Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

последовательность в	Ь 2	(/).	При			этом последователь
ность {фп} называется	ортонормальной,						если
			0,
(Фп, Фт) =				п =j= т,
				п	=	т.
			1,

Полнота {ф„} означает, что каждая функция f ЕЕ Ь 2 (/) может быть разложена в ряд

сходящийся в		Ь 2	(I),	/ = и2=0 (/. Фп)Фп			(5)
сходящийся в			N	т. е.	N -> ос.
	аоГ/ —2			(/, Фп) Ф,Л->о,	N -> ос.
Назовем		L	1 1 = 0				{ф„}.
Назовем	(5) ортонормалъным^ разложением /					по	{ф„}.
Нужно	отметить,		что для данного		оператора	3?	может

существовать более чем одна полная ортонормальная си стема {фп}“=о собственных функций.

ВажныйЬклассический результат гласит, что последо
вательность		{ф„}		полна тогда и только тогда, когда для
любой / £		2	(/)	коэффициенты Фурье (/, ф„) удовлетво
ряют	равенству			Ларсеваля
		со		Ь

2	К/. 'Pn)la=s^\|/\|2ds = [ao (/))2-
п=о	'а

Отметим далее теорему Рисса — Фишера, которую мы сформулируем следующим образом.

Т е о р е м а 9.2.1. Пустъ {фп}п=о — полная ортонормалъная система, введенная выше, и пустъ {сп}п=0 — такая

					со
последовательность комплексных чисел,				что ряд
					1 1 = 0
сходится.	Тогда	существует	единственная		функция
сходится.	Тогда	существует	единственная		2 \|сп\|2
/ 6= Ь 2 (I ),	для	которой сп =	(/, ф„).	Следовательно,

оо

/ = 2 спФп

п=о

в смысле сходимости в Ь 2 (/).

310

Все функции из ортонормальных систем, образованных классическими ортогональными полиномами, так же как и функции из других стандартных ортонормальных сис тем, являются собственными функциями дифференциаль ных операторов 2П, обладающих перечисленными выше свойствами. Мы приведем сейчас два примера таких сис тем; еще ряд систем будет указан в п. 9.8.

П р и м е р 9.2.1. Система Фурье. Пусть / = (— л, л) и

91 = _ і о = Г І/г О г ' /г.

Мы можем положить

(ж) = V 2л ’ " = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

Тогда

*71 = п.

(Здесь мы использовали систему нумерации, отличную от упомя нутой выше; см. в связи с этим задачу 9.2.1.) Итак, любая функция / е (/) может быть разложена в ряд

оо

	/ ( * ) = і _ 2	(/ (0. е”1')	еіпх,
	п=—со
являющийся экспоненциальной формой ряда Фурье для /.
П р и м е р	9.2.2. Система	Лагерра. Положим		теперь I =
= (0, оо) и
91 =	exi2Dxe~xDex/2 =	хТТ- + D —		.

Одна из полных систем собственных функций оператора 01 состоит из фупкцнй Лагерра (ом. Бейтмен и Эрдейн [1], т. II)

'l’n (*) =	S	(1) - Ч т -		’ « =	2-----	(6)
	711=	0
Соответствующие собственные значения имеют вид
	.	к = —	п .
З а д а ч а	9.2.1. Показать,		что	относительно	сходимости	в

Ьг (/) члены ряда (5) можно переставить произвольным образом и что ряд Фурье, указанный в примере 9.2.1, является пределом суммы

2(/(0,еЫ )«*"*,

п= — м

когда N и М независимо друг от друга стремятся к бесконечности.

311

9.3. Пространство А основных функции

Теперь мы построим пространство А основных функций, зависящее от выбора интервала /, дифференциального опе


ратора 31 и	полной ортонормальнойА системы							{ф„}”=о
собственных функций. Сопряженное к							пространство		А '
является пространством обобщенных							функций,	каждая
из которых может быть разложена в						ряд по собственным
функциям фп.	В дальнейшем через			п	п	к	всегда будут обоз
начаться неотрицательные целые числа.
Пространство		А	состоит из всех функций ср(.т), облада

ющих следующими тремя свойствами:

1)cp (X) — гладкая комплекснозначная функция на I .

