книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

Таким образом, это выражение представляет собой част­ ный случай одностороннего преобразования Лапласа, рас­ смотренного в п. 3.10, в котором нижний предел мог быть произвольным (но конечным числом). Мы уже указали в задаче 3.10.13 один способ обобщения формулы (1). Наше преобразование свертки обобщенных функций дает еще один метод. Рассмотрим ядро вида

Это ядро удовлетворяет предположениям А (п. 8.2).В дан­ ном случае а г = — оо, а а = 1, и для операторов Р п (D ) мы можем использовать выражение

(см. Хиршман и Уиддер [1]). Предположим, что функция / (<) — обычная, и произведем замену переменных у = с х, т = е~‘ в преобразовании свертки:

это выражение! можно отождествить с формулой (1). Тот же самый метод замены переменных может быть исполь­ зован и для обобщенной функции f(t). Сначала заметим, что подстановка т = е~‘ совпадает с той, которую мы ис­ пользовали в п. 4.2, когда связывали пространства X c>d с пространствами J f Ctd. В частности, теорема 4.2.1 ут­ верждает, что отображение т-1 ер (— Іпт)м -ф (і) есть изо­

морфизм Jf-Ctd на i2C)d. Если f{t) Z = £ c,d, то мы можем определить / (— In т) выражением

300

Полагая J (у) = i/_1 ТДЫ у) и j (x) = / (— Інт), мы, на­ конец, получаем повое определение одностороннего пре­ образования Лапласа обобщенных функции, соответствую­ щего формуле (1):

<С ооФормула (8) представляет собой классическую фор­ мулу обращения Поста — Уиддера (Уиддер [1], стр. 288);

301

теперь она имеет смысл и для некоторого класса обобщен­ ных функций /(т). Вообще говоря, формула (8) может быть использована для более широкого класса обобщенных функций, чем тот, который описан здесь (см. Земаняи [3]).

менных, которая была использована ранее в этом пункте. (Укаааиие: используйте формулу

см. БейтменII Эрдейи [1], т. П , 7.12 (23).) Ядро (9) также удовлет­ воряет предположениям А; здесь снова а х = — оо и а 2 = 1 (см. Хиршман и Унддер [1]). Принимая во внимание эти факты, ука­ жите, как преобразование (10) может быть расширено на некото­ рый класс обобщенных функций.

8.6.Преобразование Стилтьеса

Вкачестве другого частного случая преобразования свертки мы рассмотрим преобразование Стилтьеса, кото­ рое на подходящих обычных функциях /(т) определяется выражением

( 1 )

О

302

Начнем снова с обычного преобразования свергъ и

определении Ä C)d и полагая іЛсф(т) = ср(1пт) в равенстве

303

/ (т), мы приходим к следующему преобразованию Стилтье-

са обобщенных функций. Если / (т) е= ftc, d при некоторых с < 4 2 и d — Ѵ 2, то преобразование Стилтьеса J от / определяется формулой

/ ( у ) А 0 < у < ос, ( 7)

где для каждого фиксированного у правая часть равенства

304

Это выражение имеет смысл как предел в 25' (/), где I — интервал 0 < т < ; о о ; действительно, в равенстве (8) и. 8.4 предел 25' понимается в смысле пространства 25', и замена переменной, которую мы использовали (см. (5)) определяет изоморфизм 25' на 25' (/). Таким образом,

Стилтьеса обобщенных функций и его обращения см. ра­ боту Бенедетто [2].

Сделаем последнее замечание. Любые частные случаи интегральных преобразований, которые охватываются преобразованиями свертки (см. Хиршман и Уиддер [1]) могут быть распространены на обобщенные функции, ес­ ли следовать методу, использованному в этом и предыду­ щем пунктах. В частности, совершая подходящую заме­ ну перемепных, можно привести преобразование свертки

(6) к виду

J ( У) = < ) ( * ) , К { у , т ) > , (9)

где К {у, т) — ядро, соответствующее рассматриваемому преобразованию. При этом новое пространство основных функций и сопряженное пространство получаются путем соответствующей замены переменной в %C}d. (Задача 8.5.3 дает еще один пример указанного обобщения.) Формула

(8) из п. 8.4 может быть аналогично преобразована в фор­ мулу обращения для (9).

З а д а ч а 8.6.1. Доказать, что для каждого действительного положительного числа у выражение (у + т)-1 как функция т при­ надлежит р с<(j, если с ^ Ѵг и d — Ѵг.

