книги из ГПНТБ / Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами

соответствует значение т = 1. Точки плоскости, заклю­ ченные внутри заштрихованных областей, соответст­

лишь для распределенных активных линий. Однако они качественно правильно описывают устойчивость активных линий задержки с дискретными параметрами (т. е. систем с пространственной дисперсией) для ти­ пов колебаний, длина волны которых много больше расстояния между ячейками. В случае их соразмер­ ности необходимо специальное рассмотрение, прове­ денное ниже.

Устойчивость волновых систем с дискретными па­ раметрами. Строгое исследование условий самовозбуждения волновых активных систем с периодической про­ странственной структурой необходимо проводить исхо­ дя из линеаризованных диф-

ференциально разностных уравнений.

Рассмотрим однородный отрезок активной линии пе­ редачи, состоящий из Л^оди-

наковых ячеек с произвольными импедансами Z(p) и Y (р) (рис. 3.5). В изображениях по Лапласу при ну­ левых начальных условиях линеаризованное уравне­ ние для п-го звена линии имеет вид

140

Дисперсионное уравнение легко находится в ре­ зультате подстановки в (3.13) значения Ыгг~ехр(у/г). В итоге получим

Из дисперсионного уравнения (3.14) видно, что в от­ резке линии возможно распространение двух волн одной и той же моды с постоянными распространения

±Y- Поэтому, отыскивая решение уравнения (3.13) в виде

ип(р) = А(р)е1п + В(р)е т",

с учетом граничных условий нетрудно составить ма­ трицу определителя А(р) (по аналогии с процедурой, использованной ранее для распределенной модели), а затем, раскрыв определитель А (р)=0, получить об­ щее характеристическое уравнение в виде

(е1 — К) (ет — kN) — (е-т — ka) (е-т — kN) exp X

справедливое как для симметричных, так и несимме­ тричных нагрузок соотношение (для Z1; ZN_2 = = Z/2) 1—exp[2(iV—1)у] = 0, из которого и определяет­ ся постоянная распространения

у —dzjnm/ (N—1) =jk

(k = 2n/X, X = 2(N—l)/m ), m = 0, 1, 2, ..., N—1.

В качестве примера рассмотрим устойчивость ге­ нератора с эквивалентной схемой, представленной на рис. 3.2, при R = 0. Границы Д-разбиения найдем из дисперсионного уравнения, положив в нем р = /со и y = jnm/(N—1). После несложных преобразований, по-

141

лучим равенство

(Р^)3+ РЯ-^- + 2 -^ Г ( 1 - со5 j ^ T ) ==0>

структура которого подобна выражению (3.12). Из этого равенства определяем границы устойчивости для минимального значения т —О, pg = 0 и для максималь­ ного т= (N—1), (Х= 2 ячейкам):

г/р= —pgCo/lpg2+ 4C/Ci]Ct.

Таким образом, качественная картина разбиения плоскости параметров рg и r/р на области возбужде­ ния для генератора с дискретно-периодической струк­ турой осталась такой же, как и в случае распределен­ ного генератора (рис. 3.2). Отличие состоит лишь в том, что число различных областей в данном случае получилось конечным (равным N—1) и, кроме того, изменилась граница области, соответствующая т = = N— 1 (77].

На практике не всегда целесообразно использова­ ние волновых систем, полностью заполненных актив­ ной средой, или линией задержки, в каждое звено которой включены активные элементы. Действитель­ но, ллина отрезка линии, по существу, обеспечивает только необходимый период следования колебаний, а активные элементы — выполнение условий самовоз­ буждения генератора. Если потери в системе не вели­ ки, то нет смысла полностью заполнять ее активной спелой (включать активные элементы в каждое звено линии). Достаточно заполнить ее на такой длине, ка­ кая необходима (с небольшим запасом) для выполне­ ния условий самовозбуждения системы, а остальную часть линии оставить линейной. Такая система будет уже кусочно-однородной. Приведем (ввиду громоздко­ сти вычислений) лишь краткое изложение анализа устойчивости такой системы.

142

Устойчивость кусочно-однородных волновых систем. Пусть имеется система (рис. 3.6), состоящая из N отрезков линий пере­ дачи. В операторной форме уравнение для напряжения в п -м отрезке линии имеет вид

На стыке отрезков должны выполняться условия непрерывности

« Л - 1 U n-I. />) = « n ( fn - l. PY>

а на границах системы краевые условия

где ctn — 1/ZnFn, P„ = l/ Z „F „+f.

Общее решение для каждого отрезка имеет вид

Рис. 3.6. Эквивалентная схема кусочно-однородной волновой системы.

ному выше для однородной системы. В общем виде матрица по­ лучается довольно громоздкой, однако, разбив ее на блоки и вос­ пользовавшись некоторыми свойствами блочных матриц [82], мож­ но в результате рекуррентных преобразований свернуть ее к сле-

143

Здесь первый индекс матрицы указывает индекс постоянной распространения у (внутри матрицы совпадающий с номером отрезка системы), а второй — индекс, стоящий при длине отрезка.

Положив определитель этой матрицы равным нулю (Д (р)=0) и раскрыв его, получим общее характеристическое уравнение ку­ сочно-неоднородной системы. Оно определяется довольно слож­ ным выражением, однако на практике обычно используют систему из двух и гораздо реже из трех отрезков. Для этих случаев харак­ теристическое уравнение получается не слишком сложным и впол­ не исследуемым аналитически. Общее же выражение Д ( р) можно рассматривать как алгоритм для вычисления областей устойчиво­ сти произвольной кусочно-неоднородной системы на ЭВМ.

