книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

Множитель в первых квадратных скобках — ограничен­ ная функция £. Поэтому для любых а, Ь, с и d

Ха,Ъ,Ѵ И (ГО)] < К Xc,d,P (ф (3)],

где К — постоянная, не зависящая от ф; отсюда следует паше утверждение относительно ф (б) ►-+- гф (гб). Поэто­ му ф (б) н- г ф (гб) есть непрерывное линейное отобра­ жение W (— ос, с » ) в W (w, z) для каждого w и z. Таким образом, правая часть (8) имеет смысл как результат при­ менения

280

Тогда, как и и классическом анализе, оказывается, что температуру ѵ (я, у) в стержне в любой момент времени у

ляется гладкой (на самом деле аналитической) функцией

Если ^ (ax) £Е W (nb при любых а я b (лемма 7.5.1), то формула (10) будет установлена, как только мы покажем,

281

^ІС К Ід іі

j

Для IA£| < -5- min (£, 1 — i) последнее выражение огра­

ничено величиной М I Аі|, где М — постоянная, не завися­ щая ни от т, ни от At. Таким образом, если Ді —^ 0, то Ѳді (т) стремится к нулю в W а,ъ, каковы бы ни были зна­ чения а и Ъ. Следовательно, соотношение (10) справедливо.

То, что и (<з, t) удовлетворяет (5) при — оо < ; з <; оо и 0 < і < 1, теперь следует из формул (9) для m = 2, (10)

и (12).

282

в ^ а , ь Для каждого а и Ъ. Так как g (ах) £Е W a, ъ, то (15) стремится к <£(ат), ф (т)> при t + 0 - Таким образом, начальное условие выполнено.

В заключение укажем на различие между способом применения преобразования Вейерштрасса и преобразо­ ваний, использованных в предыдущих главах для решения граничных задач. Так как ядро преобразования Вейер­ штрасса связано определенной заменой переменных с функ­ цией Грина рассмотренной выше задачи Коши, то мы мог­ ли применить преобразование Вейерштрасса к начальному условию, чтобы найти решение непосредственно. В про­ тивоположность этому предыдущие преобразования по­ рождали различные операционные исчисления, которые были использованы для преобразования дифференциаль­ ных уравнений с частными производными в дифферен­ циальные уравнения, где все производные по одной из не­ зависимых переменных были исключены; обратные пре­ образования решений полученных дифференциальных уравнений приводили к решениям первоначальных за­ дач. (Тем не менее читатель не должен делать вывода, что преобразование Вейерштрасса не порождает какого-либо операционного исчисления. Это не так; см. задачу 7.3.6).

283

Г Л А В А 8

П РЕОБРАЗОВАН ИЕ СВЕРТКИ

Хиршманом и Уиддером в 1947—1949 гг. (см. Хпршмап и Уиддер [1], [2]). Рассматривая ядро G в довольно широком классе функций, они получили например, некоторые фор­ мулы обращения для преобразования (1.) Кроме того, ока­ зывается, что для определенных типов ядер G после соот­ ветствующих замен переменных интеграл (1) переходит в некоторые известные интегральные преобразования, такие, как одностороннее преобразование Лапласа, Стилтьеса и ./^-преобразование. Однако (1) обладает боль­ шей общностью и охватывает в качестве частных случаев целый ряд интегральных преобразований (Хиршман и Уиддер [1]). В последние годы исследования по обычным преобразованиям свертки составляли важную часть ра­ бот в области интегральных преобразований (см., напри­ мер, Блэкман и Поллард [1], Холевински [1], Даунс и Уиддер [1], Дитциан [1], [2], Дитциан и Якимовски [1],

обычно, идея состоит в том, чтобы построить пространства

284

ряда ядер и позволяют придать смысл равенству ( ) для весьма широкого класса обобщенных функций / (t). Имен­ но эти пространства X Ctd мы и будем использовать. Од­ нако стоит упомянуть, что для некоторых ядер равенству

(2) можно придать смысл и в пространствах обобщенных

функций, более широких, чем пространства X Ci d (в связи с этим см. Земанян [11]).

Мы потребуем, чтобы рассматриваемые ядра удовлетво­ ряли ряду условий, которые перечислены в следующем пункте. Существование таких ядер доказано в работах Хиршмана и Уиддера [1], [2]. Доказательство этих ре­ зультатов не просто; чтобы доказать их, нам пришлось бы существенно отклониться от рассмотрения обобщенных функций и просто повторить рассуждения, которые уже имеются в указанной книге. Поэтому мы предположим на­ личие необходимых свойств; за подробностями относитель­

ращения Хиршмана и Уиддера [1] обращает преобразова­ ние ( ), если операцию предельного перехода в этой фор­ муле понимать в обобщенном смысле (например, в прост­

ранстве 3)').

Остальная часть этой главы посвящена двум частным случаям, а именно одностороннему преобразованию Лапласа (п. 8.5) и преобразованшо Стилтьеса (п. 8.6). В этих двух пунктах мы воспользуемся результатами, за­ имствованными из книги Хиршмана и Уиддера.

285

8.2. Ядра свертки

Основная идея в обращении преобразования свертки обоб­ щенных функций]

состоит в следующем. Мы полагаем, что для данного ядра G существует последовательность операторов дифферен­

цирования и сдвига {Р п}~=0, которая переводит G (х — t) в дельта-образную последовательность {Gn (х —

G n{X — t)—P nG (x — t). Это означает, что {Gn (х — <)}п=о— последовательность обычных функций, которая схо­ дится в некотором смысле к дельта-функции 6 (х — t). Это предположение и то, что свертка обобщенной функции /

сб равна /, позволяет нам формально обратить формулу

(4)следующим образом. Рассматривая правую часть (1) как свертку обобщенных функций / * G, мы можем на­

писать

P nF = Р п (f * G) = /* (PnG) = f * G n - » f * 6 =

= /, п — оо.

Таким образом, это эвристическое рассуждение показыва­ ет, что формула обращения для преобразования (1) имеет вид

П—К»

где предел понимается в некотором обобщенном смысле. Это действительно так, но доказательство формулы (2) значительно сложнее чем формальные выкладки. В этом пункте мы сформулируем точные условия на G и Р п, кото­ рые будут использованы при определении преобразова­ ния (1) и доказательстве формулы (2).

Предположение А : в дальнейшем мы будем предпола­ гать, что для каждого допустимого ядра свертки G сущест­ вует по крайней мере одна последовательность операторов

{P n {D)}n=o, где Р 0 (D ) — оператор тождественного преоб­ разования и

286

стандартным операционным обозначением для операции сдвига на расстояние В п. Это означает, что, по опреде­

ния А . Указанных условий вполне достаточно для рассмот­ рения преобразований свертки обобщенных функций.

287

288

Кроме того, применяя оператор (6) к функции (4), полу­ чим Р п (D ) G (t) = Gn (t) (Хиршман и Уидцер [1]). Хиршманом и Уиддером [1] также доказано, что функция (8) удовлетворяет условиям А 2 — А 6.

З а д а ч а 8.2.1. Доказать, что если G удовлетворяет пред­ положениям А , то {Gn} ^ _g представляет собой дельта-образную по­

и пусть а 2 — самое маленькое положительное число в системе {аА пли + оо, если все ah отрицательны.

(а) Показать, что в смысле как обычной сверткп, так и свертки в Sß' (alt а2) справедливо равенство

G ' = Ві * S i * ■ ■ - * Bn-

Показать также, что для обычной функции G (t)