2)Для любого к существует (т. е. конечна) величина

ак (ф)= “ о (9*кф) = [ J I ЯЛр (*) I2 Дс]

3) Для любых п и к

(®кФ. Ч»*,) = (Ф- Sl4n)-

Пространство А линейно. Кроме того, семейство

{ссь}ь=о определяет мультинорму на А.. Действительно, для любой постоянной ß, очевидно, а к (Рф) = | ß | a h (ф). Далее, a h (фі + ф2) a h (фх) + (ф2), что легко пока зать, используя неравенство Шварца. Следовательно, каждый функционал аи является полунормой, причем а 0, очевидно, задает норму на А . Мы снабдим А топологией,

порожденной мультинормой { а ;!}“=0 н превратим А , та ким образом, в счетно-мультинормнрованиое простран

ство.

При этих

условиях

оказывается

пространством

основных

функций;

это

будет показано

позже.

Далее,

ясно, что

станет

подпространством

Ь г

(/), если мы

отождествим каждую

функцию из

с соответствующим

классом эквивалентности

в Z,2 (/);

сходимость в

влечет

сходимость в

L %

(/).

А .

Каждая

функция ф„

принадлежит

Действительно,

г|Ѵ удовлетворяет условию 1) по предположению. Кроме

того,	ь	d x	\	d x = К
			ь

К (Ф«)Р = 51ЮЧпР = IѴР* I	I р\
а	а

312

так что условие 2) выполнено.

Наконец,

если

т,

то

(ЗЛ|>„, Цзт )

= Ад(фп, фт ) =

0 =

Кт

фт ) =

ül^m),

в то время как при п =

(Ф ,м ^ Ф н ) =

- (ф„,

( З І Ч п . Ф п ) =

( ^ t n

Ф п ) =

(Ф п , ^ Ч п ) ,

поскольку

А.,,

— действительное

число.

Таким

образом,

условие 3) также выполнено.

определяет непрерыв

Отметим также, что

операторЛ .

ное линейное отображениеПространствов себя.ЛЭтополновытекаети являетсянепос

редственно

из

определения

Л е м м а 9.3.1.

{фт }т=і — последо

поэтому

пространством

Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

вательностьZ(I)Копіи в

Л .

Тогда для любого

L 2мы получаем,

что

— последовательностьЬ 2

Коши

Ь 2{1).

В силу

полноты

существует функция Xk 6=

(/), которая

является пределом в

(/) последовательностик.

(9lfci|)m}m.

Мы покажем, что Хк почти

всюду (на

равна

Э^Хоі где

функция Хо £=

не зависит от

I ,

Пусть

Хі

— любая

фпкспроваппая

точка

а х

— пе

ременная точка в

I .

Пусть D -1 — оператор интегрирова

ния:

D -1 =

jj . . . dt.

Тогда для любой гладкой на

функции

Используя

D - 'D t

(х)

g (®)

g (®0-

п.

9.2)

неравенство хШварца

(неравенство (3)

на интервале с концами

хи

мы можем написать

(фт

ф „) I2 =

Ѳ^31ь+1 (фт

фп) dt

10Ö1 12 dt^ 131*+1 (фт -

сРп) fdt <

Л'1

XХі

<|^|Ѳ 01|2й^|зг'с+1(Фт-Фп)Іа^

(3)

Хі

313

Пусть теперь £2 обозначает произвольный интервал, замы кание которого компактно в /. Первый интеграл в пра вой части (3) является ограниченной гладкой функцией на каждом интервале £2, поскольку Ѳ0 =?= О всюду на I . Второй интеграл сходится к нулю, когда т и п независимо стре мятся к бесконечности. Отсюда видно, что левая часть

выражения (3) сходится к нулю равномерно на каждом £2.
Мы можем, последовательно вычеркивая операторы
дифференцирования	и умножения на 0h в операторе 92,
построить функцию 92~ 192'т		ф (я), где
эг-і =	ѳ:1п	,1ѵ .. ѳ г 1/)-,і-Ѳ01
и	D~n	= (ZT1)".

