Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

8.3. Преобразование свертки

Наше определение преобразования свертки обобщенных функций основано на пространствах Х Су d основных функ

ций и на сопряженных к ним

пространствах

Х с,

кото

рые мы описали в и. 3.2. Пусть

— данное ядро,

а г

2—

си

величины,

определенные

А7

с. Предположения

А1

и А7

означают,

что для любых

действительных

чисел

удовлетворяющих неравенствам

а 2

а х, и для каж

дого фикспроваппогоа гдействительногоd

G (x

числаа 2.ядро

— )

как функция

принадлежит

Х Су

Действительно,

выберем

Р и а

так,

чтобы

ß <

и с < ; а <

Тогда

для

функционала

определенного в п. 3.2, мы получа

xC)d, ( ),

ем

Kc.d

t) Df G(x —

t) =

О (e*-*1) =

(1)

оо

(1)

(

О (ed'-ß') =

xc,d(t)Df

G (х — t) =

о (1)

t -*

оо,

что и доказывает паше утверждение.

свертки

обобщенных

Мы определим

преобразование

для

любой

ЕЕ

Х Су

где

снова

функций

ядром

с <

сс2 и

a lt

формулой

оо

о о .

(2)

(х)

</ (/),

G (х — t)y, —

Будем называть

(а:)

преобразованием свертки

(х)

—

х.

обычная функция, определенная для всех

Заметим,

что мы не используем счетного объединения

пространствG (х

z),

введенногоt

при

рассмотренииX c,d

пре

(

образования Лапласа. Причинахэтого,

состоит в том, что

если

Xc,d

—

как функция

принадлежит

Для од

ного действительного значения

то она будет принадле

жать

для каждого

действительного

значения

х.

Этим функция

(t)

отличается

от

ядра

e~sl

преобразова

ния Лапласа;

e~st

не

останется

X c,d,

если R es

выйдет

изX c,d,интервала

поэтому в гл.

3 мы бы

R e s< J X(w,Именноz) .

ли

вынуждены

рассматривать

совокупность

пространств

т. е. пространства При

данном

ядре

определим

<и;

Т е о р е м а

8.3.1.

и а2 как в предположении

А 1 .

Пустъ

X c,d, где с

а 2

a L,

пусть

F (х)

определяется

выражением

( ) —

—оо

< ; оо

(1).

на

а х

Тогда

гладкая

функция

/ ЕЕ

3, ...

F(k) (х)

</ (0,

№-> (х -

0>,

к =

(3)

290


Здесь H	W	обозначает обычную «-го производную
	Н (z)
функции&с, а	по ее аргументу z.				Заметим,	что поскольку
Д о к а з а т е л ь с т в о .
замкнуто		относительно			операции	дифференциро
вания, то	GW X	—	t)	E ^ c,d, так что правая часть формулы
	(

(3) имеет смысл. Таким образом, нам нужно только дока

затьк равенство

(3);

мы

сделаем

это

методом

индукции.

Предположим,

что

(3) остается верным, если

заменить

на

— 1.

Для

это равенство верно по определе

нию. Пусть

— фиксированное число и

к х Ф

рассмот

±рим[ i ?(kвыражение-1) (X + Ах) -

F ^ i x ) ] -

< / (t),

Gw (X -

0 >

(4)

где (0 =

[ G ^ { x + Дx — t ) ~

</(0,

Ѳд.,•(<)>,

(x -

*)] -

G{k) (x -

t).

0 д.ѵ

Для любого неотрицательного целого числа т мы мо

жем написать

х — І~\-Ах

( x - t ) =

ѲЙ?(0 =

G(m+k) (у) dy

x-- t - \(—l)mG(m+k)-

X—t

A x

dz.

xS—i

dV \

G(m+k+1) (z)

x —t

Обозначим через Л интервал х

— t — |Дж| < ; z < ; х — t-\-

+ |Да:|. ТогдаI

*с, d (0 sup I G lmtk+1) (z) |.

(5)

I «с, d (0 ѲЙ? (0 I <

При

|Az| < ;

:eA

выражение

G<'m+k+1\z)

хс,л «)

sup

ограничено

на

— oo < ;

гел

oo;

это видно из рассужде

ния,

аналогичного% C f d

проведенному

первом

абзаце этогоZ c’ . d ,

пункта. Поэтому из формулы (5)

схо

следует,что Ѳдл. (

дится

К НУЛЮ

П р и

Д х - > - 0 .

