книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

пых, инерционность процессов перемагнпчиваппя и переполяризацпи (конечность времени релаксации не линейных веществ) н, во-вторых, дисперсия, частот­ ная или пространственная, обусловленная конструк­ тивными особенностями линий. Совместное действие нелинейности и дисперсии приводит к возникновению своеобразного динамического равновесия, результа­ том которого является установление в линии стацио­ нарной ударной волны— волны, форма и скорость распространения которой практически не изменяются при дальнейшем распространении.

Дисперсия не оказывает заметного влияния на процесс формирования ударной волны (особенно в на­ чальной стадии). Однако по мере увеличения скорости изменения тока и напряжения на фронте волны роль дисперсии возрастает — формирование фронта замед­ ляется, а длительность его стремится к постоянному (стационарному) значению, которое тем не менее остается малым по сравнению с длительностью про­ цессов за фронтом ударной волны. Поэтому процессы образования и развития ударной волны можно рас­ сматривать (как это и было сделано в предыдущем параграфе) без учета влияния высокочастотной, в ча­ стности, пространственной дисперсии. При исследова­ нии же структуры фронта стационарной ударной волны учет влияния дисперсии необходим.

Время, в течение которого волна с более или менее пологим фронтом превращается в формирующей ли­ нии в стационарную ударную волну, не может быть меньше первоначальной длительности ее фронта. За это время волна, распространяющаяся в линии с рас­ пределенными параметрами (например, коаксиаль­ ной) со скоростью, близкой к скорости света, пробе­ гает значительное расстояние. Для сокращения длины линии применяют формирующие системы, выполнен­ ные в виде линий задержки со ередоточенными нели­ нейными параметрами, позволяющие формировать

30

ударные волны на сравнительно малой длине (при не­ большом числе звеньев) линии.

Рассмотрим структуру фронта стационарной удар­ ной волны в такой линии, проведя приближенное исследование стационарных решений дифференциаль­ но-разностных уравнений типа (1.2). Решения, опи­ сывающие стационарную волну в линии с распреде­ ленными параметрами, получим как частный случай.

Для стационарных волн тока и напряжения, рас­ пространяющихся в линии в направлении возрастаю­

волны па одно звено формирующей линии. Эти равен­ ства позволяют от системы дифференциально-раз­ ностных уравнений ( 1.2) перейти к системе нелиней­ ных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Фазовое пространство системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом является, как известно, функциональным (бесконечномерным), что препятствует полному, хотя бы качественному исследованию их решений. Поэтому для исследования стационарных решений (стационарных ударных волн) применяются два приближенных метода [28, 22].

Первый метод предполагает переход к укорочен­ ным уравнениям системы (1.2) для стационарных ре­ шений в предположении малости параметра At- (по сравнению с некоторым характерным временным па­ раметром). Метод заключается в том, что в системе нелинейных дифференциальных уравнений с запазды­ вающим аргументом переменные в моменты t±At разлагают в ряд по степеням At. Затем, ограничи­ ваясь конечным числом членов разложения одинако­ вого порядка малости, приходят к системе обыкновен­

31

исследуется качественными методами теории колеба­ ний. Метод пригоден и для исследования нестацио­ нарных решений*) н, по-существу, является естест­ венным обобщением метода Р. В. Хохлова для вол­ новых систем, описываемых дифференциально-разно­ стными уравнениями.

Второй метод заключается в исследовании вида корней дисперсионного уравнения системы (1.1) — (1.2), линеаризованной в окрестности особых точек 1 и 2, характеризующих состояние равнозесия перед

в фазовом пространстве) описывается фазовой траек­ торией, соединяющей особые точки 1 и 2. Эта траек­ тория определяется лишь теми корнями Xi^h) диспер­ сионного уравнения, у которых Im М(,{)>0; ImX2(fe)<0. При этом длительность начального участка фронта ударной волны определяется наименьшим по модулю корнем М- Второй метод, в отличие от первого, позво­ ляет получить количественные оценки некоторых па­ раметров структуры не только слабых, но и сильных ударных волн, когда М уже нельзя считать малым.

Рассмотрим теперь структуру стационарных удар­ ных волн для конкретных формирующих линий.

Линии с нелинейными элементами, описываемыми квазистатическими уравнениями связи. Поведение волн тока п напряжения, например, в линии, эквива­ лентная схема которой представлена на рис. 1.8, описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом для функ­ ций in (t) = i( t ) и un(t) = u (t) **).

*> В этом случае разложение ведется по п, т. е. осуществляет­

ся переход от дифференциально-разностных уравнений к укоро­ ченным уравнениям в частных производных [ 102].

**> Влияние сопротивления R и г качественно аналогично про­ явлению вязкости феррита. Оно обеспечивает диссипацию энергии в области фронта ударной волны.