На каждом шаге получающаяся величина будет равномер


но сходиться на любомх		интервале £2			при		т —у		оо.	обра
Заметим теперь,	что		функция			Sß~13lte+1qjm (гс)
щается в нуль в точке		=	x t	вместе со всеми своими про
изводными порядка,	меньшего s == /?,					+ . . .			п ѵ.	Таким
образом,	92-192k+1cpm(*) +				S	anjgj		(*),		(4)
3 * 4 . И =

3< S

где сумма обозначает те решения дифференциального урав

нения(х)

92г/ =

0, производные которыхUly

порядка, меньшего

совпадают

в точке

хг

с производными

92Лфт (ж). Пусть

ёі

— решение

уравненияі

gy,

удовлетворяющее

условию

і(ж,)

бу,

0, 1, . . ., s — 1

(через

g f

обозначена

t-я производная

бу — символ Кронекера:

бу = О

при

6Ü = 1).

Функции

gj (х)

являются

линейно

независимыми и гладкими

на любом интервале

(Гуревич [1], стр. 46);

каждый коэффициент

ат,

равен

]

й производнойт

92я" фт

в точке

хх.

Так

как

92*фт

схо

дится

Ь 2

(/),

92_192'1'+1фт сходится

равномерно на

каждом

£2 при

—у оо,

мы

можем

сделать вывод,

что

выражение

SJ < 8

“ rriiëj

(5)

сходится в Ь 2 (£2) на каждом £2. Отсюда в силу линейной независимости gj вытекает, что при любом / коэффициенты аті стремятся к пределу a,j. Следовательно, сумма (5), а поэтому и 92,сф7П, равномерно сходится на каждом £2.

314

Равномерный предел выражения 31кфт , который мы обозначим через является непрерывной на I функци ей. Кроме того, предыдущие рассуждения остаются спра ведливыми для любого к, и поэтому из (4) мы получаем равенство

1 ч (*)

а*_1Х*+і И

° і S i

(*)■

(6)

Мы

можем

заключить,

J < S

что%hХи — гладкая функция

Xh+i

=(z)Six ft;

следовательно,

9lkX0.

Далее,

Xk (s)

= Xk

почти всюду на /, поскольку X/t — равномерный

предел

последовательности

{3lkcpm}m на каждом

ß ,

Хи —

предел

{9lkcpm}m в

Ьг

(/). Таким образом, обе функ

ции,

{SftkX0}

и Хк»

принадлежат одному и тому же клас

су эквивалентности

Ь2

(/).

Отсюда

следует,

что

для

любого

будет а ,, (у.о) =

“ о (31АХо) < ° °

а * (Хо -

Ф т )

а о (Зг^Хо —

3 lk<Pm) - > О

при т -> оо.

к.

Чтобы закончить доказательство, мы должны уста

новить,

что (ЯІкХ„, фт )

(хо> ^ Афп)

для любых

Так

как скалярное произведение непрерывно относитель

но сходимости в

Ьг

(/)

любого из

своих аргументов,

то

(Ю*Хо, Ф„) = üm (SlV n . Ф„) = Hm (cpm, 31Афп) = (х0) ЗР'фп).

		7П—>ЭО				771—>эо
Лемма доказана.
	Теперь мы докажем еще три леммы, которые нам по
надобятся в следующих пунктах.
	Л е м м а 9.3.2.			Если	cpООée	Л , то
	Л е м м а 9.3.2.				cpООée
				Ф *= 1 S ( ф . Фп) Ф п .
где ряд сходится в Л .					1 = 0	В силу условия 2), сформу
где ряд сходится в Л .
Ьг	Д о к а з а т е л ь с т в о .
лированного		в начале этого					пункта, 3lkcp			принадлежит
	I								к.	Следователь
	( ) при любом неотрицательном целом									Следователь
но, мы можем разложить $ftkip							в ряд по ортонормирован-
ным функциям фп.				Используя			(2)	и соотношение 31ф„ =
=	Х„фп, где	Кп	— действительные					числа,		мы получаем
		Кп

315

для любого к

з^ф =

(юкф. w Ф« =

(ф, я**’!’«)

П=О

2 (ф. ь&п) ■ фп =

(Ф, ■ фп)

(ф, Ф,0 зі4 « .

(?)

Эти ряды сходятся

Ь 2

(/). Поэтому N

> 0

Ф п

—

( ф

іі=0

ii=o

при N -* -o a . Это и нужно было показать.

