книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

для любой ф ЕЕ А . Здесь г и С зависят от /, по не от ф.

и аналогичное определение принимается при замене я и х —* я — 0 на — я и X —* — я + 0 соответственно. При этом, как вытекает из задачи 9.3.3, правая часть соотношения (4) может быть расширена до периодического распределения

320

9.5.Ортонормальные разложения

иинтегральные преобразования обобщенных функций

Следующая теорема является основной в этой главе. Она

Таким образом, ряд в правой части формулы (2) действи­ тельно сходится для любой і р Е І , а это и означает, что ряд в (1) сходится в Л '. Теорема доказана.

Мы можем рассматривать ортопормальное разложение

(1) как обращение формулы, определяющей некоторое интегральное преобразование обобщенных функций, ко­ торое задано выражением

U/ = F (п) ^ (/, фп), / е= Л \ п = 0, 1, 2, . . . (3)

Таким образом, U является отображением Л ' в прост­ ранство комплекснозначных функций, определенных па множестве натуральных чисел. Обратное отображение U-1 дается формулой (1), которую можно переписать в виде

ео

і г ^ ( п ) = 2 * > Н п = /. п=0

(В дальнейшем преобразованная функция (3) будет обоз­ начаться прописной буквой, соответствующей строчной букве, использованной для преобразуемой обобщенной функции из Л '.) Как нетрудно видеть, U является линей­ ным отображением, непрерывным в том смысле, что если

системе примера 9.2.2, следующие формулы преобразования опера­ ций; при этом F (п) = Ц [/ (ж)]:

П

a) U [е-*/» Д в **/(*)]= 2 F (А-); k—Q

b) И [ex!2xDex^f (ж)] = nF (п) - (п + 1) F (п + 1);

c) Ц [ex/2Dxe~Xl'2f (ж) + ж/ (ж)] = (п + 1) [У (п) — F (п 4- 1)];

d) U [e~x,2Dxexl2f (ж)] = - (я + 1) F (л + 1);

e) U le~3xl2DxexDex/2f (ж)] = — 2(л + 1) F (п - f 1) + nF (л); /) U [ж/ (ж)] = — (и + 1) F {п + 1) + (2л + 1) F (л) —

- nF (л - 1), F ( - 1) = 0.

У казание. Использовать следующие формулы для полиномов Лагерра L n (ж) = Z,“ (ж);

(Относительно различных свойств обычного преобразования Лагер­ ра см. Дебнат [1], Хиршман [2] и Мак-Калли [1]).

9.6. Описание обобщенных функций из А ' и их преобразований

Мы обратимся теперь к задаче точного описания функций F (п), порождаемых преобразованием U. В частности,

мы докажем, что последовательность {Ьп}^°=0 комплексных чисел является преобразованием некоторого элемента / из Л ' (т. е. Ъп = (/, фп)) в том и только в том случае, если эта последовательность удовлетворяет условию (2) на рост, сформулированному ниже. Это в свою очередь при­ водит к описанию элементов Jl' в терминах некоторых ком­

бинаций обобщенных производных элементов простран­ ства (/).

322

Т е о р е м а 9.6.1. Пусть Ьп — комплексные числа. Ряд

Первый ряд в правой части сходится по предположению,

вто время как второй ряд сходится в силу лемм 9.3.2 и

9.3.3.Таким образом, ряд (3) сходится.

(/ѵфт) — Ьт . Этим доказано последнее утверждение тео*

ремы.. . . .................................. .............., •- -

11* 323

Снова предполагая, что (1) сходится в .Л' , мы докажем, теперь сходимость ряда (2) при некотором q. Мы сделаем это, используя метод Кореваара. Из доказательства тео­

Мы сначала покажем, что последовательность {К?Ьп}, где п пробегает те целые числа, для которых Кп Ф 0, огра­ ничена при некотором значении q, скажем, q0. Действи­ тельно, если это не так, то последовательность неограничена при всех q — 1, 2, 3, . . .; следовательно, существует возрастающая последовательность индексов nq, для которой

\K?bnq\ > 1 , q = 1, 2, 3, . . .

