книги из ГПНТБ / Слэйгл Д. Искусственный интеллект. Подход на основе эвристического программирования

с использованием принципа резолюции, сначала форми­ рует отрицание доказываемого утверждения, а затем пытается вывести противоречие. В данном примере отри­ цанием доказываемой теоремы будет следующее утверж­ дение:

Р5. Палец не есть часть человека. Резольвентой PI и Р2 будет:

определение будет дано ниже. Р6 получается в результате

дает следующий промежуточный результат, который яв­ ляется логическим следствием из PI:

Обычно резольвенту Р6 получают непосредственно, минуя

Р6'. Если кисть руки есть часть руки, то палец есть часть руки.

Это предложение вместе с РЗ дает резольвенту Р7. Палец есть часть руки.

92 ГЛАВА 5

Подобным же образом резольвента, получаемая путем отождествления Р7 и первой атомарной формулы предло­ жения P I , есть:

Р8. Если рука есть часть у, то палец есть часть у.

Из Р4 и первой атомарной формулы предложения Р8 получаем резольвенту

Р9. Палец есть часть человека.

Отождествляющая подстановка для полученного пред­ ложения Р9 и предложения Р5 приводит к противоречию, что и завершает доказательство теоремы 1.

Это доказательство в общих чертах приведено в пер­ вой и второй колонках табл. 5.1. В этой таблице соответ-

Если бы была использована упомянутая выше немини­

h(z) было бы всюду подставлено вместо х. Исходное пред­ ложение таково, что других множителей нет, поскольку третья атомарная формула не-может быть сделана тож­ дественной первой или второй атомарным формулам.

Пример 3. Пример, приведенный в табл. 5.4, иллюст­ рирует принцип минимальной подстановки при резолю­ ции. Списки аргументов В1 и В2 можно сделать тождест­

лению литера является атомарной формулой или отрица­ нием атомарной формулы. Резольвента (если она сущест­ вует) литеры одного предложения и литеры другого пред­ ложения является следствием двух этих предложений, рассматриваемых совместно. Резольвента получается сле­ дующим образом:

A. Переменные переименовываются таким образом, чтобы все индивидуальные переменные в одном предло­ жении отличались от всех индивидуальных переменных в другом предложении.

Б. Находится минимальная подстановка, если таковая существует, которая делает литеры одинаковыми, ио про­

или более литер предложения есть следствие этого пред­

резолюции. Дж. А. Робинсон (1965) впервые показал,

процедурой. Р. Ли (1967) впервые доказал, что правило

которая за конечное число шагов найдет множители лю­ бого предложения и резольвенты любых двух предложе­ ний. Опытный программист всегда в состоянии написать такую программу. В самом деле, Вое и сотр., Ли и другие исследователи написали такие программы и работали с

его множителей и что из всяких двух предложений логи­

Принцип резолюции является полным как для на­ хождения доказательства, так и для отыскания следствий. Напомним, что цель процедуры, которая использует принцип резолюции для нахождения доказательства, состоит в том, чтобы показать, что отрицание подлежащей, доказательству теоремы неправомерно (приводит к про тиворечшо). Принцип резолюции является полным для нахождения доказательства в смысле следующей теоремы, впервые доказанной Робинсоном. Если конечное мно­ жество предложений несовместно, то противоречие может быть обнаружено за конечное число применений принципа резолюции. Принцип резолюции является полным для на­ хождения следствий в смысле следующей теоремы, впер­ вые доказанной Р. Ли.

Несколько исследователей усилили эти теоремы, по­ казав, что некоторые ограниченные формы принципа резолюции тоже являются полными. Это практически важно для автоматического доказательства теорем, потому что теоретические исследования и эксперименты на вы­ числительной машине показали, что ограниченный, но полный принцип резолюции более эффективен в практи-

ческих применениях, чем общий (неограниченный) прин­ цип резолюции. Примерами таких ограниченных, но пол­ ных форм принципа резолюции является резолюция с чопорным множеством-» (set of support, Вое и др.), гипер­ резолюция (hyperreso!ui'on, Робинсон) и семантическая ре­ золюция (semantic resolution, Слэнгл, 1967). Грубо говоря, резолюция с опорным множеством соответствует процедуре движения в обратном направлении от заключения к по­ сылкам доказываемой теоремы. Семантическая резолюция является обобщением принципа резолюции с опорным множеством, принципа гиперрезолюцни и способа, при­ мененного Гелернтером и др. в программе для доказа­ тельства геометрических теорем, при котором отбрасы­ ваются предположения, ложные относительно заданного геометрического чертежа (модели). За исключением ре­ золюции единичных элементов, которая будет описана в следующем подразделе, дальнейшее теоретическое об­ суждение различных ограниченных форм резолюции вы­ ходит за рамки данной книги.

Резолюция единичных элементов. Резолюция единич­ ных элементов является ограниченной формой резолю­ ции. Она имеет большое практическое значение и исполь­ зуется в настоящее время в наиболее современных про­ граммах, доказывающих теоремы. Единичный элемент определяется как предложение, состоящее из одной ли­ теры. Предположим, что сначала находится резольвента единичного элемента ІІХ с первой литерой другого пред­ ложения, а затем находится резольвента единичного эле­ мента U2 с преемником второй литеры этого предложения. Было доказано (Слэнгл, 1967), что этим способом будет получена та же резольвента, которая будет получена, если сначала отыскивается резольвента единичного элемента U2 со второй литерой предложения, а потом Ux с преемником первой литеры предложения. Следовательно, в этом слу­ чае резолюция единичных элементов ограничивает ре­ золюцию только одним из двух возможных порядков, в которых может быть получена резольвента.