Отметим, что в силу последней

леммы оператор 91

удовлетворяет условию

х) =

(ф,

ЗІХ),

(8)

(Зіф,

где

— произвольные элементы пространства

Л .

В этом случае

оператор

5ft

называют

самосопряженным

на Л .

Чтобы доказать (8), мы используем формулы (2),

(7)

и тот факт, что

скалярное

произведение

непрерывно

по каждому из его аргументов, и напишем

(®Ф. X) =

^ X 2

(Ф* ^я)

= 2

(ф’ 'Ф") 5 ^3l4,n

a n

2 (Ф. Фп) $ Фп ^Xd x

U 2

(ф’ 'Ф") Фп^Х d x = (ф,

5ftx).

Ортонормальные

ряды,

сходящиеся в

Л ,

можно опи

сать следующим образом.

Пустъ

ап

комплексные

числа.

Ряд

СО

Л е мсходитсям а 9.3.3.в Л

тогда

и—только

тогда

когда

ряд

аЛ і

оо

сходится

при любом

неотрицательном

=о

| Х „ Г К | 2

п=0

целом к.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используем ортонормаль ность множества функцийфп и напишем следующую цѳпоч -

316

ну равенств

М ’п *&: =

2 аЛн'Фп'

п=<2

n=q

= 5

а ^ ь Х ф Л ,

dx =

2 1 ^

|2V I

Г-

an = 7 m=<7

tlsij

Утверждение сразу

вытекает из

этих

соотношений.

Л е м ы а

9.3.4.

является подпространством <ß

(/).

{вфт }т=а

Кроме того

последовательность

сходится

в Л

к пределу,

еслито

сходится

самому пределуф,

{4рт }

& (I) к тому же

ф.

Мы докажем только второе

Д о к а з а т е л ь с т в о .

утверждение,I

поскольку.

первое очевидно.

Снова

обозна

чим через £2 произвольный интервал, замыкание которого

компактно в

Мы уже видели при доказательстве леммы

9.3.1, что если

последовательность

{фт }

сходится в

кто она, так же как

последовательность

(9Ифт }т

при

любом /с, сходится равномерно на

каждом

й .

Полагая

0 в формуле (4),

мы получаем равенство

Фт —

*^Фт

2 ^mjSj

('*')>

причем коэффициенты

amj

3<s

при л і- ѵ оа .

Кроме

сходятся

того, мы можем написать

0фт = Г (№ )

Е Г -

. ,ѲГ1П - ‘Ѳ01% т +

amjDgj{x).

Отсюда следует,

что

Вц>т

i<»

сходятся равномерно на й. В си

лу тех же соображений П^фт

сходится равномерно на Й

при

р = 2, .

. . , «

+ . . .

п ѵ.

Аналогичные

рас

суждения, основанные на формуле (4) при

к —

1 (где те

перь amj, вообще говоря, другие постоянные) показывают,

что

П^ЗІфщ

сходится равномерно на Dй при

—»- оо для

всех р = 1, .

. .,

Отсюда можно последовательно полу

чить равномернуюк

s+1c

. .,

D 2S

сходимость и для{ E kq>m}mpm, .

фт .

Продолжая действовать таким образом, мы увидим, что

при

любом

последовательность

Итак,

равномерно

сходится на

любом

интервале

й .

{фт }

сходится

в# (/) к пределу, совпадающему, очевидно, с ее пределом

вЛ , Лемма доказана.

317

Мы можем теперь утверждать, что А является прост ранством основных функций; действительно, как мы по казали, все три условия, сформулированные в п. 2.4, выполняются.

З а д а ч а	9.3.1. Доказать, что a h (ф2 + ф2) <	a k (q^) - f a h (tp2)
при любых Фі, ф2 GE A '.		ряда (5) в L 2 (П)
З а д а ч а	9.3.2. Доказать, что сходимость	ряда (5) в L 2 (П)

при 7п —>оо и линейная независимость гладких функции gj (х) влекут сходимость коэффициентов а mj при т —» оо.