том, что отображение / (г) >-»- т-1/"-/ (Іи т), заданное формулой (5), осуществляет изоморфизм 3)’ на Ю' (/)•

305

Г Л А В А 9

ПРЕО БРАЗО В АН И Я , СВЯЗАН Н Ы Е

СОРТОНОРМ АЛЬНЫ М И РАЗЛОЖ ЕНИЯМ И

9 .І. Введение

Эта глава по своему характеру несколько отличается от предыдущих. Метод, которым мы здесь будем пользоваться, относится к методам гильбертова пространства, а его про­ тотипом является разложение периодических распределе­

где ф„ образуют полную систему ортонормироваппых функ­ ций, а через F (п) обозначены соответствующие коэффи­ циенты Фурье обобщенной функции /.

Эта процедура приводит к совершенно новому классу интегральных преобразований обобщенных функций. Ос­

сную плоскость. Тогда соотношение (1) определяет об­

рассматриваются собственные функции некоторого само­ сопряженного дифференциального оператора 91. В ре­ зультате соответствующее преобразование U будет по­ рождать операционное исчисление, удобное для решения дифференциальных уравнений, в которые входит опера­ тор 91. Примерами интегральных преобразований обоб­ щенных функций, охватываемых этим методом, являются конечное преобразование Фурье (т. е. преобразование,

30R

соответствующее любому ряду Фурье), преобразования Лагерра, Эрмита и Якоби; в качестве частных случаев перечисленных преобразований сюда входят также пре­ образования Лежандра, Чебышева и Гегенбауэра; сюда относится также конечное преобразование Ганкеля.

Описанный здесь метод впервые был предложен Зема-

Уолтера приспособлен к обобщенным функциям Темпла [1],

смысле определения п. 2.4.

Брага и Шенберг использовали понятие «формально­ го ряда»; см. также Кореваар [2]. Метод Буи можно ис­ пользовать даже в том случае, когда ф„ не являются собственными функциями дифференциального оператора; однако при этом он не подходит для построения операцион­ ных исчислений для дифференциальных уравнений. Ме­ тод Гельфанда и Костюченко фактически является методом спектрального анализа операторов, не имеющих собствен­ ных функций в обычном смысле, но для которых сущест­ вуют обобщенные функции, обладающие свойствами соб­ ственных функций. Он оказался полезным в различных разделах функционального анализа.

Существуют и другие методы, придуманные специально для некоторых ортонормированных семейств, таких как системы Фурьё и Эрмита. См., например, Кореваар [2], Шварц [1], т. II и Видлунд [1].

В этом пункте мы напомним ряд хорошо известных клас­ сических результатов. Относительно ссылок см. Уильям­

а

307

Множество всех квадратично интегрируемых функций можно разбить на классы эквивалентности, предполагая, что две функции принадлежат одному и тому же классу

действительности оно является пространством классов эквивалентности функций. Каждый такой класс представ­ ляется любым из его элементов, и поэтому часто говорят о «функции / (X), являющейся элементом Ь 2(І)». Функцио­ нал а 0 определен на Ь 2(І) равенством (1); поэтому число, которое а 0 относит каждому классу эквивалентности, оп­ ределяется как число, которое а 0 ставит в соответствие любому из его элементов, причем это число одно и то же для всех элементов данного класса.

Ь 2{1) является линейным пространством, нулевым элементом которого служит класс функций, равных нулю почти всюду на I . Кроме того, а 0 определяет норму на Ь 2(І) и является поэтому частным случаем счетной мульти­ нормы (эта мультинорма состоит только из одного элемен­

308

Здесь ß обозначает комплексное число. Кроме того,

где D = d/dx, — положительные целые числа, а Ѳ& — гладкие функции на I , не обращающиеся в нуль нигде на I . Мы потребуем также, чтобы 0h и n h были таковы, что

31 = ѳѵ ( - Z))n* ...( - Я ) " - М - £>)"' Ѳ0;

здесь 0h обозначает функцию, комплексно сопряженную к 0h, т. е. 0ft (х) = Ѳь (х). Кроме того, мы предположим,

что существует последовательность {А-Л}п=о действитель­ ных чисел, называемых собственными значениями опера­

*) В русской литературе это исравонство чаще называют не­ равенством Коши — Бупяковского. (Прим, ред.)

309