32

Нетрудно видеть, что любые постоянные u=U = const и i = I = const являются решениями этой системы. Поэтому естественно искать в рассматриваемом слу­

в виде перепада между двумя состояниями равнове­

большому интервалу времени {/ь t2}, охватывающему весь процесс перехода из первого состояния равно­ весия во второе, можно определить граничные усло­ вия и, следовательно, время задержки At=\Atp, равное

Откуда

Д/2= [Ф(/2) —<D(/i)]X

iXtQ(И2 ) - Q i U f i m h - h ) {Uz-Ui)}-

Выражение (1.24) можно рассматривать как гра­ ничное условие для ударной волны, распространяю­ щейся в формирующей линии с нелинейными дискрет­ ными параметрами *>. Оно полностью совпадает с гра­ ничными условиями для волн в линии с распределен­ ными параметрами. Это значит, что пространственная

Рис. 1.9. Графическое определение состояний равновесия:

а) в линиях с нелинейной емкостью или индуктивностью; б) в линии с не­

линейной емкостью и индуктивностью.

дисперсия (так же, как и частотная [8]) не изменяет вид граничных условий для фронта ударной волны.

Выражение (1.246) допускает простую геометри­ ческую интерпретацию: скорость распространения фронта ударной волны обратно пропорциональна квадратному корню из произведения тангенсов углов наклона отрезков, секущих кривые Ф(/) и Q(u),

*> Граничные условия могут быть получены и непосредствен­ ным интегрированием системы дифференциально-разностных урав­ нений ( 1.2), т. е. для нестационарных ударных волн, в предполо­

жении, что напряжение и ток изменяются медленно вне области фронта ударной волны [102]. Задача определения величины At, входящей в коэффициенты уравнений (1.23), может быть также сведена к нахождению собственных значении параметра At, для которых система (1.23) имеет стационарные решения конечной амплитуды [28].

34

ными параметрами. Поэтому простейшей модели, учитывающей пространственную дисперсию, соответ­ ствует учет в уравнении (1.25) по крайней мере двух членов суммы по k. Проинтегрировав дважды полу­ ченное выражение (с учетом условий для т— > ± о о ) , приходим к нелинейному дифференциальному урав­ нению четвертого порядка.

Вреальных формирующих линиях сопротивление

гмало (r = pr) и, кроме того, всегда выполняется неравенство r<^R. Поэтому проведем второй этап укорочения полученного уравнения, отбросив произ­ водные 3-го и 4-го порядка, коэффициенты при ко­

36

корни которого определяют характер состояний рав­ новесия U0. Здесь xr=rQ'(U0)/xo, xq2=L0Q'(U)/x«2.

Вид и знаки корней (1.27) в основном зависят от со­ отношения между производными Q'(U0) и постоян­ ной Д. Более полное представление о характере со­ стояний равновесия, определяемых этими корнями

Рис. 1.10. Плоскость параметров Л0, В0[Л0= 6(тя -|-Тг)/Д2;

.во= 12(t2q—Д2)/Д4].

при всех возможных значениях параметров тг, Xr, хq и Д дает диаграмма, иллюстрирующая разбиение плоскости параметров (рис. 1.10).

Не конкретизируя вида функции Q(u), рассмот­ рим качественно структуру стационарной волны для двух наиболее интересных случаев.

1. Характеристика Q{u) имеет вид, изображенный на рис. 1.9,а. Состояниями равновесия будут точки

стояние равновесия в особой точке 1, т. е. перед

венстве). Корни (1.27) соответственно действитель­ ные, отрицательные и комплексные с отрицательными

37

реальными частями. Особой является ситуация, когда в одной из точек равновесия (например, Ui) секущая совпадает с касательной. При этом отклонение от положения равновесия не определяется линеаризован­ ным уравнением (1.26) и надо учитывать квадратич­ ные члены в разложении Q(u).

Структура фазовых плоскостей для рассмотренных выше случаев изображена па рис. 1.11. Видно, что

Рис. 1.11. Фазовые портреты и форма стационарных ударных волн.

существует только одна интегральная кривая — се­ паратриса седла, — описывающая переход из состоя­ ния 1 в 2. Этой фазовой траектории соответствует стационарная ударная волна, экспоненциально нара­ стающая на начальном участке фронта и апериоди­ чески (рис. 1.11,а) или колебательно (рис. 1.11,6) приближающаяся к постоянному значению за фрон­ том волны.

2. Характеристика Q{u) имеет три точки пересе­ чения (для ВОЛНЫ ОДНОЙ полярности) Uq— U1,2,4* по­ явилось новое состояние равновесия t/4. В этом слу-

38

чае состояние равновесия в особых точках U1)2 устой­ чиво (устойчивый узел или фокус), а в особой точке Щ неустойчиво (седло). Следовательно, в линии мо­ гут существовать стационарные волны в виде пере­ пада напряжения с амплитудой U>U!l (от u = f/4 при t— >— оо до u = U 2 при t— >-+ оо) или U<Ui (от w= J74

при t— v+oo до u —U1 при t— *—оо).

Если нелинейны оба реактивных элемента, а вид зависимостей Q(u) и Ф(/) произволен, число и харак­ тер состояний равновесия можно определить, лишь

проводят прямую, тангенс угла наклона которой ра­

особых точек на фазовой плоскости).

Стационарные волны особого вида. Интересно от­ метить, что при отсутствии потерь в обоих рассмот­ ренных выше случаях уравнение (1.26) допускает другие стационарные решения. Действительно, при тн= т,.=0 особые точки с состояниями равновесия типа устойчивый узел или фокус вырождаются в центры. Фазовые траектории теперь соответствуют не удар­ ным (в принятом нами определении), а стационар­

39