З а д а ч а 9.3.3. Пусть	— пространство основных функций,
соответствующее системе Фурье, описанной в п. 9.2.1.			Показать,
что каждая функция ф б ^	может быть расширена до гладкой пе
риодической функции ф (х)	на — со < а; <	оо с помощью	равенств
ф (х) = ф (х), — л < X < л,
Ф (л) = lim ф (х), ф (— л) =		lim ф (х),
X - + 7 Z — 0	7 П —* П + 0
		х
Доказать далееф, что(г* +последовательность2я) = ф (я), — оо{%<,}т=о<[схоо°Дчтся.			в тогда

и только тогда, когда {фт } сходится равномерно на — оо < х < оо.

(Отсюда вытекает, что пространство основных функций для систе мы Фурье примера 9.2.1 можно на основе указанного расширения отождествить с пространством ^>2_ периодических основных функций.

Следовательно, элементы сопряженного пространства j&' можно отождествить с периодическими распределениями. Относительно оп

ределения		см.	Земанян [1], п.			11.2.)
9.4. Пространство А ' обобщенных функций										А ,	мы
Пространство обобщенных функций, сопряженное к
обозначим через			А '.	Оно, так же как п				А ,	зависит	от вы
бора /, 91 и фп.			Оказывается,			что	более удобно работать
не	с числом	</, ср>, которое				функционал			f Е= А '	ставит
в	соответствие		элементу cp 6Е			А ,	а с	числом, которое /
соотносит элементу, комплексно сопряженному										ср. Мы
обозначим последнее через (/, ср); таким образом,
				(/, ф) =	< /, Ф>-						(1)

Использование обозначения (•, •) как для скалярного произведения в L 2 (/), так и для числа, которое f E ü A ' ста вит в соответствие элементу cp ЕЕ А , не приведет к недо разумениям; мы это увидим ниже в свойстве III. Правило умножения на комплексное число а принимает теперь следующий вид:

(а /, ср) = (/, аср) а= (/, ср).

318

Так как пространство				Л	полно, то согласно теореме 1.8.3,
полно и		Л '
	Л ' .
Мы определим обобщенный дифференциальный опера
тор 91' на			при помощи соотношения			(3*7. ср).
В силу		(/, 91ср) = </, 91ср> А <91'/, ф> =
		соглашения,		принятого в п.		2.5, оператор 91'

представляется дифференциальным выражением, полу чающимся в результате обращения порядка дифферен цирования и умножения тіа Ѳ в операторе 91, замены каж дого D па — D и затем перехода к комплексно сопря женному выражению. Но, проделав указанные операции,

мы

получим

выражение,

совпадающее

с формулой

(4)

п. 9.2Л '

для

оператора 91.

Таким образом,

91 =

91'

опре

деляется как

обобщенный

дифференциальный

оператор

на

посредством равенства

. /

Ф е

(2)

(31/,

ср)

(/,

91ср),

Поскольку

91 —Лнепрерывное'.

линейное

отображение

, то оноЛявляется'

также и непрерывным линейным отоб

ражением

Мы перечислим теперь некоторые другие свойства ./Г.

(7),

очевидно,

является

подпространством

, а

сходимость в 25.(7) влечет сходимость в

Л .

Следовательно,

сужение любой

обобщенной

функции

/ ЕЕ

Л '

на

25 (7)

принадлежит

25'

(7).

Кроме

того,

из

сходимости

Л '

вытекает сходимость в 25'

(7).

II.

Так

как

25 (7) Щ

CZ $ (7)

(7) — плотно

(7),

плотно

ё{1).

Поэтому из следствия

то Л ' .также

1.8.2а и леммы 9.3.4 мы получаем, что

(7) — подпро

странство

Ь г

Л ,

III .

Мы можем вложить

(7) (и поэтомуА ,

посколь

ку

Ь 2

(7))

определив число,

которое / £Е

Ь й

(7)

ставит в соответствие каждой функции ср (Е

формулой

(Л ф) =

(3)

^/(*)?(*)<&•

Линейность

этого

функционала

на

очевидна.

Его

не

прерывность на

вытекает

изЛтого, что если последова

тельность {cpm},n=i

сходится в

к нулю,

то в силу нера

венства Шварца

« о

(/)

« о

( ф т )

- >

О ,

>- OQ.

I (/»

Фтп)

319

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