П О СК О Л ЬК У

/ е

(4) сходится к нулю при

к х

— 0.

Этим доказательство ра

венства (3)

завершается.

Ю * 291

Следующая		теорема		устанавливает			некоторые ограниче
				F (х)		и каждой из ее производных
ния на скорость роста В
при	X —у	оо.						8.3.1
Т е о р е м а 8.3.2.					предположениях теоремы
функция F		(х)	принадлежит			SÜ,Iib ,	где а и Ь— любые дей
ствительные			числа,	такие,		что а	< ; min (— а 1; —	с) и

Ьmax (— а2, — d).

Отсюда вытекает, что для любого неотрицательного

целого числа

справедливы

соотношения

F 'к) (х)

О (е

~ах) при

X - у

оо и

FW (х)

О е

х —у

— оо.

( ~Ьх) при

Д о к а з а т е л ь с т в о .

силу

теоремы

8.3.1

(х)

— гладкая

функция. Поэтому

нам нужпо

только

доказатьX, что выражение

xatb(x)F(-k) (х)

ограничено

на

— оо

< ; оо. Учитывая (3) и свойство ограниченности,

указанноеь

в свойстве III п. 3.2, мы можем написать

* « ,

И Fik) (X) I =

I </ (0 ,

Ха, ьG{k)(*) ( X

0 >

0 max< p < r

supt

| хС) d (t) ха> ь (х) G{k*v) (х — t) J.

Наше доказательство будет закончено,

когда

кмы пока

жем, что для каждого неотрицательного целого

фупкция

A h (t,

х)

хС)СІ (0

яа>ь (t)GW (х

—

()

Согласно

теорем

ограничена в (f, а;)-плоскости.

условиям

8.3.1

и 8.3.2,

<х1 <cß,

аг < ; — а,

< ; а 2 и — Ь < ; а 2.

По

этому

лгы

можем

выбрать два

таких

действительных

числа

ß, что

<[ ß < ; min (—

а, d)

и max (—

с)

н.

а <С а 2.

По

предположению

А7

8.2

существует

константа

К ,

для которой

О,

Кеа

\G(k)( x -

0 | < {

Ке& (*-'),

X —

<*-'>,

—

0 .

Теперь рассмотрим шесть различных секторов (t, ^-плос кости, которые вместе покрывают (t, х)-плоскость. Первый сектор имеет вид t > 0, х > t. В нем справедливы нера венства exp ß (х — if) ^ ехр [— а (х — if)] и

I A h (t, х) I < Z e c'eaW - ') < K e(««)' < К ,

поскольку согласно предположению с + а < 0 . Второй сектор определяется неравенствами х !> 0, t > х. Здесь мы имеем ехр а (х — і) ^ ехр с (х — t) и

\А h (t, х) I < K ec,eaxe*<-x-t) ^ Ке<а+Ф ^ К ,

292

так

какt

а +

с < ; 0.

Третий

сектор

задается

неравен

ствами

.т < 0.

В этом случае можно написать

|4і , (г,

х)

I <

КесіеЬхе

Ае(с-“) 'е(ь+«)* ^

к ,

так

сектор

как

— а < 0 и

Ь +

< ; 0.

Назовем

четвертым,

сектор

— пятым и сек

тор

0 — шестым.

Ограниченность

A k t

( , ж) в чет

вертом, пятом и шестом секторах

устанавливается путем

рассуждений,

сходных

теми,

с помощью

которых

мы

доказали

ограниченность

А к

(£,

х)

первом, втором

третьем секторах. Этим доказательство завершается.

8.4.

Обращение

Преобразование свертки обобщенных функций, опреде ленное равенством (1) в п. 8.3, обращается по формуле

/ = lim Р п (D) F , (1)

71—►СО

где P n (D) — некоторые операторы сдвига и дифференци рования, соответствующие ядру G и имеющие свойства, описанные в предположениях А ; предел в (1) понимается в смысле (слабой) сходимости в 33'. Чтобы доказать этот результат, нам понадобится

Л е м м а 8.4.1. Пустъ для данного ядра G числа а г и а 2 определяются, как в предположении А7 (п. 8.2). Пустъ

также

ф е=

33 и

£ с,а,

где с

< а 2

> а х.