3.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Спустя некоторое время после выполнения условий самовозбуждения в автоколебательной системе с рас­ пределенными параметрами устанавливаются стацио-

144

парные колебания в виде периодических волн, являюющихся решениями обыкновенных нелинейных диф­ ференциальных уравнений. В фазовом пространстве системы этих уравнений периодическим бегущим вол­ нам соответствуют предельные циклы. Число и пара­ метры предельных циклов, а следовательно, форма и скорость распространения стационарных волн опреде­ ляются видом нелинейности и параметрами линии.

В релаксационном распределенном генераторе установившиеся колебания представляют собой ре­ зультат взаимодействия многих типов волн. Возмож­ ность получения различных типов волн зависит от ве­ личины нелинейности (чем сильнее нелинейность, тем больше типов волн), а эффективность взаимодействия определяется близостью их скоростей распростране­ ния, т. е. зависит от дисперсионных свойств генерато­ ра (чем слабее дисперсия — пространственная или частотная-—тем выше эффективность взаимодей­ ствия).

Таким образом, уже в линейном приближении исходя из вида дисперсионной характеристики можно судить о возможности получения релаксационных ко­ лебаний в генераторе с распределенными парамет­ рами.

Так, например, для генератора с эквивалентной схемой, приведенной выше на рис. 3.2, скорость малых гармонических возмущений, найденная из дисперсион­ ных соотношений (3.11), равна

»«2=[1 +rg+ (Rg/k2)]/[LC+ (1 +rg)LCl + rRCCi].

Из этого выражения следует, что присутствие в гене­

лым значениям т) отличаются существенно и практи-

чески не участвуют во взаимодействии (дисперсия велика), следовательно, длинноволновые стационар­ ные волны не являются релаксационными. Скорости же коротковолновых возмущений (большие значения т) близки (дисперсия мала) и, эффективно взаимо­ действуя, образуют короткие релаксационные волны.

С другой стороны влияние дисперсии, т. е. зависи­

величина Rg/k2 по сравнению с (1+ rg), т. е. чем боль­ ше длина линии (поскольку k = 2nm/l). Значит в рас­ пределенном генераторе с дисперсией возможны и длинные релаксационные волны, если протяженность генератора достаточно велика. В генераторе без низ­ кочастотных потерь (R = 0)vK=£-f(k), поэтому вид всех стационарных волн наиболее релаксационный незави­ симо от длины генератора.

Перейдем теперь к рассмотрению нелинейной за­ дачи об определении формы и основных параметров стационарных релаксационных волн генератора с экви­ валентной схемой рис. 3.2 (при /? = 0).

Строго говоря, вначале необходимо было бы убе­ диться, что стационарному решению (волне) на фазо­ вой плоскости соответствует предельный цикл, и дока­ зать его устойчивость **). Это особые задачи теории колебаний и останавливаться здесь на них нет особо­ го смысла. Тем не менее отметим, что для исследуе­ мой системы эта работа проделана в [77], где и пока­ зано, что для значений скоростей стационарных волн v2 - . \/L(Ci + C) соответствующий предельный цикл устойчив.

*) Вид дисперсии (временная или пространственная) при этом не имеет значения.

**> При этом, отнако, можно показать, что устойчивость пре­ дельного цикла является необходимым, но не достаточным усло­ вием устойчивости стационарного решения.

146

екторией медленных движений является кривая

где

Ло« vL/[ (1—v2LC0)].

Длина волны стационарных импульсных колеба­ ний, бегущих в кольцевом генераторе со скоростью v, при достаточно малом ц близка к периоду движения изображающей точки по разрывному предельному циклу и определяется непосредственным интегрирова­ нием следующего выражения:

Временной период колебаний равен Т = Ям-1. Скорость распространения различных типов волн, соответствую­ щих дискретным значениям длин волн K=l/m, опреде­

148

импульсных колебаний AU = u3—«i = 4/(3a) 1/2 и ампли­ туда импульсов U= u3—Пг= 3/(3а)1/2, как и следовало ожидать, оказались зависящими только от коэффици­ ента нелинейности а.

Проведенное рассмотрение справедливо, когда па­ раметр р при старшей производной системы (3.16) достаточно мал. При принятой аппроксимации I(и) параметр

И = г(1 —v2LCi)/gp* (ро= g ) ,

откуда следует, что значение p-Cl и, следовательно, импульсный режим работы распределенного генерато­ ра достигается в случае, когда произведение сопро­ тивления растекания г на сопротивление активного элемента, например туннельного диода, в рабочей точ­ ке вольт-амперной характеристики много меньше квадрата квазиволнового сопротивления р2=L/C.

При р<С1, но не равном нулю, время движения изображающей точки на участках и2—н3 и щ—щ пре­ дельного цикла равно, соответственно, длительности фронта и спада импульсных колебаний. Для опреде­ ления этих длительностей, строго говоря, необходимо получить точное решение системы (3.16). Поскольку сделать это аналитически затруднительно, можно вос­ пользоваться приближенными оценками их (как это было сделано в предыдущих главах) по корням ха­ рактеристического уравнения линеаризованной систе­ мы (3.16) или на основании решения укороченных уравнений.

Отметим, что в кольцевом генераторе структура фронта волны и его характерные временные и прост­ ранственные параметры будут очевидно такими же,

149