Выберем теперь ат так, что

І % | = І ^ О 'Г 1. ? = 1 ,2 , 3 , . . . ,

и ат — 0 при т Ф nq для всех q. При любом фиксиро­ ванном неотрицательном целом числе к

Ряд в правой части сходится, поскольку величина | knq р*-? ограничена единицей для всех достаточно больших q.

Из леммы 9.3.3 вытекает только, что функция <р = принадлежит Л . Таким образом, мы нашли элемент ІА, для которого

3 24

тд,

Но [ Я,і I -V оо; поэтому сумма в (4) меньше числа 2q~2 для всех достаточно больших д. Отсюда следует, что ряд

S І^ п І2

п=о

сходится при любом к. В силу леммы 9.3.3 функция

Мы снова получили противоречие с условием А . Теорема доказана.

Следующая теорема дает точное описание элементов Л '.

Т е о р е м а 9.6.2. Для того чтобы / е е Л ', необходимо

идостаточно, чтобы существовали неотрицательное

целое число q и функция g ЕЕ Ь 2 (/), такие, что

хп=о

325

(g; ^пФп) = (£. ^Ф п) = №9g, ф„).

Собирая теперь все полученные результаты, мы можем написать

СО

Теорема доказана.

З а д а ч а 9.6.1. Пусть А — пространство основных функций, соответствующее системе Лагерра (см. пример 9.2.2). Показать, что

e~sx GE А - для каждого фиксированного sEE1#1, имеющего положитель­ ную действительную часть. Это позволит нам определить односто­ роннее преобразование Лапласа любого элемента / ЕЕ А ' формулой

326

и по стр о и м р азл о ж е н и е и р яд ш іда

Доказать следующие два утверждения, которые дают возможность обратить формулу (6). Функция F (.5) является преобразованием

Лапласа в смысле определения (6) обобщенной функции / ЕЕ Ж ' тогда и только тогда, когда F (s) обладает разложением (8), где последова­ тельность комплексных чисел удовлетворяет условию (2) теоремы 9.6.1. В этом случае

можно переставлять произвольным образом.

9.7. Операционное исчисление для оператора Зі

Мы уже отмечали, что дифференциальный оператор 31 определяет непрерывное линейное отображение Л ' в Л '. Поэтому для любой обобщенной функции / Л ' мы можем написать

Это соотношение можно использовать для решения диффе­

Если Р (Кп) =уь=0 при всех п, то полученное уравнение можно разделить иа Р (А,„) и, применив оператор U-1, получить решение

— И п=0 Ѵ71

327

В силу 9.5.2 и 9.6.1 это решбние Существует и единственно

где ah — произвольные числа.

З а д а ч а 9 .7 .1 . Сф орм улировать усл о в и я , пр и которы х опера­

ционное исчисление дл я 91 мож но обобщить н а системы дифференци альны х уравн ений .

9.8. Частные случаи

В п. 9.2 мы упомянули о том, что все интегральные преоб­ разования обобщенных функций, построенные на основе классических ортогональных полиномов, так же как и многие другие, являются частными случаями преобразо­ ваний, охватываемых развитой в этой главе теорией. Ниже мы перечислим ряд таких преобразований и для каждого из них укажем интервал I , дифференциальный оператор 31, собственные функции фп н собственные значения Хп. Функции фп образуют полное ортонормальное множество в Ь 2 (/); во всех случаях мы считаем выполненными усло­ вия п.9.2. Таким образом, любое прямое преобразование и

328

обратное к нему можно записать, просто подставляя со­ ответствующие величины в выражения

(Система пумерации отличается от принятой в общем слу­ чае; см. задачу 9.6.2.)

1Ь. Вторая форма:

I = (0, я), 91 = D \

n = 1, 2, 3, . . .,

Kn = — я2, n = 0, 1, 2, . . .

1c. Третья форма:

I = (0, я), 91 = D 2,

n = 1, 2, 3, . . .,

329