Тогда

G (х /

<ф(х),

—

£ )» =

<ф(я), </(*)»

G ( x —

£)». (2)

8.3.1

Д о кt а з а т е л ь с т в о .

Из теоремы

следует,

что </ ( ),

G ( x

— i)> — гладкая функция

х.

Поэтому пра

вая часть (2)

имеет смысл как интеграл

со

G(x — t)ydx.

5 Ф(*К/(0>

—оо

то мы

можем

показать,

что левая

Так как / (t) £Е £ c<d,

часть равенства (2) также имеет смысл, если докажем при надлежность выражения

/(0==<Ф (г), G (x — f)>== 5 Ф(я) О (х — t) dx

293

пространству

,2Jc,d. Выберем

действительные

числа

и ß так,

что а х <

ß <

а < а.,.

Предположим, что

носитель ф

{х)

содержится в конечном замкнутом интерва

ле

В .

Тогда

Мсогласно предположениямх А

А1

х и АВ7

(п. 8. 2), для любого неотрицательного целого

существу

ет такая постоянная

к,

что

для всех

из

I нс,

(<)

D*t G {х — t)

M keU -V‘,

f < 0 ,

(3 )

/ > 0 .

Можно продифференцировать под знаком интеграла и

нолучить

формулу

t) d U (t)

$ ф

{X)

xc> d (0

D ia (x -

t) dx

I xC)d (

^ M h[\^{x)\dx<Coc.

Таким образом, I (t) действительно принадлежит £ c>d- Остается доказать равенство в формуле (2). Положим

X = В - А и

Предположим,

что / U , m) - * - I (t )

в i?C)d

при т-^-оо.

Поскольку /

<SSc,d>

то

оо.

<f(t), J ( t ,

пг) >-»- </(<),

< ф(я),

—*)>>»

(4)

С другой стороны, применяя /

(t)

к сумме

(t, тп)

почлен

но и вспоминая, что

< f ( t ) , G ( x — t )y —

гладкая функция

я (теорема 8.3.1), получим

</ (г),

(*, /»)> =

- ^ ѵТП= 1

2 t л + т т )^ / (0.G [А +

G (а: — і

)

(*),

</(0. G ( x - t ) > > .

(t, тп)-у I

Равенство (2) вытекает из (4) и (5).

Итак, нам осталось лишь доказать,

что

(

в 5?C)d прй

тп

оо.: Это очевидно,

если

ф(:г)

= 0 . Поэто

294

му предположим, что г); (а;) ф 0 и пусть к — фиксирован ное неотрицательное целое число.

Положим

Н (t, т)

= KCtd

(t)D \

[I (t)

—

J ( t , m)].

H ( t , т)

равномерно

Мы должны— показать< <,

чтос ю ,

сходится.

к нулю на

оо

когда

т —у с ю

Снова выберем

и ß так, что

а 1

ß <

< ; а 2. В силу неравенст

ва (3) по любому заданному в

О можно найти такое

Т,

что для

\t\^> Т

будем иметь

|«e>d( 0 f l t e ( * - f ) | < 4 -

I ф (а:) I dx j

Следовательно,

sup хс,

а {t) Df I

(0 <

4- ■

|(|>Г

Далее, для всех m

sup I хС) d (t) D t'J (t, m) | <

|I|>T

< " T

i r

ф Л + ^

( 6)

Кроме того, существует такое

m0,

что для всех

тп0

Поэтому

правая часть (6)

ограничена

величиной 2

в / 3.

Н (t,

m.) J <Г е

для

т ^>

т0

Т.

Далее,

положим

sup

хс d(t).

Тогда для

t \ ^ . Т ,

|І|<Т

I H(t, m ) \ ^ K Х_Лsф (a;) D/ G (х — t) dx —

ѵ Х

(

)

ф пі

+ £

* (7)

Поскольку

функция ф

(х) D f G {х

—

) равномерно непре

рывна для

всех

(t,

х),

удовлетворяющих

неравенствам

—

T ^ t ^ T n A ^ x ^ B ,

то существует такое

шъ

что для

всех

т1

правая часть неравенства (7)

ограничена ве

личиной в на —

Т.

