, а затем докажем, что оно действительно удовлетворяет уравнению. В силу граничных условий 1) и 2) мы должны выбрать третью форму конечного преобразования Фурье;

Тогда можно формально преобразовать дифференциальное

где А (п) и R (п) не зависят от у. Для выполнения гранич­ ного условия 3) нужно положить R (п) = 0. Далее, ис­ пользуя свойства преобразования граничного условия 1), мы получаем, что

336

Таким образом,

U (п, у) = F (п) е~пу.

Применяя обратное преобразование, мы приходим к воз­ можному решению

Поэтому можно применить оператор D% + Dy под знаком суммы в (3). Поскольку функция e~nv sin пх удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему удовлетворяет и функция и. Таким образом, функция и удовлетворяет дифференци­ альному уравнению (1) в обычном смысле всюду в і?. .

Чтобы проверить граничное условие 1), мы должны показать, что для любого элемента

Но в силу лемм 9.3.2 и 9.3.3 функция (sin пх, ф (х)) быстро убывает; это означает, что при п —т- оо

I (sin пх, ф (х) I = о (n~q)

для любого целого д. Отсюда вытекает равномерная схо­ димость ряда в (6) на О у < ° ° , так что мы можем

337

перейти к пределу при у —у- + 0 под знаком суммирования н получить

В силу наших предыдущих замечаний ряд в этой формуле сходится равномерно на — оо < ; оо. Поэтому мы можем перейти в (8) к пределу при і - > + 0 и і - » - я — 0 под знаком суммирования и убедиться в выполнении граничного условия 2). По той же самой причине

\піх, Й К / т - 2 |^(п)|в“п»-> 0, у - > о о,

п=і

откуда вытекает справедливость граничного условия 3).

З а д а ч а 9.9.1. Установить, почему решеппе (3) не единст­ венно .

З а д а ч а 9.9.2. Решить уравнение Лапласа

Повторить эту процедуру для каждой из трех остальных сторон Я . Затем использовать следующий принцип суперпозиции: решеппе, соответствующее сумме граничных условий, равно сумме решений, соответствующих каждому из граничных условий.

338

9.10. Применение преобразований Лагерра и Якоби: пространственно-временной синтез сигналов

Классической задачей в теории электрических цепей яв­ ляется так называемая «задача пространственно-времен­ ного синтеза». Один из ее вариантов формулируется сле­

рическую цепь, состоящую из конечного числа действи­ тельных сопротивлений, емкостей и индуктивностей, ко­ торые фиксированы, линейны и положительны, что вы­

ляется более жестким, чем это необходимо, поскольку допустимы также простые чисто мнимые полюсы, па вы­ четы в которых наложены некоторые ограничения).

Выбирая N в (2) достаточно большим и удовлетворяю­ щим используемому критерию аппроксимации, мы мо­ жем применить множество стандартных методов синтеза для построения нужной электрической цепи, так как функция F n ( s ) известна. Таким образом, существенная часть этой процедуры состоит в нахождении выражения (2), имеющего указанные выше свойства. Если функция

339