Таким образом, мы доказали,

295

что

H i t ,

t <00

тп-ігаі) сходится равномерно к нулю на — оо <

при

-оо.

Доказательство леммы 8.4.1 окончено.

Мы можем сформулировать теперь следующую теоре

му

обращения.

Зададим

для данного ядра G

чис

Т е о р е м а 8.4.1.

ла а г и а 2 по предположению

А7 (га. 8.2),

и пустъ P n (D),

цирования,

описанные в

га =

0, 1, 2, ... —

некоторые операторы сдвига и дифферен

условиях

А (п . 8.2).

Предположим,

что

/ е

£с.

di гдеF

с{< а 2

и d а

г.

Если

G (x

— t)y,

то

х)

</(г),

(8)

lim P n (D)F =

71—*00

в смысле сходимости в 3)', гаг. е. для каждой ф е й )

lim <Pn {D)F, ф> = </, ф>. 7WOO


Д о к а з а т е л ь с т в о .					Поскольку			F (х)		— глад
кая функция,	Р п (В)		=	eBnDQn {D ),		где	В п —		действитель
Qn		— полином, то
ное число и Р п							+ В п).
		(D)F(x)		= Qn ( D x) F ( x

Эта функция также является гладкой. Поэтому выраже ние <Pn (B)F, ф > представляет собой интеграл, и для лю бой функции ф е= 3) мы после повторного интегрирования по частям и замены переменной получаем

<Pn (D)F, ф > = < F , P n ( - D ) ф> =

= <Pn ( - D x)^(x), <f(t), G { x — £)>>.

Очевидно, функция P n (— і?)ф также принадлежит 3). Следовательно, можно воспользоваться леммой 8.4.1 и написать

<Рп

(

)

F ,

ф> =

<f(t), <Рп (— В х)

ф(ж),

G { x

— £) >> —

Р п ( В х) G ( x —

< f i t ) ,

<ф(.х),

*)>> =

ix ~

*)»•.

Поскольку

/ ( і)€е

= </(*)>

<Ф(а:).С п

5?с, di то осталось

только

доказать,

что

<ф(я), Gn (x — *)>->ф (г)


в	X c,d	при	п ~ + о о .		Другими словами, мы	должпы
доказать, что				для любого неотрицательного		целого	к
доказать, что				для любого неотрицательного		целого

296

выражение

«cd (О D*	[ jj ф (г)	Gn{x — t)dx — ^ (£)]	(9)

—со

сходится равномерно к нулю на — оо < ; t < оо при тг-ѵ.оо. Поскольку G — гладкая функция и ф GS 25, мы можем дифференцировать под знаком интеграла; при этом (9) переходит в

со

« c d (0[ jj Ф и DHtGn(х — t)dx — ф® (<)] =

= « c d (0 [ ^ Ф (х ) ( — D x)kGn(x — t)dx — ф <« (*)] .

—оо

Интегрируя по частям к раз и используя предположение A3, а именно,

5 Gn (x — t)dt = 1,		(10)
мы найдем, что ѵ9) равно
оо
«cd(t) ^ [ф(ІС)(а:) — фІЛ)(г)]0п(а: — Oda: =	1	$) + h{t) + I z(t).

Здесь через /*(£), /2(і) и I 3(t) обозначены слагаемые, полученные в результате интегрирования на интервалах

— оо <i X <С. t — 8, t — б < £ < £ + б и f + б < х «< оо соответственно; б — положительное число. Предположе ние А 2 утверждает, что Gn (t) > 0. Из него и из равенства (10) мы получаем оценку

'	h (t)	I <	« c ,d	(<) sup	I ф<« (Ж) _ ф(Ю (і) I <
				<— Б О : < і + 5	< б « с ,d(t) SUp	I -ф(Л+1) (Т) I
Пусть		б принадлежит			f - 5 < T < f + S
Пусть		б принадлежит			интервалу 0 < б < ; 1 .	Тогда, по

скольку ф гладкая функция, имеющая ограниченный носи

тель,

последнее

выражение

ограничено

величиной

8В,

где

не зависит

от

и б. Итак, для данного е

0 имеем

I /2(£)

е при

б =

m in (l,

dB )

и для всех

п.

Зафикси

руем это значение б.

297

Далее,

рассмотрим выражение

( - 8

t)dx.

,d(0— ^о о Ч*к>(*)С„(.т — t)dx — xc,d(f) ip>(0— ^с с

Gn{x —

( И )

Поскольку

tф<16 Е

функция

xC)d ( і ) ф (к>(£ )

ограничена

на — оо <

оо.

Кроме

того,

по

предположению

А5

( - 8

—8

Gn (x — l)dx = ^ Gn {y)dy~> О,

п - а- оо.

—СО

—оо

Следовательно,

второе слагаемое в правой части равенст

ва (,11) равномерно Jсходится

к нулю на — оо

оо

при

п ~ *-

о о .

Обозпачпм первое слагаемое в правой части

равенства (11) через

(

t).

Пусть, как и раньше,

.В — конечный замкнутый интервал, содержащий носи

тель функцииф

{х).

При —

оо

— б

имеем

(/) =

0. С другой

стороны, при

— б < ; оо

справедли

ва

оценка

xCtd(2) <

K e ct,

если

— некоторая достаточ

но большая постоянная, и поэтому

I А (0 I ^

dveci

(—8

(х)

ecJ'x~l)e~c^ l)Gn (х

—

t) dx.

^ I ф№

всех

достаточно

больших

В силу предположения А6 для

функция

e~c(-x~l'>G „ { x

—

монотонпо

возрастает

(как

функция

—

при

—

— б,

так

что

она

мажо

рируется

величиной

ec&G n (

— б).

Следовательно,

при

г— б <

оо

J ,

K ecbGn

(х)

dx.

( ) I <

( - б) 5 I ф№>

Согласно

предположению

при /г—> оо.

A4 Gn (—бt)

Это доказывает

равномерную

сходимость

/ г(£)

і()и,

сле

довательно,

і\(2) ) к нулю на — оо <

< t

оо.

/3 (

п -*■

-а-

Аналогичное рассуждение показывает, чтоп

также

равномерно сходится к нулю на — оо <

оо

при

верх

о о . Изt

всего сказанного вытекает, что при

—> оо

ний

предел

(9)

равномерно

ограничен

величиной

на

—

оо

о о .

Поскольку

0 — произвольно,

то

298

наше доказательство окопчепо. Следствием теоремы 8.4.1

является

теорема единственности). Пустъ

Т е о р е м а

8.4.2

(

/ ЕЕ

h €Е

Полооким F (х)

8.4.1;

определяются

как

теореме

пустъ

c,d

—

( t ) , G (x

Н (х) —

h {t

G {x

Если

F (х)

И (х) для всех

Xи,

то f

25'.

Р п D )

— h в смысле равенства в

операторы

—

(

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

определены как

в теореме 8.4.1.

Тогда в смысле сходимо

сти в 25'

/ =

lim

Р п

(

D) F =

lim

Р п

(

)

/г,

—*>00

71—ю о

что и требовалось доказать.

На самом деле мы можем усилить заключение теоремы

8.4.2.

Из п.

3.2

следуетъ, что сужения / и

на счетное объ

единение пространств

X (с, d)

принадлежат

X '

(с,

d).

Кроме того,

25 плотно

(с,

(см. п. 3.2, свойство

I).

Следовательно, поскольку / и

совпадают на 25, они долж

ны

также совпадать и на

X '

(с,

d).

Другими словами, / =

в смысле равенства в

(с,

d).

пункт,

упомянем о том,

Прежде

чем

закончить

этот

что существует другая формула обращения

для преобра

зования свертки обобщенных функций (Пенди и Земанян [1]). В ней используется интегрирование в комплексной плоскости, и поэтому она называется комплексной форму лой обращения. В противоположность этому формулу (8), где независимые переменные функций / и F действитель ны, называют действительной формулой обращения.

Комплексная формула обращения справедлива не для столь широкого класса ядер G, как формула (8).

8.5. Одностороннее преобразование Лапласа

Оставшаяся часть этой главы посвящена двум извест ным интегральным преобразованиям, которые при замене переменных превращаются в частные случаи преобразо ваний свертки. В этом пункте мы изучим ту форму преоб разования Лапласа, в которой пижннй предел интегра ла полагается равным нулю

J ІУ) = ^ І (*) e-ir-dx.	(1)
О

299

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4130 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